中学数学思想方法专题.ppt

中学数学思想方法 主讲人 李云霞 3136752e mail liyunx 中学数学思想方法 基本概念数学思想方法研究的内容 目的和意义中学数学中的基本数学思想方法几种重要的数学思想方法数学推理方法和证明方法数学思想方法的教学案例分析 一 基本概念 1 什么是数学方法 数学思想和数学思想方法 目前没有明确的定义 尚未达成共识 只能给出一种解释或界定 宏观的数学方法包括 数学模型 变换方法 对称方法 无穷小方法 公理划分法 结构方法 实验方法等 微观的数学方法大致可分为三类 1 逻辑学中的方法2 数学中的一般方法3 数学中的特殊方法 数学方法的内容 宏观微观 数学方法的四个层次 第一 基本和重大的数学思想方法 第二 与一般科学方法相应的数学方法第三 数学中特有的方法 第四 中学数学中的解题技巧 数学方法是指在数学的提出问题 解决问题 包括数学内部问题和实际问题 过程中 所采用的各种方式 手段 途径等 其中包括变换数学形式 数学思想和数学方法是紧密联系的 一般来说 强调指导思想时称数学思想 强调操作过程说称数学方法 数学思想是对数学知识的本质认识 是某些具体的数学活动和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点 它在认识活动中被反复运用 带有普遍的指导意义 是建立数学和用数学解决问题的指导思想 例如 模型思想 极限思想 统计思想 分类思想 化归思想 最优化思想等 在中学数学活动中 数学思想方法主要体现为一向三个层次 1 数学各个分科的具体解题方法和解题模式 2 适用面很广的一些 通法 3 数学观念 二 研究中学数学思想方法目的和意义 1 研究中学数学思想的目的九年制义务教育数学大纲规定 国内外的研究一致认为 从教材内容上看 研究数学思想方法的意义 数学思想方法是学生能力的重要组成部分 是数学素质教育的主要内容 是深化数学教学改革的突破口 三 中学数学中的基本数学思想方法 在中学数学中 除了有观察 实验 归纳 类比 分析 综合 抽象 概括 划分与比较等形成的数学理论的方法 有一般的逻辑推理 证明方法 以及化归 递推 等价转换 推广与限定等常用的一般数学思想方法之外 还有着特有的一些基本的数学思想方法 1 用字母代替数的思想方法 2 集合的思想方法 3 数形结合思想方法 4 函数 映射 对应的思想方法 5 最优化的思想方法 极大 极小 最大 最小等 6 分类的思想方法 7 参数的思想方法 8 统计思想和数据处理方法 观察与实验 试验 实验 就是按照科学研究目的 根据研究对象的自然状态和自身发展规律 人为地设置条件 来引起或控制事物现象的发生或发展过程 并通过感观来认识对象和规律的方法 任何试验都和观察相联系 观察是试验的前提 试验是观察的证实和发展 观察就是人们对事物或问题的数学特征通过视觉获取信息 运用思维辨认其形式 结构和数量关系 从而发现某些规律或性质的方法 在数学知识的发现和解决问题的过程中 观察法是常用的有效的方法 观察法和试验法的作用及其在中学数学教学中的体现 1 观察法在教学中的体现 1 观察法在数学概念教学中的作用如中学的有关数 形 函数的概念 引如正 负数的概念 平行四边形 等腰三角形等等 2 观察法在发现数学定理 公式中的作用 如 有理数的加法 乘法法则 指数函数的性质 等腰三角形 平行四边形的形式定理 勾股定理等等 3 观察是一种有效的解题方法 数学解题是一种需要透过观察去认识本质 找出问题的内在联系和规律 例1 分解因式 2 实验法在数学教学中的体现 1 特例实验是指在解决数学问题过程中 按照一定的方向 取特例进行探索 试验 从中探求解决问题的方向和途径 并发现其中的规律 如 1 正多面体的面数 棱数和顶点数的关系的探索 七年级上 2 勾股定理的结论的探索 北师大版新教本 八年级 上 2 定性实验 是探索研究对象的质的规定性的方法 它往往用来检验对象具有某些性质 某种因素是否存在 因素之间存在什么关系等 换言之 其目的在于验证和修正猜想 使猜想更趋于数学真理 例 对于哥德巴赫猜想 任何一个大于4的偶数均可表示成两奇数之和 如 