高中数学知识精要 13.数列教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 数数 列列 1 1 数列的概念 数列的概念 数列是一个定义域为正整数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 的特殊函数 数列的通项公式也就是相应函数的解析式 如 如 1 1 已知 则在数列的最大项为 答 2 156 n n anN n n a 1 25 2 2 数列的通项为 其中均为正数 则与的大小关系为 n a 1 bn an anba n a 1 n a 答 n a 1 n a 3 3 已知数列中 且是递增数列 求实数的取值范围 答 n a 2 n ann n a 3 4 4 一给定函数的图象在下列图中 并且对任意 由关系式 xfy 1 0 1 a 得到的数列满足 则该函数的图象是 答 A 1nn afa n a 1 Nnaa nn A B C D 2 2 等差数列的有关概念 等差数列的有关概念 1 1 等差数列的判断方法 等差数列的判断方法 定义法 定义法 或 1 nn aad d 为常数 11 2 nnnn aaaan 公式法 公式法 通项 banan 前项和 nBnAnSn 2 如如设是等差数列 求证 以 bn 为通项公式的数列 n a n aaa n 21 nN 为等差数列 n b 提醒 解答题多用定义法提醒 解答题多用定义法 2 2 等差数列的通项 等差数列的通项 1 1 n aand 或 nm aanm d 通项公式是 n 的一次函数 以 n an 为坐标的一群离散点均匀地分布 1 1 n aand 在直线上 公差 d 是相应直线的斜率 当 d 0 时 数列递增 当 d0 且 q 1 时 是指数函数 而是一个不为 0 的常数与 Rxqy x 1 Rxq q a y x 指数函数的积 因此 的图象是函数 y 的图象上的一 1 Nnq q a a n n 1 Nnq q a y n 群孤立点 很明显 若 0 当 q 1 时 数列递增 当 0 q 1 时 数列递减 q a1 提醒 提醒 可用来求公比 m n mn a a q 如如设等比数列中 前项和 126 求和公比 n a 1 66 n aa 21 128 n a a n n S nq 答 或 2 6n 1 2 q 3 3 等比数列的前 等比数列的前和 和 n 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 如 如 1 1 等比数列中 2 S99 77 求 答 44 2 2 的q 9963 aaa 10 10 n n k k n C 值为 答 2046 提醒提醒 1 等比数列的通项公式及前和公式中 涉及到 5 个元素 n 1 aqn 及 其中 称作为基本元素 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个 便可求出其余 n a n S 1 aq 2 个 即知 3 求 2 2 为减少运算量 要注意设元的技巧 如奇数个数成等比 可设 为 公比为 但偶数个数成等比时 不能设 2 2 aa a aq aq qq q 用心 爱心 专心 6 为 因公比不一定为正数 只有公比为正时才可如此设 且公比 3 3 aqaq q a q a 为 2 q 如如有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个成等比数列 且第一个数与第四个数的 和是 16 第二个数与第三个数的和为 12 求此四个数 答 15 9 3 1 或 0 4 8 16 特别提醒 特别提醒 等比数列前项和公式有两种形式 为此在求等比数列前项和时 首先要nn 判断公比是否为 1 再由的情况选择求和公式的形式 当不能判断公比是否为 1 时 qqq 要对分和两种情形讨论求解 q1q 1q 4 等比中项 等比中项 若成等比数列 那么 A 叫做与的等比中项 a A bab 提醒提醒 不是任何两数都有等比中项 只有同号同号两数才存在等比中项 且有两个 ab 如已知两个正数的等差中项为 A 等比中项为 B 则 A 与 B 的大小关系为 a b ab 答 A B 5 5 等比数列的性质 等比数列的性质 1 当时 则有 特别地 当时 则有mnpq mnpq aaaa AA2mnp 2 mnp aaa A 如 如 在等比数列中 n a 3847 124 512aaa a 公比 q 是整数 则 答 512 3847 124 512aaa a 10 a 2 2 各项均为正数的等比数列中 若 则 n a 56 9aa 3132310 logloglogaaa 答 10 2 若是等比数列 则 成等比数列 若 n a n a p nq ap qN n ka 成等比数列 则 成等比数列 若是等比数列 且公比 nn ab nn a b n n a b n a1q 则数列 也是等比数列 当 且为偶数时 数列 232 nnnnn SSSSS 1q n 是常数数列 0 它不是等比数列 232 nnnnn SSSSS 如 如 1 1 已知且 设数列满足 且0a 1a n x 1 log1log anan xx nN 则 答 12100 100 xxx 101102200 xxx 100 100a 2 2 在等比数列中 