高中物理 2.1《匀速圆周运动》习题课教案 粤教版必修2

1 匀速圆周运动匀速圆周运动 习题课教习题课教案案 教学目标 教学目标 1 1 圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题 2 2 质点做匀速圆周运动质点做匀速圆周运动 与与 物体绕固定轴做匀速转动物体绕固定轴做匀速转动 的区别与联系的区别与联系 3 3 求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围 重重 点 点 圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题 难难 点 点 求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围 知识简析知识简析 一 圆周运动的临界问题一 圆周运动的临界问题 1 圆周运动中的临界问题的分析方法 首先明确物理过程 对研究对象进行正确的受力分析 然后确定向心力 根据向心力 公式列出方程 由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系 从而分析找到临界值 2 特例 1 如图所示 没有物体支撑的小球 在竖直平面 做圆周运动过最高点的情况 注意注意 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 临界条件 绳子或轨道对小球没有力的作用 mg mv2 R v临界 Rg 可理解为恰好转过或恰好转不过 的速度 注意注意 如果小球带电 且空间存在电 磁场时 临界条件应是小球重力 电场力和洛伦兹 力的合力作为向心力 此时临界速度 V临 Rg 能过最高点的条件 v Rg 当 V Rg时 绳对球产生拉力 轨道对球产生压力 不能过最高点的条件 V V临界 实际上球还没到最高点时就脱离了轨道 2 如图 a 的球过最高点时 轻质杆 管 对球产生的弹力情况 注意 注意 杆与绳不同 杆对球既能产生拉力 也能对球产生支持力 当 v 0 时 N mg N 为支持力 当 0 v Rg时 N 随 v 增大而减小 且 mg N 0 N 为支持力 当 v Rg时 N 0 当 v Rg时 N 为拉力 N 随 v 的增大而增 大 此时 N 为拉力 方向指向圆心 注意 管壁支撑情况与杆子一样 若是图 b 的小球 此时将脱离轨道做平抛运动 因为轨道对小球不能产生拉力 注意 注意 如果小球带电 且空间存在电场或磁场时 临界条件应是小球所受重力 电场 力和洛仑兹力的合力等于向心力 此时临界速度gRV 0 要具体问题具体分析 但分 析方法是相同的 二二 质点做匀速圆周运动质点做匀速圆周运动 与与 物体绕固定轴做匀速转动物体绕固定轴做匀速转动 的区别与联系的区别与联系 1 质点做匀速圆周运动是在外力作用下的运动 所以质点在做变速运动 处于非平衡状 态 2 2 物体绕固定轴做匀速转动是指物体处于力矩平衡的转动状态 对于物体上不在转动轴 上的任意微小质量团 可说成质点 则均在做匀速圆周运动 规律方法规律方法 1 1 圃周运动中临界问题分析 应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态 圃周运动中临界问题分析 应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态 然后分析该状态下物体的受力特点 结合圆周运动的知识 列出相应的动力学方程然后分析该状态下物体的受力特点 结合圆周运动的知识 列出相应的动力学方程 例 1 在图中 一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 OO 旋转 现将轻质弹簧的一端固定在圆盘 中心 另一端系住一个质量为 m 的物块 A 设弹簧劲度系数为 k 弹簧原长为 L 将物 块置于离圆心 R 处 R L 圆盘不动 物块保持静止 现使圆盘从静止开始转动 并 使转速 逐渐增大 物块 A 相对圆盘始终未惰动 当 增大到 5 4 k Rl mR 时 物 块 A 是否受到圆盘的静摩擦力 如果受到静摩擦力 试确定其方向 解析 对物块 A 设其所受静摩擦力为零时的临界角度为 0 此时向心力仅为弹簧 弹力 若 0 则需要较大的向心力 故需添加指向圆心的静摩擦力 若 0 则 需要较小的向心力 物体受到的静摩擦力必背离圆心 依向心力公式有 m 02R k R L 所以 0 k Rl mR 故 5 4 k Rl mR 时 得 0 