考察偶数28 28 23 5 3 定量实验 是以探索数学对象的量的变化和其规律为直接目的的实验 即是用来测定对象的数值 数量之间的实验 其主要目的在于形成猜想 一般而言 定性实验是基础 定量实验是定性实验的精确化 其结果更具说服力 例 证明 三角形的内角和定理 讲授时 一般通过定性实验发现定理再证明 划分与比较 一 划分的标准 意义及规则 划分是指按照事物间的异同 将相同性质的对象归为一类 不同性质的对象归入不同类别的思维方法 每一种分类都按照一定的标准进行 其标准应根据研究的目的或观察问题的角度来确定 划分的意义在于使知识条理化 并进而系统化 促进认知结构的发展 数学上的划分包括对概念的划分 对性质的划分 方法的整理以及解题中分域讨论等 任何划分都包含了3个部分 划分的母项 划分的子项以及划分的标准 1 对概念的划分 1 划分的几种形式一次划分 连续划分 复分 二分法 2 划分的基本要求划分必须是相称的 划分的各个子项之间的关系必须是不相容关系 每次划分必须按同一标准 划分不能越级 2 对对象的划分 比较 比较是确定有关事物的共同点和不同点的思维方法 比较的过程是 先对有关事物进行分析 得出哪些方面具有共同点 哪些方面又有区别性 从而鉴别事物间的异同 比较包括量的比较 形式的比较 性质的比较等 比较的目的是认识有关事物的区别和联系 明确相互之间存在的同一性和相似性 例 一元一次不等式的教学与一元一次方程的教学比较等 分析与综合 分析是指对研究对象的整体进行分解 剖析 以达到认识对象的各个部分的性质或各个部分在整体中的作用所采用的思维方法 例如 研究数的概念时 把实数分为有理数和无理数 把有理数分为整数 零和负数 再把正数分为正整数和正分数来逐一研究 从而认识各种数的实际意义及其运算等 这种研究方法就是分析法 有时分析法还特指从结果出发追溯其产生原因的思维方法 即执果索因法 数学中的分析法一般有 筛选法 矛盾分析法 可溯分析法 综合方法 综合法是在分析的基础上把对研究对象的各个部分或要素的认识有机地结合起来 以形成对研究对象整体认识的思维方法 综合是以已知性质和分析为基础的 从已知出发逐步推求未知的思考方法 即由因导果 用字母代替数的思想方法 中学数学中最基本的方法之一 集合的思想方法 数形结合思想方法 实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来 使抽象思维与形象思维结合起来 发挥数与形两种转换及其优势互补与整合 关于数与形 华罗庚教授评价 数与形 本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘 几何代数流一体 永远联系切莫分离 四 几种重要的数学方法 1 数学解决问题的一般方法 化归方法 转化与归结的简称 基本思想 人们在解决数学问题说 常常将待解决的问题A 通过某种转化手段 归结为另一个问题B 而问题B是相对较易解决或已有固定解决程式的问题 且通过对问题B解决可得原问题A的解答 化归的一般原则 1 化归简单化原则 2 和谐统一性原则 3 具体化原则 4 标准形式化原则 5 低层次原则 2 数学模型方法 通过建立数学模型来解决问题的方法即是数学模型方法 数学模型 从广义理解 凡一切数学概念 数学公式 关系式 几何图形 定理 原理以及由公式系列构成的算法系 理论体系都是数学模型 从狭义理解 作为研究解决原型问题工具的数学模型 数学模型只指那些反映特定问题或待定具体事物系统的形式化的数学符号关系结构 即联系一个系统中各量间内在关系的数学表征 如可用代数方程表示一类应用题的数学模型 数学模型方法 是指通过建立数学模型来解决实际问题的一种方法 一般分三步进行 1 对现实问题进行抽象 建立数学模型 2 对建立的模型进行推算和演算 数学地求得模型的解 3 把模型的解返回到现实问题中去 检验数学模型的符合程度或获得现实问题的解 建立数学模型的基本原则 1 简化原则 2 可推演原则 3 反映性原则 数学抽象简化原则可检推数验演学原推则导反映性原则返回解释 现实原形问题 数学模型 数学模型的解 现实原形问题的解 中学数学解题中的模型 