为其前 n 项和 若 则 n a n S140 13 30101030 SSSS 用心 爱心 专心 7 的值为 答 40 20 S 3 若 则为递增数列 若 则为递减数列 1 0 1aq n a 1 0 1aq n a 若 则为递减数列 1 0 01aq n a 若 则为递增数列 1 0 01aq n a 若 则为摆动数列 若 则为常数列 0q n a1q n a 4 当时 这里 但 这1q baq q a q q a S nn n 11 11 0ab 0 0ab 是等比数列前项和公式的一个特征 据此很容易根据 判断数列是否为等比数列 n n S n a 如如若是等比数列 且 则 答 1 n a3n n Sr r 5 mn m nmnnm SSq SSq S 如如设等比数列的公比为 前项和为 若成等差数列 则的值 n aqn n S 12 nnn SSS q 为 答 2 6 在等比数列中 当项数为偶数时 项数为奇数时 n a2nSqS 偶奇 21n 1 SaqS 奇偶 7 如果数列既成等差数列又成等比数列 那么数列是非零常数数列 故常数数 n a n a 列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件 n a 如如设数列的前项和为 关于数列有下列三个命题 n an n SN n n a 若 则既是等差数列又是等比数列 1 N naa nn n a 若 则是等差数列 R banbnaSn 2 n a 若 则是等比数列 这些命题中 真命题的序号是 n n S11 n a 答 6 6 数列的通项的求法 数列的通项的求法 公式法 等差数列通项公式 等比数列通项公式 如如已知数列试写出其一个通项公式 答 32 1 9 16 1 7 8 1 5 4 1 3 用心 爱心 专心 8 1 1 21 2 n n an 已知 即 求 用作差法 n S 12 n aaaf n n a 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 如 如 已知的前项和满足 求 n an 2 log 1 1 n Sn n a 答 3 1 2 2 n n n a n 数列满足 求 n a 12 2 111 25 222 n n aaan n a 解 i 令时 ii 1 2 1 2 得 即所以 提醒提醒 1 1 用求数列的通项公式时 你注意到此等式成立的条件了吗 1 nnn SSa 只有时 才有 当时 注意验证 a1是否包含在后面2n 1 nnn SSa1n 11 Sa an 的公式中 若不符合要单独列出 2 2 一般地当已知条件中含有与的混合关系时 n a n S 常需运用关系式 先将已知条件转化为只含或的关系式 然后再求解 1 nnn SSa n a n S 如如数列满足 求 答 n a 111 5 4 3 nnn aSSa n a 1 4 1 3 4 2 n n n a n A 已知求 用作商法 12 n a aaf n A A A n a 1 1 2 1 n fn f na n f n 如如数列中 对所有的都有 则 n a 1 1 a2 n 2 321 naaaa n 答 53 aa 61 16 若求用累加法 1 nn aaf n n a 11221 nnnnn aaaaaaa 用心 爱心 专心 9 1 a 2 n 如如已知数列满足 则 答 n a 1 1a nn aa nn 1 1 1 2 n n a 121 n an 已知求 用累乘法 1 n n a f n a n a 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 2 n 如如已知数列中 前项和 若 求 答 n a2 1 an n S nn anS 2 n a 4 1 n a n n 已知递推关系求 用构造法 构造等差 等比数列 特别地 n a 1 1 形如 形如 为 p q 为常数且 的数列 1nn apaq 1p 可化为 利用等比数列求出的表达式 进而求 1 11 nn qq ap a pp 1 n q a p 出 n a 可由得两式相减可得 利用 1nn apaq n a p 1n a q 1nn aa 1 nn p aa 成等比数列求出 再利用迭代或迭加求出 1 nn aa 1nn aa n a 先用累加法求再求 11 1 nn n n n p q p a p a n n p a n a 如如已知 求 答 11 1 32 nn aaa n a 1 2 31 n n a A 形如 为常数 也可通过类似方式来求得 1 n nn akab k b n a 更一般地 递推数列 an kan 1 f n k 0 k 1 f n 为等比或等差 还可由 an kan 1 b 派生出 an 1 kan b 两式相减得 an 1 an k an an 1 依据等比数列 的定义求出其通项公式 这是二阶线性递归数列 an 1 pan qan 1 0 的解法 从而形如 的数列可变形为就是 nnn qapaa 12211 nnnn aaaa 则可从 解得于是 21 nnn aaa p q 是公比为的等比数列 1 nn aa 用心 爱心 专心 10 如 数列中 求数列的通项公式 n a 1 1a 2 2a 21 21 33 nnn aaa n a 解 在两边减去得 21 21 33 