高三数学理立体几何（三）人教实验版（A）知识精讲

用心 爱心 专心 高三数学理立体几何 三 人教实验版 高三数学理立体几何 三 人教实验版 A 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 立体几何 三 二 重点 难点 一 1 在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用 2 A B C 三点共线ACAB ACtAB 3 共面向量 ab ba 均在平面 内 byaxpp x y 唯一 4 空间向量的坐标表示 321321 bbbbaaaa 1 332211 babababa 2 321 aaaa 3 332211 babababa 332211 babababa 0 332211 babababa 2 3 2 2 2 1 aaaa 二 直线l m 的方向向量为ba 平面 的法向量为v 1 Rkbkabaml 2 0 babaml 3 0 aal 4 Rkkaal 用心 爱心 专心 5 Rkvkuvu 6 0 vuvu 三 三种空间角的向量法计算公式 1 异面直线ba 所成的角 ba coscos 2 直线a与平面 法向量n 所成的角 na cossin 3 锐二面角 nm coscos 其中nm 为两个面的法向量 典型例题典型例题 例 1 如图所示 在四棱锥 M ABCD 中 底面 ABCD 是边长为a的正方形 侧棱 AM 的 长为b 且 AM 和 AB AD 的夹角都等于 60 N 是 CM 的中点 1 以AMADAB 为基向量表示出向量CM 并求 CM 的长 2 求 BN 的长 解析 解析 1 ADABAMADABAMACAMCM 2 2 ADABAMCM ADABADAMABAMADABAM 222 222 22 2222 22 90cos260cos260cos2 baba ababaaab 22 22babaCM 2 ADABAMBCCNBCBN 2 1 ADABAM 2 1 ADABADAMABAMADABAMBN222 4 1 22 2 2 4 1 22 ba 用心 爱心 专心 22 2 2 1 baBN 例 2 若 A B C D 是空间不共面的四点 且满足0 ACAB 0 ADAC 0 ADAB 则 BCD 是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 不确定 答案 答案 B 解析 解析 ABADABACBDBC 2 ABABACADABADAC 0 2 AB 同理0 CDCB 0 DCDB 故 BCD 为锐角三角形 因此选 B 例 3 已知 A 3 1 5 B 2 1 4 求直线 AB 与坐标平面xOz的交点 M 的坐 标 解析 解析 设 M x 0 z 由条件 A B M 三点共线 AMAB 1 2 5 AB 5 1 3 zxAM 1 5 2 1 5 3 zx 2 9 2 1 zx M 2 9 0 2 1 例 4 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 AB AC AB AC M 是 CC1的中点 Q 是 BC 的中点 点 P 在 A1B1上 则直线 PQ 与直线 AM 所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 解析 解析 以 A 为原点 AB 为 x 轴 AC 为 y 轴 AA1为 z 轴建立空间直角坐标系 用心 爱心 专心 A 0 0 0 M 0 1 2 1 Q 0 2 1 2 1 设 P x 0 1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 xPQAM 01 2 1 2 1 1 2 1 0 xPQAM PQAM 选 D 例 5 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 若 1 2BBAB 则 1 AB与 C1B 所成的角的大小为 A 60 B 90 C 105 D 75 答案 答案 B 解析 解析 如图 11 BBABAB 11 CCBCBC 设1 1 BB 111 CCABBCABBCAB 01120cos22 111 CCBBBCBB 11 BCAB 例 6 已知空间三点 A 0 2 3 B 2 1 6 c 1 1 5 求以AB AC为 邻边的平行四边形的面积 解析 解析 14 14 2 3 1 3 1 2 ACABACAB 2 3 sin 2 1 cos ACAB ACAB ACAB ACAB 故以AB AC为邻边的平行四边形面积为 用心 爱心 专心 37 sin ACABACAB 例 7 在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中 BCA 90 点 D1 F1分别是 A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则 BD1与 AF1所成的角的余弦值是 A 10 30 B 2 1 C 15 30 D 10 15 答案 答案 A 解析 解析 建立如图所示的坐标系 设 BC 1 则 A 1 0 0 F1 2 1 0 1 B 0 1 0 D1 1 2 1 2 1 即 1 2 1 2 1 1 0 2 1 11 BDAF 10 30 cos 11 11 11 BDAF BDAF BDAF 例 8 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AD AA1 1 AB 2 点 E 在棱 AB 上移动 1 证明 D1E