可见物块所受静摩擦力指向圆心 例 2 如图 16 所示 游乐列车由许多节车厢组成 列车全长为 L 圆形轨道半径为 R R 远大于一节车 厢的高度 h 和长度 l 但 L 2 R 已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而 不能脱轨 试问 列车在水平轨道上应具有多大初速度 V0 才能使列车通过圆形轨道 分析与解 列车开上圆轨道时速度开始减慢 当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时 列车速度达到最小 值 V 此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道 然后列车开始加速 由于轨道光滑 列车机械能 守恒 设单位长列车的质量为 m 则有 22 0 11 2 22 mLVmLVmR gR 要使列车能通过圆形轨道 则必有 V 0 解得 L g RV 2 0 例 3 如图所示 细绳长为 L 一端固定在 O 点 另一端系一质量为 m 电荷量 为 q 的小球 置于电场强度为 E 的匀强电场中 欲使小球在竖直平面内做圆周运 动 小球至最高点时速度应该是多大 解析 小球至最高点时能以 L 为半径做圆周运动 所需向心力最小时绳子无拉力 则 Mg Eq mv02 L 得 mLEqmgv 0 故小球在竖直平面内能够做圆周运 动时 小球至最高点的速度 mLEqmgv 拓展 该题中物理最高点与几何最高点是重合的 物理最高点是在竖直平面内做拓展 该题中物理最高点与几何最高点是重合的 物理最高点是在竖直平面内做 圆周运动的物体在该点势能最大 动能最小 若把该题中的电场变为水平向右 如图 当圆周运动的物体在该点势能最大 动能最小 若把该题中的电场变为水平向右 如图 当 金属球在环内做圆周运动时 则物理最高点为金属球在环内做圆周运动时 则物理最高点为 A A 点 物理最低点为点 物理最低点为 B B 点 而几何最高点为点 而几何最高点为 C C 点 几何最低点为点 几何最低点为 D D 点 这种情况下 两个最高点已不再重合 两个最低点也不再重合 点 这种情况下 两个最高点已不再重合 两个最低点也不再重合 A 处速度的最小值 临界速度 应满足 22 2 EqmgFRmvA 合 思考 物体恰能到达几何最高点时 绳的拉力为多少 例 4 一内壁光滑的环形细圆管 位于竖直平面内 环的半径为 R 比细管的半径大 V0 R E m q L O O O R 3 得多 圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 可视为质点 A 球的质量为 m1 B 球 的质量为 m2 它们沿环形圆管顺时针运动 经过最低点时的速度都为 v0 设 A 球运动到最 低点时 球恰好运动到最高点 若要此时两球作用于圆管的合力为零 那么 m1 m2 R 与 v0应满足怎样的关系式 解析 首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图 如图所示 A 球在圆管最低点必 受向上弹力 N1 此时两球对圆管的合力为零 m2必受圆管向下的弹力 N2 且 N1 N2 据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低点有 R v mgmN 2 0 111 同理 m2在最高点有 R v mNgm 2 1 222 m2球由最高点到最低点机械能守恒 2 02 2 122 2 1 2 1 2vmvmRgm 又 N1 N2 小结 比较复杂的物理过程 如能依照题意画出草图 确定好研究对象 逐一分析就会 变为简单问题 找出其中的联系就能很好地解决问题 例 5 如图所示 赛车在水平赛道上作 900转弯 其内 外车道转弯处的半径分别为 r1 和 r2 车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是 试问 竞赛中车手应选图中的内道 转弯还是外道转弯 在上述两条弯转路径中 车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是 多少 分析分析 赛车在平直道路上行驶时 其速度值为其所能达到的最大值 设为赛车在平直道路上行驶时 其速度值为其所能达到的最大值 设为 v vm m 转弯时 车 转弯时 车 做圆周运动 其向心力由地面的静摩擦力提供 则车速受到轨道半径和向心加速度的限做圆周运动 其向心力由地面的静摩擦力提供 则车速受到轨道半径和向心加速度的限制 