nnn aaa 1n a 211 1 3 nnnn aaaa 是以为首项 以为公比的等比数列 1 nn aa 21 aa 1 1 3 1 1 1 3 n nn aa 令上式 再把个等式累加得 1 2 3 1 nn 1n 1n aa 22 111 1 333 n 1 1 1 3 1 1 3 n 1 31 1 43 n n a 1 31 1 1 43 n 已知 求 答 11 1 32n nn aaa n a 11 5 32 nn n a A 形如 形如 1 1 n n n a a kab 11nnnn aapaa 为常数且 的递推数列都可以用倒数法求通项 可化为 求出的p0p 1 11 nn aa p 1 n a 表达式 再求 n a 如 如 已知 求 答 1 1 1 1 31 n n n a aa a n a 1 32 n a n 已知数列满足 1 求 1 a 11nnnn aaa a n a 答 2 1 n a n 这种类型还有如 可采用取倒数方法转化成为形式解 1 n n n ma a paq 1 11 nn mm aq ap 决 又如已知数列中且 求数列 的通项公式可采用两边取对数 n a 1 2a 2 1nn aa n a 方法即则数列是以为首项 为公比的等比数列 1 2lglg nn aa lg n alg2 1 2 猜想 归纳 证明 数学归纳法 与自然数有关的命题常用数学归纳法证明 证明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个 特征 其步骤是 1 验证命题对于第一个自然数 n n0 k n0 时成立 2 假设 n k 时成立 从而证明当 n k 1 时命题也成立 3 得出结论 注 1 数学归纳法是一种完全归纳法 其中两步在推理中的作用是 第一步是递推 用心 爱心 专心 11 的基础 第二步是递推的依据 二者缺一不可 2 在运用数学归纳法时 要注意起点 n 并非一定取 1 也可能取 0 2 等值 要看清题目 3 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清由 k 到 k 1 时命题变化 情况 证明时要一凑假设 二凑结论 7 7 数列求和的常用方法 数列求和的常用方法 1 公式法公式法 等差数列求和公式 等比数列求和公式 特别声明特别声明 运用等比数列 求和公式 务必检查其公比与 1 的关系 必要时需分类讨论 常用公式 1 123 1 2 nn n 2221 12 1 21 6 nn nn 33332 1 123 2 n n n 如 如 1 1 等比数列的前项和 S 2 则 答 n an 22 3 2 2 2 1n aaaa 2 2 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的 二进制即 逢 2 进 1 如 41 3 n 表示二进制数 将它转换成十进制形式是 那么将二 2 1101 1321202121 0123 进制转换成十进制数是 答 12005 2 11111 个 2005 21 2 分组求和法分组求和法 在直接运用公式法求和有困难时 常将 和式 中 同类项 先合 并在一起 再运用公式法求和 如如求 答 1 357 1 21 n n Sn 1 nn 3 倒序相加法倒序相加法 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数 相关联 则常可考虑选用倒序相加法 发挥其共性的作用求和 这也是等差数列前和公式n 的推导方法 如如 求证 012 35 21 1 2 nn nnnn CCCnCn A 已知 则 2 2 1 x f x x 答 111 1 2 3 4 234 fffffff 7 2 一般地 an 为等差数列 可通过此法来求 n nnnnn CaCaCaS 1 1 2 0 1 提醒 观察通项 注意首项 点清项数 4 错位相减法错位相减法 如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相 乘构成 那么常选用错位相减法 这也是等比数列前和公式的推导方法 两边同乘以公n 比错位相减 但要区分公比是否为 1 用心 爱心 专心 12 如 如 1 1 设为等比数列 已知 n a 121 1 2 nnn Tnanaaa 1 1T 求数列的首项和公比 求数列的通项公式 答 2 4T n a n T 1 1a 2q 1 22 n n Tn 2 2 设函数 数列满足 1 4 1 2 xxgxxf n a 1 2 n af a n a 求证 数列是等比数列 令 1 Nnaga nn 1 n a 2 12 1 1 h xaxax 求函数在点处的导数 并比较与的大小 1 n n ax xh 3 8 x 3 8 h 3 8 h nn 2 2 答 略 当时 当时 nn 2 23n 3 8 h nn 2 2 5 裂项相消法裂项相消法 如果数列的通项可 分裂成两项差 的形式 且相邻项分裂后相关 联 那么常选用裂项相消法求和 常用裂项形式有 111 1 1n nnn 11 11 n nkk nnk 22 11111 1211kkkk 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 11 1 1 n nnn 如 如 1 1 求