数学必修4平面向量综合练习题答案

一 选择题 共 12 道小题 1 下列说法中正确的是 A 两个单位向量的数量积为 1 B 若 a b a c 且 a 0 则 b c C D 若 b c 则 a c b a b 参考答案与解析 解析 A 中两向量的夹角不确定 B 中若 a b a c b 与 c 反方向则不成立 C 中应 为 D 中 b cb c 0 所以 a c b a b c b a b 答案 D 主要考察知识点 向量 向量的运算 2 设 e 是单位向量 2e 2e 2 则四边形 ABCD 是 A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 参考答案与解析 解析 所以 且 AB CD 所以四边形 ABCD 是平行四边 形 又因为 2 所以四边形 ABCD 是菱形 答案 B 主要考察知识点 向量 向量的运算 3 已知 a b 1 a 与 b 的夹角为 90 且 c 2a 3b d ka 4b 若 c d 则实数 k 的值为 A 6 B 6 C 3 D 3 参考答案与解析 解析 c d c d 2a 3b ka 4b 0 即 2k 12 0 k 6 答案 A 主要考察知识点 向量 向量的运算 4 设 0 2 已知两个向量 cos sin 2 sin 2 cos 则向量 长度的最大值是 A B C D 参考答案与解析 解析 2 sin cos 2 cos sin 所以 答案 C 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 5 设向量 a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有向线段首尾 相接能构成四边形 则向量 d 为 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 参考答案与解析 解析 依题意 4a 4b 2c 2 a c d 0 所以 d 6a 4b 4c 2 6 答案 D 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 6 已知向量 a 3 4 b 3 1 a 与 b 的夹角为 则 tan 等于 A B C 3 D 3 参考答案与解析 解析 由已知得 a b 3 3 4 1 5 a 5 b 所以 cos 由于 0 所以 sin 所以 tan 3 答案 D 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 7 向量 a 与 b 不共线 a kb la b k l R 且与共线 则 k l 应满足 A k l 0 B k l 0 C kl 1 0 D kl 1 0 参考答案与解析 解析 因为与共线 所以设 R 即 la b a kb a kb 所以 l a 1 k b 0 因为 a 与 b 不共线 所以 l 0 且 1 k 0 消去 得 1 lk 0 即 kl 1 0 答案 D 主要考察知识点 向量 向量的运算 8 已知平面内三点 A 1 0 B 5 6 P 3 4 且 AP PB 则 的值为 A 3 B 2 C D 参考答案与解析 解析 因为 所以 4 4 2 2 所以 答案 C 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 9 设平面向量 a1 a2 a3 的和 a1 a2 a3 0 如果平面向量 b1 b2 b3 满足 bi 2 ai 且 ai 顺时针旋转 30 后与 bi 同向 其中 i 1 2 3 则 A b1 b2 b3 0 B b1 b2 b3 0 C b1 b2 b3 0 D b1 b2 b3 0 参考答案与解析 解析 根据题意 由向量的物理意义 共点的向量模伸长为原来的 2 倍 三个向量都 顺时针旋转 30 后合力为原来的 2 倍 原来的合力为零 所以由 a1 a2 a3 0 可得 b1 b2 b3 0 答案 D 主要考察知识点 向量 向量的运算 10 设过点 P x y 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A B 两点 点 Q 与点 P 关于 y 轴对称 O 为坐标原点 若 且 1 则 P 点的轨迹方程是 A 3x2 y2 1 x 0 y 0 B 3x2y2 1 x 0 y 0 C x2 3y2 1 x 0 y 0 D x2 3y2 1 x 0 y 0 参考答案与解析 解析 设 P x y 则 Q x y 设 A xA xA B 0 yByB0 x y yB xAx y 2PA x 2 xA x y yB 2y xA x yB 3y x 0 y 0 又 1 x y xA yB 1 x y x 3y 1 即x2 3y2 1 x 0 y 0 答案 D 主要考察知识点 向量 向量的运算 11 已知 