A1D 2 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 ACD1的距离 3 AE 等于何值时 二面角 D1 EC D 的大小为 4 解答 解答 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DD1分别为zyx 轴 建立空间直角坐标系 设 AE x 则 A1 1 0 1 D1 0 0 1 E 1 x 0 A 1 0 0 C 0 2 0 1 因为 1 0 1 11 EDDA 1 1 x 0 所以EDDA 11 用心 爱心 专心 2 因为 E 为 AB 的中点 则 E 1 1 0 从而 1 1 1 1 ED 0 2 1 AC 101 1 AD 设平面 ACD1的法向量为 cban 则 0 0 1 ADn ACn 也即 0 02 ca ba 得 ca ba2 从而 2 1 2 n 所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面 D1EC 的法向量 cban 0 2 1 xCE 1 0 0 1 2 0 11 DDCD 由 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 令1 b 2 c xa 2 2 1 2xn 依题意 2 2 4 cos 1 1 DDn DDn 2 2 52 2 2 x 例 9 如图 在四棱锥 P ABCD 中 已知 PA 平面 ABCD PB 与平面 ABC 成 60 的 角 底面 ABCD 是直角梯形 ABC BAD 90 AB BC 2 1 AD 1 求证 平面 PCD 平面 PAC 2 设 E 是棱 PD 上一点 且 PE 3 1 PD 求异面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值 解析 解析 如图 建立空间直角坐标系xyzA 用心 爱心 专心 PA 平面 ABCD PB 与平面 ABC 成 60 PBA 60 取 AB 1 则 A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 P 0 0 3 D 0 2 0 1 0 1 1 3 0 0 0 1 1 CDAPAC 0 0011 CDAPCDAC AC CD AP CD CD 平面 PAC CD 平面 PCD 平面 PCD 平面 PAC 2 PDPE 3 1 3 32 3 2 0E 3 32 3 2 0AE 又 3 0 1 PB 2 PBAE 4 3 2 3 4 2 cos PBAE PBAE PBAE AE 与 PB 所成角余弦值为 4 3 例 10 在四面体 O ABC 中 点 M 在 OA 上 且 OM 2MA N 为 BC 中点 若 OC x OB x OAOG 443 1 则使 G 与 M N 共线的 x 值为 A 1 B 2 C 3 2 D 3 4 答案 答案 A 解析 解析 若 G M N 共线 则存在 使MNMG 即 OMONOMOG 11ONOMOG OCOBOA 2 1 3 2 OCOBOA 223 12 用心 爱心 专心 24 3 1 3 12 x 1 x 例 11 二面角的棱上有 A B 两点 直线 AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内 且都垂直于 AB 已知 AB 4 AC 6 BD 8 CD 172 则该二面角的大小为 A 150 B 45 C 60 D 120 答案 答案 C 解析 解析 由条件知 0 0 BDABABCA BDABCACD BDCABDABABCABDABCACD 222 2222 2 222 172 cos96116 cos862846 BDCABDCA 2 1 cos BDCA 120 BDCA 所以二面角的大小为 60 例 12 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC 3 AA1 2 ACB 90 M 是 AA1的中点 N 点是 BC1的中点 1 求证 MN 平面 A1B1C1 2 求点 C1到平面 MBC 的距离 3 求二面角 B C1M A1的大小 解析 解析 1 如图 以点 C 为坐标原点 以 CB 所在直线为 x 轴 CA 所在直线为 y 轴 CC1所在直线为 z 轴 建立空间直角坐标系 取 B1C1中点 D 由已知 得 A1 0 3 2 B1 3 0 2 C1 0 0 2 M 0 3 1 N 1 0 2 3 D 2 0 2 3 用心 爱心 专心 0 3 2 3 0 3 2 3 1D AMN DAMN 1 MN A1D 又 MN 平面 A1B1C1 A1D 平面 A1B1C1 MN 平面 A1B1C1 2 B 3 0 0 C 0 0 0 1 3 0 1 3 3 CMBM 设平面 BCM 的一个法向量 1 bam 则0 0 CMmBMm 013 0133 b ba 3 1 0 b a 1 3 1 0m C1到平面 BMC 的距离3 1 m mCC d 3 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 C1C BC 又 ACB 90 BC 平面 A1MC1 0 0 3 BC 设平面 BMC1的一个法向量 1 dcn 2 0 3 1 BC 1 3 3 BM 0 0 1 BMnBCn 0133 023 dc c 3 1 3 2 d c 1 3 1 3 2 n 用心 爱心 专心 2 2 cos nBC nBC nBC nBC 4 3 二面角的大小为 4 3 例 13 