高中数学《导数在实际生活中的应用》教案3 苏教版选修2-2

用心 爱心 专心1 1 41 4 课课 题 导数在实际生活中的应用题 导数在实际生活中的应用 教学目的 教学目的 1 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法 初步会解有关函数最大值 最小值的实际问题 教学重点 教学重点 解有关函数最大值 最小值的实际问题 教学难点 教学难点 解有关函数最大值 最小值的实际问题 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 1 极大值 极大值 一般地 设函数 f x 在点 x0附近有定义 如果对 x0附近的所有的点 都有 f x f x0 就说 f x0 是函数 f x 的一个极大值 记作 y极大值 f x0 x0是极大值点 2 2 极小值 极小值 一般地 设函数 f x 在 x0附近有定义 如果对 x0附近的所有的点 都有 f x f x0 就说 f x0 是函数 f x 的一个极小值 记作 y极小值 f x0 x0是极小值点 3 3 极大值与极小值统称为极值极大值与极小值统称为极值 4 4 判别判别f f x x0 0 是极大 极小值的方法是极大 极小值的方法 若 0 x满足0 0 x f 且在 0 x的两侧 xf的导数异号 则 0 x是 xf的极值点 0 xf是极值 并且如果 x f 在 0 x两侧满足 左正右负 则 0 x是 xf的极大值点 0 xf是极大值 如果 x f 在 0 x两侧满足 左负右正 则 0 x是 xf的极小值点 0 xf是极小值 5 5 求可导函数求可导函数f f x x 的极值的步骤的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0 的根 3 用函数的导数为 0 的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表 格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极 大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号即都为正 或都为负 那么f x 在这个根处无极值 6 6 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 在闭区间 ba 上连续的函数 xf在 ba 上必有最大值与最 小值 在开区间 a b内连续的函数 xf不一定有最大值与最小值 函数的最值 是比较整个定义域内的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数 xf在闭区间 ba 上连续 是 xf在闭区间 ba 上有最大值与最小值的充分条 件而非必要条件 4 函数在其定义区间上的最大值 最小值最多各有一个 而函数的 极值可能不止一个 也可能没有一个 7 利用导数求函数的最值步骤利用导数求函数的最值步骤 求 xf在 a b内的极值 将 xf的各极值与 af bf比较得出函数 xf在 ba 上的最值 用心 爱心 专心2 二 讲解范例 二 讲解范例 例例 1 1 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折 起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容 积是多少 解法一 设箱底边长为 xcm 则箱高 60 2 x h cm 得箱子 容积 2 60 32 2 xx hxxV 600 x 2 3 60 2 x V xx 600 x 令 2 3 60 2 x V xx 0 解得 x 0 舍去 x 40 并求得V 40 16 000 由题意可知 当 x 过小 接近 0 或过大 接近 60 时 箱子容积很小 因此 16 000 是最大值 答 当 x 40cm 时 箱子容积最大 最大容积是 16 000cm3 解法二 设箱高为xcm 则箱底长为 60 2x cm 则 得箱子容积 xxxV 2 260 300 x 后面同解法 一 略 由题意可知 当x过小或过大时箱子容积很小 所以最大值出现在极值点处 事实上 可导函数 2 60 32 2 xx hxxV xxxV 2 260 在各自的定义域 中都只有一个极值点 从图象角度理解即只有一个波峰 是单峰的 因而这个极值点就 是最值点 不必考虑端点的函数值 例例 2 2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材 料最省 x 60 2x 60 2x 60 2x x 60 2x60 60 x x 60 60 x x 用心 爱心 专心3 解 设圆柱的高为 h 底半径为 R 则表面积 S 2 Rh 2 R2 由 V R2h 得 2 V h R 则 S R 2 R 2 V R 2 R2 2V R 2 R2 令 2 2 V s R R 4 R 0 解得 R 3 2 V 从而 h 2 V R 2 3 2 V V 3 4V 23 V 即h 2R 因为 S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 变式 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高与底面半径应怎样选取 才能 使所用材料最省 提示 S 2Rh 2 2 R h R RS 2 2 2 V R R RS 2 2 2 R 2 32 2 1 2 2 1 RSRRRS RV 0 2 6 RS RhRRhR2226 22 例例 3 3 在经济学中 生产 x 单位产品的成本称为成本函数同 记为 C x 出售 x 单位产品 的收益称为收益函数 记为 R x R x C x 称为利润函数 记为 P x 1 如果 C x 10005003 0 10 236 xxx 那么生产多少单位产品时 边 际 x C 最低 边际成本 生产规模增加一个单位时成本的增加量 2 如果 C x 50 x 10000 产品的单价 P 100 0 01x 那么怎样定价 可使利 润最大 变式 变式 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C 100 4q 价格p与产量q的函 数关系式为qp 8 1 25 求产量q为何值时 利润L最大 分析 利润L等于收入R减去成本C 而收入R等于产量乘价格 由此可得出利润L与 产量q的函数关系式 再用导数求最大利润 用心 爱心 专心4 解 收入 2 11 2525 88 Rq pqqqq 利润 22 11 25 1004 21100 88 LRCqqqqq 0100 q 1 21 4 Lq 令0L 即 1 210 4 q 求得唯一的极值点84q 答 产量为 84 时 利润 L 最大 三 课堂练习三 课堂练习 1 函数y 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最小值是 2 函数f x sin2x x在 2 2 上的最大值为 最小值为 3 将正数a分成两部分 使其立方和为最小 这两部分应分成 和 4 使内接椭圆 2 2 2 2 b y a x 1 的矩形面积最大 矩形的长为 宽为 5 在半径为R的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时 它的面积最大 答案 答案 1 15 2 2 2 3 2 a 2 a 4 2a 2b 5 2 3 R 四 小结四 小结 解有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找 出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实际意义 根据问题的实际意义来判断函数最值时 如果函数在此区间上只有一个极值点 那 么这个极值就是所求最值 不必再与端点值比较 相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 五 课后作业五 课后作业 1 1 有一边长分别为 8 与 5 的长方形 在各角剪去相同的小正方形 把四边折起作成 一个无盖小盒 要使纸盒的容积最大 问剪去的小正方形的边长应为多少 解 1 正方形边长为x 则V 8 2x 5 2x x 2 2x3 13x2 20 x 0 x 2 5 V 4 3x2 13x 10 0 x 2 5 V 0 得x 1 根据实际情况 小盒容积最大是存在的 当x 1 时 容积V取最大值为 18 2 2 一条水渠 断面为等腰梯形 如图所示 在确定断 面尺寸时 希望在断面ABCD的面积为定值S时 使 得湿周l AB BC CD最小 这样可使水流阻力小 渗 透少 求此时的高h和下底边长b 解 由梯形面积公式 得S 2 1 AD BC h 其中AD 2DE BC DE 3 3 h BC b h b 600 E D C B A 用心 爱心 专心5 AD 3 32