初、高中数学公式大全

初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线平行 12 两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等 22 边角边公理 SAS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 AAS 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边 直角边公理 HL 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 即等边对等角 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 等角对等边 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a 2 b 2 c 2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有关系 a 2 b 2 c 2 那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 n 2 180 51 推论 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 对角线乘积的一半 即 S a b 2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半 L a b 2 S L h 83 1 比例的基本性质 如果 a b c d 那么 ad bc 如果 ad bc 那么 a b c d 84 2 合比性质 如果 a b c d 那么 a b b c d d 85 3 等比性质 如果 a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角 形的第三边 89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 94 判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 S ABC 1 2absinC S ABC 1 2bcsinA S ABC 1 2acsinB 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半 径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直 平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109 定理 不在同一直线上的三点确定一个圆 110 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦 相等 所对的弦的弦心距相等 115 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 118 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所 对的弦是直径 119 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 120 定理 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它 的内对角 121 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积 相等 131 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133 推论 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 定理 把圆分成 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于 n 2 180 n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积 3a 4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角 由于这些角的和应为 360 因此 k n 2 180 n 360 化为 n 2 k 2 4 144 弧长计算公式 L n 兀 R 180 145 扇形面积公式 S 扇形 n 兀 R 2 360 LR 2 146 内公切线长 d R r 外公切线长 d R r 147 完全平方公式 a b 2 a 2 2ab b 2 a b 2 a 2 2ab b 2 148 平方差公式 a b a b a 2 b 2 还有一些 大家帮补充吧 实用工具 常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因式分 a2 b2 a b a b a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 三角不等式 a b a b a b a b a b b a b a b a b a a a 一元二次方程的解 b b2 4ac 2a b b2 4ac 2a 根与系数的关系 X1 X2 b a X1 X2 c a 注 韦达定理 判别式 b2 4ac 0 注 方程有两个相等的实根 b2 4ac 0 注 方程有两个不等的实根 b2 4ac0 抛物线标准方程 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py 直棱柱侧面积 S c h 斜棱柱侧面积 S c h 正棱锥侧面积 S 1 2c h 正棱台侧面积 S 1 2 c c h 圆台侧面积 S 1 2 c c l pi R r l 球的表面积 S 4pi r2 圆柱侧面积 S c h 2pi h 圆锥侧面积 S 1 2 c l pi r l 弧长公式 l a r a 是圆心角的弧度数 r 0 扇形面积公式 s 1 2 l r 锥体体积公式 V 1 3 S H 圆锥体体积公式 V 1 3 pi r2h 斜棱柱体积 V S L 注 其中 S 是直截面面积 L 是侧棱长 柱体体积公式 V s h 圆柱体 V pi r2h 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 非空子集有 1 个 非空的真子集 12 n a aa 2n2n2n 有 2 个 2n 6 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 方程在上有且只有一个实根 与不等价 前者是后者的一个必要而不是0 xf 21 kk0 21 kfkf 充分条件 特别地 方程有且只有一个实根在内 等价于 或 0 0 2 acbxax 21 kk0 21 kfkf 且 或且 0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 具体如下 1 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a0 1 则的周期 T a axfxf xf 2 0 axfxf 或 0 1 xf xf axf 或 1 f xa f x 0 f x 或 则的周期 T 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 则的周期 T 3a 0 1 1 xf axf xf xf 4 且 则的周期 T 4a 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa xf 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则的周期 T 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 则的周期 T 6a axfxfaxf xf 30 分数指数幂 1 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 31 根式的性质 1 n n aa 2 当为奇数时 n nn aa 当为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 32 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指 数幂都适用 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 记 若的定义域为 则 且 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xfR0 a 若的值域为 则 且 对于的情形 需要单独检验 0 xfR0 a0 0 a 37 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N 平均增长率为 则对于时间的总产值 有 pxy 1 xyNp 39 数列的同项公式与前 n 项的和的关系 数列的前 n 项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa 40 等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 等比差数列 的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前 n 项和公式为 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款 按揭贷款 每次还款元 贷款元 次还清 