制 只能达到一定的大小 为此 车在进入弯道前必须有一段减速过程 以使其速度大小减小只能达到一定的大小 为此 车在进入弯道前必须有一段减速过程 以使其速度大小减小 到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值 走完弯路后 又要加速直至达到到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值 走完弯路后 又要加速直至达到 v vm m 车道的 车道的 选择 正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定 选择 正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定 对于外车道 设其走弯路时所允许的最大车速为 v2 则应有 mv22 r2 mg 解得 v2 2 r g 如图所示 设车自 M 点开始减速 至 N 点其速度减为 v2 且 刚好由此点进入弯道 此减速过程中加速度的大小为 a mg m g 此减速过程中行驶的路径长度 即 MN 的长度 为 x2 a vvm 2 2 2 2 g vm 2 2 2 2 r 车沿弯道到达 A 点后 由对称关系不难看出 它又要在一段长为 x2的路程上加速 才能达 到速度 vm 上述过程所用的总时间为 t2 t减速 t圆弧 t加速 a vvm 2 2 2 2v r a vvm 2 g vm 2 2 2 g r 2 同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t1 g vm 2 2 2 g r 1 4 另一方面 对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较 由图可见 车往内车道 多走了长度 L r2 rl 同时 在直线道上车用于加速和减速的行程中 车往内道也多走了长度 x 2x1 2x2 r2 rl 由于上述的 L 和 x 刚好相等 可见车在直道上以 vm匀速行驶的路程长度对于内外两道 来说是相等的 这样 为决定对内外道的选择 只需比较上述的 t1和 t2即可由于 t2 t1 显然 车手应选择走外道 由此赢得的时间为 t t1一 t2 21 2 2 rr g 2 2 求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围求解范围类极值问题 应注意分析两个极端状态 以确定变化范围 例 6 如图 直杆上 0102两点间距为 L 细线 O1A 长为3L O2A 长为 L A 端小球质量为 m 要使两根细线均被拉直 杆应以多大的角速度 转动 解析 当 较小时线 O1A 拉直 O2A 松弛 而当 太大时 O2A 拉直 O1A 将松弛 设 O2A 刚好拉直 但 FO2A仍为零时角速度为 1 此时 O2O1A 300 对小球 在竖直方向 FO1A cos300 mg 在水平方向 FO1A sin300 20 1 3sin30mL 由 得 1 2 3 g L 设 O1A 由拉紧转到刚被拉直 FO1A变为零时角速度为 2 对小球 FO2A cos600 mg FO2A sin600 m 22L sin600 由 得 2 2g L 故 22 3 gg LL 例 7 一根长约为 L 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平 面内转动 杆最初在水平位置 杆上距 O 为 a 处放有一个小物体 B 可 视为质点 杆与其上小物体最初均处于静止状态 若此杆突然以匀角速 度 绕 O 轴转动 问当 取什么值时 小物体与杆可能相碰 解析 杆开始转动后 两物体的运动状态分别为 A 做匀速转动 B 做自由 落体运动 若 B 能与杆相碰 只可能在 B 下落的竖直线上 那么 杆转动的高 度范围就被确定了 即如图所示的转角范围 我们分两种情况进行讨论 1 当杆的转速 较小时 物体 B有可能追上细杆与细杆相碰 设物体 B 下 落到 C 作用的时间为 t1 杆转过 角所用时间为 t2 两物要能相碰 t1和 t2就满足下列 条件 t1 t2 又因为 LBC gt12 t2 由几何关系 LBC 22 aL Lcos a 所以 LBC gt12 22 aL 解得 t1 g aL 22 2 由 t2 arccos L 解得 t2 1 arccos a L O A a L B 5 将 tl t2代入 式 得 g aL 22 2 1 arccos a L 解得 2