ABC 中 点 D 在 BC 边上 且 若 则 r s 的值是 A B 0 C D 3 参考答案与解析 解析 ABC 中 故 r s 0 答案 B 主要考察知识点 向量 向量的运算 12 定义 a b a b sin 是向量 a 和 b 的夹角 a b 分别为 a b 的模 已知点 A 3 2 B 2 3 O 是坐标原点 则 等于 A 2 B 0 C 6 5 D 13 参考答案与解析 解析 由题意可知 3 2 2 3 计算得 3 2 2 3 0 另一方面 cos cos 0 又 0 从而 sin 1 sin 13 答案 D 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 二 填空题 共 4 道小题 1 已知 a b c 0 且 a 3 b 5 c 7 则向量 a 与 b 的夹角是 参考答案与解析 解析 由已知得 a b c 两边平方得 a2 2a b b2 c2 所以 2a b 72 32 52 15 设 a 与 b 的夹角为 则 cos 所以 60 答案 60 主要考察知识点 向量 向量的运算 2 若 2e1 e2 e1 3e2 5e1 e2 且 B C D 三点共线 则实数 参考答案与解析 解析 由已知可得 e1 3e2 2e1 e2 e1 4e2 5e1 e2 e1 3e2 4e1 3 e2 由于 B C D 三点共线 所以存在实数 m 使得 即 e1 4e2 m 4e1 3 e2 所以 1 4m 且 4 m 3 消去 m 得 13 答案 13 主要考察知识点 向量 向量的运算 3 已知 e1 e2 是夹角为 60 的两个单位向量 则 a 2e1 e2 和 b 2e2 3e1 的夹角是 参考答案与解析 解析 运用夹角公式 cos 代入数据即可得到结果 答案 120 主要考察知识点 向量 向量的运算 4 如图 2 1 所示 两射线 OA 与 OB 交于 O 则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是 图 2 1 参考答案与解析 解析 由向量减法法则可知 不符合条件 显然满足 不满足 答案 主要考察知识点 向量 向量的运算 三 解答题 共 6 道小题 1 如图 2 2 所示 在 ABC 中 c a b 且 a b b c c a 试判断 ABC 的形状 图 2 2 参考答案与解析 解 a b b c b a c 0 又 b a c a c a c 0 即 c2 a2 0 c a 同理 b a 故 a b c 所以 ABC 为等边三角形 主要考察知识点 向量 向量的运算 2 如图 2 3 所示 已知 1 的夹角为 120 与的夹角为 45 5 用 表示 注 cos75 图 2 3 参考答案与解析 解 设 则 cos120 又 cos45 5cos45 cos120 又 cos 120 45 5cos75 主要考察知识点 向量 向量的运算 3 在四边形 ABCD 中 A B C D 顺时针排列 6 1 2 3 若有 又有 求的坐标 参考答案与解析 解 设 x y 则 6 x 1 y 4 x y 2 x 4 2 y x 2 y 3 又 及 所以 x 2 y x 4 y 0 6 x x 2 1 y y 3 0 解得或 6 3 或 2 1 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 4 已知平面向量 a 1 b 1 证明 a b 2 若存在不同时为零的实数 k t 使得 x a t2 3 b y ka tb 且 x y 求函数关系式 k f t 参考答案与解析 1 证明 因为 a b 1 1 0 所以 a b 2 解 由已知得 a 2 b 1 由于 x y 所以 x y 0 即 a t2 3 b ka tb 0 所以 ka2 ta b k t2 3 b a t t2 3 b2 0 由于 a b 0 所以 4k t t2 3 0 所以 k t t2 3 由已知 k t 不同时为零得 k t t2 3 t 0 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 5 已知 a b c 是同一平面内的三个向量 其中 a 1 2 1 若 c 且 c a 求 c 的坐标 2 若 b 且 a 2b 与 2a b 垂直 求 a 与 b 的夹角 参考答案与解析 解 1 设 c x y c 即 x2 y2 20 c a a 1 2 2x y 0 即 y 2x 联立 得或 c 2 4 或 2 4 2 a 2b 2a b a 2b 2a b 0 即 2a2 3a b 2b2 0 2 a 2 3a b 2 b 2 0 a 2 5 b 2 代入 式得 a b cos 1 又 0 主要考察知识点 向量与向量运算的坐标表示 6 如图 2 4 所示 已知 AOB 其中 a b 而 M N 分别是 AOB 的