每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 正弦 余弦的诱导公式 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a btan b a 48 二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 三角函数的周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 且 A 0 0 的周期sin yx cos yx 函数 A 为常数 且 A 0 0 的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T 51 正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 222 2coscababC 53 面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 54 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地 有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么 1 结合律 a a a a 2 第一分配律 a a a a a a 3 第二分配律 a a b b a a b b 58 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 59 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 60 向量平行的坐标表示 设 a a b b 且 b b0 0 则 a a b bb b0 0 11 x y 22 xy A 1221 0 x yx y 53 a a与 b b 的数量积 或内积 a a b b a a b b cos 61 a b 的几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos 的乘积 62 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 63 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 64 平面两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 65 向量的平行与垂直 设 a a b b 且 b b0 0 则 11 x y 22 xy A A b bb b a a 1221 0 x yx y a ab ab a0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 66 线段的定比分公式 设 是线段的分点 是实数 且 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 67 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 的重心的坐标是 11 A x y 22 B x y 33 C x y 123123 33 xxxyyy G 68 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 且的坐标为 F P x y PP h k 69 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象按向量 a a 平移后得到图象 则的函数解析式为 yf x C h k C C yf xhk 3 图象按向量 a a 平移后得到图象 若的解析式 则的函数解析式为 C h kCC yf x C yf xhk 4 曲线 按向量 a a 平移后得到图象 则的方程为 C 0f x y h k C C 0f xh yk 5 向量 m m 按向量 a a 平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 70 三角形五 心 向量形式的充要条件 设为所在平面上一点 角所对边长分别为 则OABC A B C a b c 1 为的外心 OABC 222 OAOBOC 2 为的重心 OABC 0OAOBOC 3 为的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 为的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 为的的旁心 OABC A aOAbOBcOC 71 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 72 极值定理 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 73 一元二次不等式 如果与同号 则其 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 解集在两根之外 如果与异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异号两根之间 a 2 axbxc 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 74 含有绝对值的不等式 当 a 0 时 有 2 2 xaxaaxa 或 22 xaxaxa xa 75 无理不等式 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 76 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 79 两条直线的平行和垂直 1 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若 且 A1 A2 B1 B2都不为零 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夹角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1与 l2的夹角是 12 ll 2 81 到的角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线时 直线 l1到 l2的角是 12 ll 2 82 四种常用直线系方程 1 定点直线系方程 经过定点的直线系方程为 除直线 其中是待 000 P xy 00 yyk xx 0 xx k 定的系数 经过定点的直线系方程为 其中是待定的系数 000 P xy 00 0A xxB yy A B 2 共点直线系方程 经过两直线 的交点的直线系方程为 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 除 其中 是待定的系数 111222 0AxB yCA xB yC 2 l 3 平行直线系方程 直线中当斜率 k 一定而 b 变动时 表示平行直线系方程 与直线ykxb 平行的直线系方程是 是参变量 0AxByC 0AxBy 0 4 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直线系方程是 0AxByC 0BxAy 是参变量 83 点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 84 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 若 当与同号时 表示直线 的上方的区域 当与异号时 表示直线0B BAxByC lBAxByC 的下方的区域 简言之 同号在上 异号在下 l 若 当与同号时 表示直线 的右方的区域 当与异号时 表示直线0B AAxByC lAAxByC 的左方的区域 简言之 同号在右 异号在左 l 85 或所表示的平面区域 111222 0AxB yCA xB yC 0 设曲线 则 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 或所表示的平面区域是 111222 0AxB yCA xB yC 0 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的平面区域上下两部分 111222 0AxB yCA xB yC 86 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B xy 87 圆系方程 1 过点 的圆系方程是 11 A x y 22 B xy 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 其中是直线的方程 是待定的 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 0axbyc AB 系数 2 过直线 与圆 的交点的圆系方程是l0AxByC C 22 0 xyDxEyF 是待定的系数 22 0 xyDxEyFAxByC 3 过圆 与圆 的交点的圆系方程是 1 C 22 111 0 xyD xE yF 2 C 22 222 0 xyD xE yF 是待定的系数 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 88 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若 则 22 00 daxby 点在圆外 点在圆上 点在圆内 dr Pdr Pdr P 89 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 90 