放缩法证明不等式的基本策略

放缩法放缩法 证明不等式的基本策略证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中 常渗透不等式证明的内容 而不等式的证明是高中数学中的一个难点 它 可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力 特别值得一提的是 高考中可以用 放缩法 证明不等式的频率很高 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 有极大的迁移性 对它的运用往往 能体现出创造性 放缩法 它可以和很多知识内容结合 对应变能力有较高的要求 因为放缩必须有目标 而且要恰到好处 目标往往要从证明的结论考察 放缩时要注意适度 否则就不能同向传递 下面结合 一些高考试题 例谈 放缩 的基本策略 期望对读者能有所帮助 1 添加或舍弃一些正项 或负项 添加或舍弃一些正项 或负项 例 1 已知求证 21 n n anN 12 231 1 23 n n aaan nN aaa 证明 11 1 21111111 1 1 2 2122 21 23 22223 2 k k kkkkk k a kn a 12 2 231 1 111111 1 23 22223223 n nn n aaannn aaa 12 231 1 232 n n aaann nN aaa 若多项式中加上一些正的值 多项式的值变大 多项式中加上一些负的值 多项式的值变小 由于 证明不等式的需要 有时需要舍去或添加一些项 使不等式一边放大或缩小 利用不等式的传递性 达 到证明的目的 本题在放缩时就舍去了 从而是使和式得到化简 22 k 2 先放缩再求和 或先求和再放缩 先放缩再求和 或先求和再放缩 例 2 函数 f x 求证 f 1 f 2 f n n x x 41 4 2 1 2 1 1 Nn n 证明 由 f n 1 n n 41 4 11 1 142 2 nn 得 f 1 f 2 f n n 22 1 1 22 1 1 22 1 1 21 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 1 4 1 11 Nnnn nn 此题不等式左边不易求和 此时根据不等式右边特征 先将分子变为常数 再对分母进行放缩 从而 对左边可以进行求和 若分子 分母如果同时存在变量时 要设法使其中之一变为常量 分式的放缩对于 分子分母均取正值的分式 如需放大 则只要把分子放大或分母缩小即可 如需缩小 则只要把分子缩 小或分母放大即可 3 先放缩 后裂项 或先裂项再放缩 先放缩 后裂项 或先裂项再放缩 例 3 已知 an n 求证 3 n k 1 证明 1 n k 1 2 k k a n k 1 3 1 k n k 2 n k 2 2 11 1 1 1 n k kk kk 1 n k 2 1 1 2 3 2 2 1 n 2 2 本题先采用减小分母的两次放缩 再裂项 最后又放缩 有的放矢 直达目标 4 放大或缩小 放大或缩小 因式因式 例 4 已知数列满足求证 n a 2 11 1 0 2 nn aaa 12 1 1 32 n kkk k aaa 证明 22 11213 111 0 2416 nn aaaaaa 23 1 1 0 16 k kaa 当时 12111 11 111 161632 nn kkkkkn kk aaaaaaa 本题通过对因式放大 而得到一个容易求和的式子 最终得出证明 2k a 1 1 n kk k aa 5 逐项放大或缩小 逐项放大或缩小 例 5 设求证 1 433221 nnan 2 1 2 1 2 n a nn n 证明 nnnn 2 1 2 12 2 1 1 2 n nnn 2 12 1 n nnn 2 12 31 321 n an n 2 1 2 1 2 n a nn n 本题利用 对中每项都进行了放缩 从而得到可以求和的数列 达到化简 21 1 2 n nn n n a 的目的 6 固定一部分项 放缩另外的项 固定一部分项 放缩另外的项 例 6 求证 2222 11117 1234n 证明 2 1111 1 1nn nnn 22222 1111111115117 1 1232231424nnnn 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧 放缩拆项时 不一定从第一项开始 须根据具体题型分 别对待 即不能放的太宽 也不能缩的太窄 真正做到恰倒好处 7 7 利用基本不等式放缩 利用基本不等式放缩 例 7 已知 证明 不等式对任何正整数都成立 54 n an 51 mnmn aa a m n 证明 要证 只要证 51 mnmn aa a 512 mnmnmn aa aa a 因为 54 mn amn 54 54 2520 16 mn a amnmnmn 故只要证 5 54 12520 162 mn mnmnmna a 即只要证 2020372 mn mna a 因为 2558 mnmn a aaamn 558 151529 mnmn 202037mn 所以命题得证 本题通过化简整理之后 再利用基本不等式由放大即可 2 mnmn a aaa 8 先适当组合 先适当组合 排序排序 再逐项比较或放缩再逐项比较或放缩 例 8 已知 i m n 是正整数 且 1 i m n 1 证明 niA miA 2 证明 1 m n 1 n m i m i n 证明 1 对于 1 i m 且 A m m i 1 i m n in n n n n nm im m m m m m i i m i i m 11A 11A 同理 由于 m n 对于整数 k 1 2 i 1 有 m km n kn 所以 i m ii n i i i m i i n nm mn AA AA 即 2 由二项式定理有 1 m n 1 C m C m2 C mn 1 n 2 n n n 1 n m 1 Cn Cn2 Cnm 1 m 2 m m m 由 1 知 miA niA 1 i m n 而 C i n i m i m A C A ii i ni n i m miCin niCim 1 m n m0C n0C 1 mC nC m n m2C n2C 0 n 0 n 1 n 1 m 2 n 2 m mmC nmC mm 1C 0 mnC 0 m n m m 1 m n n n 1 C m C m2 C mn 1 Cn C2mn2 Cnm 1 n 2 n n n 1 m m m 即 1 m n 1 n m成立 以上介绍了用 放缩法 证明不等式的几种常用策略 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方 法 有时还需要几种方法融为一体 在证明过程中 适当地进行放缩 可以化繁为简 化难为易 达到 事半功倍的效果 但放缩的范围较难把握 常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象 因此 使用 放缩法时 如何确定放缩目标尤为重要 要想正