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 2 E F 分别是 D1B AD 的中点 3 3 cos 1 CEDD 1 建立适当的坐标系 求出 E 点的坐标 2 证明 EF 是异面直线 D1B 与 AD 的公垂线 3 求二面角 D1 BF C 的余弦值 解析 解析 1 以 D 为原点 DA DC DD1所在直线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直 角坐标系 则 A B C 的坐标分别为 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 设 D1 0 0 2m 0 m 则 E 1 1 m mCE 1 1 mDD2 0 0 1 3 3 211 1 12 0 0 cos 2 2 2 2 1 mm mm CEDD 解得1 m 故 E 点坐标为 1 1 1 2 由 1 可知 正四棱柱 ABCD A1B1C1D1是棱长为 2 的正方体 又 FD 1 F 1 0 0 0 0 2 1 1 0 2 2 2 1 ADEFBD 0000 0220 1 ADEFBDEF EF BD1 EF AD 又ADFBDE 1 故 EF 是 AD 与 D1B 的公垂线 3 设 n 是平面 FD1B 的一个法向量 zyxn 则 0 0 1 FBn FDn 又 0 2 1 2 0 1 1 FBFD 02 02 yx zx 用心 爱心 专心 解得 zy zx2 则 zzzn 2 1 1 2 z 取 1 1 2 0 n 则 0 n与 DD1所成角 等于二面角 D1 FB C 的平面角 6 6 200112 2 0 01 1 2 cos 2222 2 2 10 10 DDn DDn 二面角 D1 BF C 的余弦值为 6 6 例 14 如图 已知 ABCD 是矩形 AB a AD b PA 平面 ABCD PA c2 Q 是 PA 的中点 求 1 Q 到 BD 的距离 2 P 到平面 BQD 的距离 解 解 1 在矩形 ABCD 中 作 AE BD E 为垂足 连结 QE QA 平面 ABCD 由三垂线定理得 QE BE QE 的长为 Q 到 BD 的距离 在矩形 ABCD 中 AB a AD b 22 ba ab AE 在QAERt 中 cPAQA 2 1 22 22 2 ba ba cQE Q 到 BD 的距离为 22 22 2 ba ba c 2 解法一 解法一 平面 BQD 经过线段 PA 的中点 P 到平面 BQD 的距离等于 A 到平面 BQD 的距离 在AQE 中 作 AH QE H 为垂足 BD AE BD QE BD 平面 AQE BD AH AH 平面 BQE 即 AH 为 A 到平面 BQD 的距离 在AQERt 中 22 ba ab AEcAQ 22222 bacba abc AH 用心 爱心 专心 P 到平面 BD 的距离为 22222 bacba abc 解法二 解法二 设点 A 到平面 QBD 的距离为h 由 ABDQBQDA VV 得AQShS ABDBQD 3 1 3 1 BQD ABD S AQS h 22222 bacba abc 模拟试题模拟试题 1 下列三种叙述 其中正确的有 用一个平面去截棱锥 棱锥底面和截面之间的部分是棱台 两个底面平行且相似 其余各面都是梯形的多面体是棱台 有两个面互相平行 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 2 在下面四个命题中 真命题共有 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 斜三棱柱的侧面一定都不是矩形 底面为矩形的平行六面体是长方体 侧面是正方形的四棱柱是正方体 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3 在以下三个命题中 真命题的个数为 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 有一个面是凸多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥 有一个面是多边形 其余各面都是三角形 而这些三角形可分成两部分 它们分别 有公共的顶点 有几何体是棱锥 A 0 B 1 C 2 D 3 4 下列叙述中正确的是 A 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D 棱台各侧棱的延长线交于一点 5 下列叙述中正确的是 A 以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆 D 圆锥的侧面展开图为扇形 这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 6 图 1 是由图 2 中的哪个平面图旋转得到的 7 有下列叙述 用心 爱心 专心 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 在圆台上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆台的母线 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 其中正确的是 A B C D 8 上 下底面积分别为 36 和 49 母线长为 5 的圆台 其两底之间的距离为 A 4 B 23 C 32 D 62 9 A B 为球面上相异的两点 则通过 A B 可作的大圆个数为 A 只能作一个 B 