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1 O2 半径分别为 r1 r2 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 91 圆的切线方程 1 已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点在圆上 则切线只有一条 其方程是 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 当圆外时 表示过两个切点的切点弦方程 00 xy 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 过圆外一点的切线方程可设为 再利用相切条件求 k 这时必有两条切线 注意 00 yyk xx 不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 再利用相切条件求 b 必有两条切线 ykxb 2 已知圆 222 xyr 过圆上的点的切线方程为 000 P xy 2 00 x xy yr 斜率为的圆的切线方程为 k 2 1ykxrk 92 椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 93 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 94 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 95 椭圆的切线方程 1 椭圆上一点处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 椭圆与直线相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 96 双曲线的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 98 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 焦点在 x 轴上 焦点1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 0 在 y 轴上 99 双曲线的切线方程 1 双曲线上一点处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 双曲线与直线相切的条件是 22 22 1 0 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 100 抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 101 抛物线上的动点可设为 P或 P 其中 pxy2 2 2 2 y p y 交 2 2 2 ptptP x y 2 2ypx 102 二次函数的图象是抛物线 1 顶点坐标为 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 2 焦点的坐标为 3 准线方程是 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 2 41 4 acb y a 103 抛物线的内外部 1 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 2 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 3 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 4 点在抛物线的内部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 点在抛物线的外部 00 P xy 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 104 抛物线的切线方程 1 抛物线上一点处的切线方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 2 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是 pxy2 2 00 P xy 00 y yp xx 3 抛物线与直线相切的条件是 2 2 0 ypx p 0AxByC 2 2pBAC 105 两个常见的曲线系方程 1 过曲线 的交点的曲线系方程是 1 0f x y 2 0fx y 为参数 12 0f x yfx y 2 共焦点的有心圆锥曲线系方程 其中 当时 表示椭 22 22 1 xy akbk 22 max ka b 22 min ka b 圆 当时 表示双曲线 2222 min max a bka b 106 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 22 1212 ABxxyy 弦端点 A 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 2211 yxByx 由方程 消去 y 得到 为直线的倾斜角 为直线的斜率 0 y x F bkxy 0 2 cbxax0 ABk 107 圆锥曲线的两类对称问题 1 曲线关于点成中心对称的曲线是 0F x y 00 P xy 00 2 2 0Fx xyy 2 曲线关于直线成轴对称的曲线是 0F x y 0AxByC 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108 四线 一方程 对于一般的二次曲线 用代 用代 用代 22 0AxBxyCyDxEyF 0 x x 2 x 0 y y 2 y 00 2 x yxy 用代 用代即得方程xy 0 2 xx x 0 2 yy y 曲线的切线 切点弦 中点弦 弦中点方程均 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 是此方程得到 109 证明直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 110 证明直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 111 证明平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 112 证明直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 113 证明直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 114 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 115 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 1 加法交换律 a a b b b b a a 2 加法结合律 a a b b c c a a b b c c 3 数乘分配律 a a b b a a b b 116 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点 的对角线所表示的向量 117 共线向量定理 对空间任意两个向量 a b b 0 a b存在实数 使 a b 三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且不共线且不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 118 共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a b b 共面的存在实数对 使 x ypaxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对 使 x yMPxMAyMB 或对空间任一定点 O 有序实数对 使 x yOPOMxMAyMB 119 对空间任一点和不共线的三点 A B C 满足 则当OOPxOAyOBzOC xyzk 时 对于空间任一点 总有 P A B C 四点共面 当时 若平面 ABC 则 P A B C 四点1k O1k O 共面 若平面 ABC 则 P A B C 四点不共面 O 四点共面与 共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面 ABC 1 ODxy OAxOByOC O 120 空间向量基本定理 如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一个唯一的有序实数组 x y z 使 p p xa a yb b zc c 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存在唯一的三个有序实数 x y z 使 OPxOAyOBzOC 121 射影公式 已知向量 a a和轴 e e 是 上与 同方向的单位向量 作 A 点在 上的射影 作 B 点在 上的射影 AB llll Al B 则 a a e e a a e e cosABAB 122 向量的直角坐标运算 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 a a R 123 aaa 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 设 A B 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 124