高一数学不等式综合人教实验B版知识精讲

用心 爱心 专心 高一数学不等式综合人教实验高一数学不等式综合人教实验 B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 一 教学内容 不等式综合 二 学习目标二 学习目标 1 熟练掌握不等式的有关性质 掌握均值不等式及其应用条件 能够运用均值定理 解决相关的最值问题 2 熟练掌握一元一次不等式 组 一元二次不等式 组 的解法 在解不等式的 过程中 要充分运用自己的分析能力 把原不等式等价地转化为易解的不等式 3 对于含字母的不等式 要能按照正确的分类标准 进行分类讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 准确确定二元一次不等式表示的平面区域 正确解答简单的线性规划问题 三 知识要点三 知识要点 1 不等式的性质 对称性 那么若abba1o 传递性 若cacbba2o 可加性 cbcaba3o mbabma1 推论 dbca dc ba 2 推论 可乘性 bcac 0c ba 4o bcac 0c ba bdac 0dc 0ba 1 推论 且 推论1nNnbaba2 nn 且 若推论1nNnba0ba3 nn 2 均值不等式 baab 2 ba b a cbaabc 3 cba c b a 3 3 不等式的证明 比较法 1 作差 abab 0 abab 0 步骤 作差 变形 因式分解 配方 定号 2 ba1 b a 0b0a 则 作商 若 用心 爱心 专心 4 解一元二次不等式的步骤 1 将不等式化为标准形式或 00 2 cbxax 00 2 cbxax 2 解方程0 2 cbxax 3 据二次函数的图象写出二次不等式的解集 cbxaxy 2 5 求线性目标函数在约束条件下的最值问题 统称为线性规划问题 典型例题典型例题 例 1 已知 a b b 0 求证 a b 4 a 2 b 2 证法一 证法一 a b 4 a 2 b 2 a b 4 ab 2a 2b 4 ab a b ab a b 0 b 0 abab40220 1 2 1 2 1 2a 1 2b 1 2b 2a 2b 2a 2b 2a 4ba 又 ab ab 4 22 1 abab422 小结 本题根据结构特点分析 适合用比较法证明 比较法常用的有作差比较法与作 商比较法两种 作商法比较同号两式大小时 商是与 1 而不是与 0 比较大小 例 2 1 比较与的大小 18 16 16 18 2 已知 比较与的大小 1 aaa 11 aa 3 若 满足 比较 abc643 2 aacb44 2 aacbab 的大小 c 解 解 1 1 81 128 3 2 3 2 32 2 32 2 18 16 8 84 87 32 56 3216 72 162 184 16 18 1618 1816 2 方法一 设 a1aM 1 aaN aa M 1 1 1 1 aa N NM 方法二 0 1aa a1a 1a1a NM NM 方法三 0 M0 N 用心 爱心 专心 1 1 1 aa aa N M NM 3 解 解 0 2 44 22 aaacb cb 又 44 643 2 2 aacb aacb 1 542 2 2 ac aab 0 4 3 2 1 1 22 aaaac ac acb 例 3 1 已知 求的最大值 22 4yx 3 xy z 2 求的最小值 3 4 2 2 x x y 解 解 1 2 22 yx xy 3 2 63 22 yxxy 当且仅当时 2 yx 3 2 max z 2 设 3 2 xt3 t t ty 1 当时 3 t 3 34 3 3 3 min y 例 4 已知f xxpxq 2 1 求证fff 13222 2 求证中至少有一个不小于 fff 123 1 2 证明 证明 1 fff 1322 1932 42 2 pqpqpq 2 用反证法 假设都小于 fff 123 1 2 用心 爱心 专心 则fff 12232 而ffffff 12231322 出现矛盾2 q2p48 qp39 qp1 中至少有一个不小于 3 f 2 f 1 f 1 2 小结 由于题目的结论是 三个函数值中 至少有一个不小于 情况较复杂 会 1 2 出现多个异向不等式组成的不等式组 一一证明十分繁冗 而结论的反面构成三个同向不 等式 结构简单 故采用反证法为宜 例 5 制造甲 乙两种烟花 甲种烟花每枚含 A 药品 3g B 药品 4g C 药品 4g 乙种烟 花每枚含 A 药品 2g B 药品 11g C 药品 6g 已知每天原料的使用限额为 A 药品 120g B 药品 400g C 药品 240g 甲种烟花每枚可获利 1 2 美元 乙种烟花每枚可获利 1 美元 问每天应生产甲 乙两种烟花各多少枚才能使获利最大 解 解 根据题意 可列出下表 A 药品B 药品C 药品 甲种烟花344 乙种烟花2116 原料限额120400240 设每天生产甲种烟花 x 枚 乙种烟花 y 枚 获利为 z 美元 则目标函数 美元 其中 x y 应满足 yxz 2 1 24064 400114 12023 0 0 yx yx yx y x 该不等式组所表示的平面区域如上图所示 