可以作无数个 C 一个没有 D 一个或无数个 10 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 BB1 BC 的中点 则图中阴影 部分在平面 ADD1A1上的正投影为 11 如果圆锥的侧面展开图是半圆 那么这个圆锥的顶角 圆锥轴截面中两条母线的夹 角 是 A 30 B 45 C 60 D 90 12 如图建立坐标系 得到的正三角形 ABC 的直观图不是全等三角形的一组是 13 下列命题中正确的是 A 矩形的平行投影一定是矩形 B 梯形的平行投影一定是梯形 C 两条相交直线的投影可能平行 D 一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 14 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 A B C D 15 已知某个几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体 的体积是 用心 爱心 专心 A 3 3 4000 cm B 3 3 8000 cm C 3 2000cm D 3 4000cm 16 两个球的表面积之差为 48 它们的大圆周长之和为 12 这两个球的半径之差为 A 4 B 3 C 2 D 1 17 正四棱台的上 下两底面边长分别是方程0189 2 xx的两根 其侧面积等于两 底面积之和 则其斜高与高分别为 A 2 5 与 2 B 2 与 2 3 C 5 与 4 D 2 与 5 18 正四棱锥底面外接圆半径为 10cm 斜高为 12cm 下面数据正确的是 A 高cmh112 B 侧棱长cml12 C 侧面积 2 260cmS D 对角面面积 2 9410cmS 19 半径为 15cm 圆心角为 216 的扇形围成圆锥的侧面 则圆锥的高是 A 14cm B 12cm C 10cm D 8cm 20 正四棱柱的对角线长是 9cm 全面积是 144cm2 则满足这些条件的正四棱柱的个数 是 A 0 个 B 唯一的 C 两个 D 无数个 21 一个四面体的所有棱长都为2 四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 A 3 B 4 C 33 D 6 22 现在建造一个长方体形状的仓库 其内部的高为 3m 长和宽的和为 20m 那么仓库 的容积的最大值是 A 300m3 B 400m3 C 200m3 D 240m3 23 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥 则它的体积是 A 3 24 3 R B 3 8 3 R C 3 24 5 R D 3 8 5 R 24 正四棱柱底面积为 P 过相对侧棱截面面积为 Q 则它的体积是 A QP2 B Q P 2 C PQ2 2 1 D Q P 2 2 25 圆台上 下底面积分别为 4 侧面积为 6 则这个圆台的体积为 用心 爱心 专心 A 3 37 B 3 32 C 32 D 3 6 7 26 已知正六棱台上 下底面边长分别为 2 和 4 高为 2 则其体积为 A 332 B 328 C 324 D 320 27 如图 在 ABC 中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 若将 ABC 绕直线 BC 旋转 一周 则所形成的旋转体的体积是 A 2 9 B 2 7 C 2 5 D 2 3 28 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱 这个四棱锥的底面为正方形 且底面边长与各侧棱长相等 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等 设四棱锥 三 棱锥 三棱柱的高分别为 321 hhh 则 321 hhh A 1 1 3 B 2 2 3 C 2 2 3 D 3 2 3 29 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上 其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上 其该正三棱锥的体积是 A 12 3 B 4 3 C 3 3 D 4 33 30 两个非零向量 321321 bbbbaaaa 平行的充要条件是 A bbaa B 332211 bababa C 存在非零实数k 使0 kbbD 存在非零实数k 使kba 31 已知 1 0 3 3 2 1 ba 5 3 1 5 1 c 给出下列等式 cbacba cbacba 222 2 cbacba cbacba 其中正确的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 32 若两点的坐标是 A 1 sin3 cos3 B sin2 cos2 1 则 AB的取值范 围是 用心 爱心 专心 A 0 5 B 1 5 C 1 5 D 1 25 33 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 下列各式中运算的结果为向量 1 AC的共有 1 1 CCBCAB 2 11111 CDDAAA 3 111 CBBBAB 4 11111 CBBAAA A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 34 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 下列各式中运算的结果为向量