例 二次函数中学数学里常见的应用模型 例 单利 复利和折旧问题 249页 例 利润函数问题 251页 运用数学模型方法的五个环节 第一环节 对现实原形要分析其对象及关系结构的性质 以确定所要建立数学模型的类别和所要选用的数学方法 第二环节 确定能够反映所要研究问题的基本量和关系 分辩哪些量和量的关系是主要的 哪些次要的 可略而不计的 第三环节 进行数学抽象 第四环节 对模型进行数学推导和计算 得出数学结果或参数估计第五环节 检验模型 数学模型能力的培养 逐步培养学生的以下诸能力 1 理解实际问题的能力 2 洞察能力 即善于抓住系统要点的能力 3 抽象分析问题的能力 4 翻译 能力 5 运用数学知识的能力 6 通过实际加以检验的能力 3 公理化方法 就是从一组原始概念和一组公理出发 运用逻辑推理 吧一门学科理论建成演绎系统的方法 具体形态有三种 实体性公理化方法 形式公理化方法 和纯形式公理化方法 1 公理化方法的逻辑特征 无矛盾性 相容性或协调性 独立性和完备性 公理化方法的意义和作用 1 对数学的发展起到了巨大的作用 2 公理化方法的 整理 作用及其理论构建逻辑演绎体系的功能 有助于培养学生的逻辑思维能力 五 数学推理方法和证明方法 1 推理与推理方法推理规则 1 三段论推理规则 2 联言推理规则 3 选言推理规则 4 分离规则 5 否定推理规则 6 逆否规则 数学推理 按推理形式分 演绎法归纳法类比法 数学推理 按结论的可信度分 必真推理似真推理 2 证明与证明方法 证明要求论题真实 论据确凿 论证严密 证明方法 讨论两种特殊的方法 数学归纳法与反证法 反证法 当证明论题时 不去直接证明它 而把作为前提 加进原论题的前提 并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论 或者导出自相矛盾的结论 从而确立论题的真实性 这种证明命题的方法叫反证法 这是一种间接证法 反证法 当证明论题时 不去直接证明它 而把作为前提 加进原论题的前提 并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论 或者导出自相矛盾的结论 从而确立论题的真实性 这种证明命题的方法叫反证法 这是一种间接证法 反证法的五种形式 第一种形式 是通过证明逆否命题来证明原命题 第二种形式 是把作为前提 与已知前提合取推出前提互相矛盾的结果 第三种形式 是把作为前提 与已知前提合取推出互相矛盾的两个命题与 其中包括与公理 定理 已知真命题相矛盾的情形 第四种形式 是把作为前提 与已知前提合取推出与矛盾的命题 第五种形式 是把与原命题的前提中的合取推出与前提中的相矛盾的命题 综合五种形式可以看出 推出的矛盾大致有 与已知条件矛盾 与假设矛盾 自相矛盾 与已知真命题或事实矛盾 六 数学思想方法的教学 如何贯彻数学思想方法的教学 1 充分挖掘教材中的数学思想方法 2 有目的有意识地参透 介绍有关数学思想方法 3 有计划有步骤地渗透 介绍有关的思想方法 一 数学思想方法的教学的原理 1 数学思想方法教学的体现 1 数学思想方法的教学是素质教育的体现 2 数学思想方法的教学有待提高 2 数学思想方法的教学有待加强 当前数学思想方法的教学水平并不平衡 存在不少误区 重知识的记忆 轻思想的指导 重知识的获取 轻知识探索 重题型套路 轻思想方法的总结提高 二 数学思想方法的教学的原则 1 同步并进原则 1 思想方法蕴涵与基础知识中 2 数学思想方法在教学中得到传播 3 教学难点随着新方法的引入而出现 2 螺旋上升原则 1 同一教学方法概括着不同的数学知识 2 数学思想方法的运用水平要逐步提高3 区别对待原则4 系统安排原则 1 数学思想方法应体现在每节课教学中 2 数学思想方法应贯穿与教学的全过程5 自我构建原则 三 符号化意识的培养 1 数学符号意识有待发展2 数学符号的阅读与理解3 数学符号的鉴赏与体会4 数学符号的探究与挖掘5 数学符号的适当选择 6 数学符号的灵活应用7 符号意识的阶段发展8 符号错误的成因探析9 符号意识应长期培养10 符号能力宜综合训练 四