把变形为平行直线系 yxz 2 1lzxy 2 1 由图可知 当直线 经过平面区域上的点 M 时 截距 z 最大l 解方程组得交点 M 24 24 012023 024064 yx yx 每天生产甲种烟花 24 枚 乙种烟花 24 枚 能使利润最大 本讲涉及的主要数学思想方法本讲涉及的主要数学思想方法 1 应用不等式知识可以解决函数 方程等方面的问题 在解决这些问题时 关键是把非 不等式问题转化为不等式问题 在化归与转化中 要注意等价性 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 对于应用题要通过阅读 理解所给定的材料 寻找量与量之间的内在联系 抽象出事 物系统的主要特征与关系 建立起能反映其本质属性的数学结构 从而建立起数学模型 用心 爱心 专心 然后利用不等式的知识求出题中的问题 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 已知是实数 则使成立的一个充要条件是 ab ab ab 0 A B C D ab 0ba 0 11 ab ab 0 2 已知 下列不等式 1 2 abR aa 2 32 aba ba b 553223 3 4 一定成立的是 abab 22 21 a a 1 2 A 1 2 3 B 1 2 4 C 1 3 D 2 4 3 设 则 M N 的大小关系是 axRMa a N x 2 1 2 1 2 2 2 A B C D MN MN MN MN 4 若且 四个数中最大的是 0 abab 1 1 2 2 22 babab A B C D 1 2 b2abab 22 5 已知则的最小值为 230 0 0 xy xy y 3zxy A B C D 961012 6 如果点在平面区域上 点在曲线上 那么P 220 20 210 xy xy y Q 22 2 1xy 的最小值为 PQ A B C D 3 2 4 1 5 2 21 21 二 填空题 7 与 1 的大小关系是 lglg911 8 若函数的定义域为 R 则 k 的取值范围为 f xkxkxk 2 68 9 已知实数 满足条件则的最大值为 xy 0 0 033 042 yx yx yx yxz2 三 解答题 10 建造一个容积是 深为 2m 的长方形无盖水池 如果池底和池壁的造价分别是 3 m8 和 求 水池的最低造价 120 2 元 m80 2 元 m 用心 爱心 专心 11 已知 且 求证 ab 0ab 1a a b b 1125 2 22 12 设 f x ax2 bx c 若 f 1 问是否存在 a b c R 使得不等式 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 x2 2 7 f x 2x2 2x 对一切实数 x 都成立 证明你的结论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 3 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 C 提示 赋值求解 2 C 提示 在 2 中 当时 取 号成立 ab 在 4 中 当时 没有a 0a a 1 2 3 D Ma a N MN x 2 1 2 2224 1 2 1 2 4 2 22 4 B 解 特殊值法 取代入可得 b 最大ab 1 3 2 3 5 A 6 A 7 lglg9111 解 lglg lglg 911 911 2 2 lglg99 2 100 2 1 22 8 01 解 由题意知 对恒成立 xRkxkxk 2 680 当且仅当或解得 k k k 0 60 80 k 0 0 01 k 9 8 10 解 设水池底的一边长为 水池总造价为元 依题意 水池另一边长为xmy 4 x 1760 480 x 4 x2320 480 x 4 x 320 120 2 8 80 x 4 2x2 2y 当 即时取 x x 4 x 2 用心 爱心 专心 当水池底面是边长为的正方形时 水池总造价最低为 1760 元 2m 11 证明 a a b b a a b babab 11 2 11 2 1 11 2 1 1 2 2 ab ab ab ab ab 1 2 1 2 1 4 1 4 左 2 1 1 2 14 2 ab 左 左 2 25 4 25 2 12 解 由 f 1 得 a b c 令 x2 2x2 2x x 1 2 7 2 7 2 1 2 3 由 f x 2x2 2x 推得 f 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 3 2 3 由 f x x2 推得 f 1 f 1 a b c 2 1 2 3 2 3 2 3 故 2 a c 5 a c 且 b 1 f x ax2 x a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 5 2 5 依题意 ax2 x a x2 对一切 x R 成立 2 5 2 1 a 1 且 1 4 a 1 2 a 0 得 2a 3 2 0 f x x2 x 1 2 3 易