高中物理 电磁学竞赛试题分类汇编

用心 爱心 专心1 全国中学生物理竞赛分类汇编电磁学全国中学生物理竞赛分类汇编电磁学 第 21 届预赛 三 15分 测定电子荷质比 电荷 q与质量m之比q m 的实验装置如图所示 真空玻璃 管内 阴极K发出的电 子 经阳极A与阴极K 之间的高电压加速后 形成一束很细的电子 流 电子流以平行于 平板电容器极板的速度进入两极板C D间的区域 若两极板C D间无电压 则离开极板 区域的电子将打在荧光屏上的O点 若在两极板间加上电压U 则离开极板区域的电子将 打在荧光屏上的P点 若再在极板间加一方向垂直于纸面向外 磁感应强度为B的匀强磁 场 则打到荧光屏上的电子产生的光点又回到O点 现已知极板的长度l 5 00cm C D 间的距离d l 50cm 极板区的中点M到荧光屏中点O的距离为L 12 50cm U 200V P 点到O点的距离3 0yOP cm B 6 3 10 4T 试求电子的荷质比 不计重力影响 五 15分 如图所示 两条平行的长 直金属细导轨KL PQ固定于同一水平面 内 它们之间的距离为l 电阻可忽略不 计 ab和cd是两根质量皆为m的金属细 杆 杆与导轨垂直 且与导轨良好接触 并可沿导轨无摩擦地滑动 两杆的电阻皆为R 杆cd的中点系一轻绳 绳的另一端绕过轻 的定滑轮悬挂一质量为M的物体 滑轮与转轴之间的摩擦不计 滑轮与杆cd之间的轻绳 处于水平伸直状态并与导轨平行 导轨和金属细杆都处于匀强磁场中 磁场方向垂直于 导轨所在平面向上 磁感应强度的大小为B 现两杆及悬物都从静止开始运动 当ab杆 及cd杆的速度分别达到v1和v2时 两杆加速度的大小各为多少 八 17 分 如图所示的电 路中 各电源的内阻均为零 其中 B C 两点与其右方由 1 0 的电阻和 2 0 的电阻构 成的无穷组合电路相接 求 用心 爱心 专心2 图中 10 F 的电容器与 E 点相接的极板上的电荷量 第 21 届复赛 五 20 分 如图所示 接地的空心导体球壳内半径为 R 在空腔内一 直径上的 P1和 P2处 放置电量分别为 q1和 q2的点电荷 q1 q2 q 两点电荷到球心的距离均为 a 由静电感应与静电屏蔽 可知 导体空腔内表面将出现感应电荷分布 感应电荷电量等于 2q 空腔内部的电场是由 q1 q2和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的 由于 我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的 所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电 势或场强 但理论上可以证明 感应电荷对腔内电场的贡献 可用假想的位于腔外的 等效 点电荷来代替 在本题中假想 等效 点电荷应为两个 只要假想的 等效 点 电荷的位置和电量能满足这样的条件 即 设想将整个导体壳去掉 由 q1在原空腔内表 面的感应电荷的假想 等效 点电荷 1 q 与 q1共同产生的电场在原空腔内表面所在位置处 各点的电势皆为 0 由 q2在原空腔内表面的感应电荷的假想 等效 点电荷 2 q 与 q2共 同产生的电场在原空腔内表面所在位置处各点的电势皆为 0 这样确定的假想电荷叫做 感应电荷的等效电荷 而且这样确定的等效电荷是唯一的 等效电荷取代感应电荷后 可用等效电荷 1 q 2 q 和 q1 q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强 1 试根据上述条件 确定假想等效电荷 1 q 2 q 的位置及电量 2 求空腔内部任意点 A 的电势 UA 已知 A 点到球心 O 的距离为 r OA与 1 OP的夹角为 七 25 分 如图所示 有二平 行金属导轨 相距 l 位于同一 水平面内 图中纸面 处在磁 感应强度为 B 的匀强磁场中 磁 场方向竖直向下 垂直纸面向里 质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在导轨上 与导轨垂直 初始时刻 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x x0和 x 0 处 假设导轨及金属杆的电阻都为零 由两金属杆与导轨 构成的回路的自感系数为 L 今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量 使它获得初速 r P2 P1 R aa x O y v0 c a b y d 用心 爱心 专心3 0 v 设导轨足够长 0 x也足够大 在运动过程中 两金属杆之间距离的变化远小于两 金属杆的初始间距 0 x 因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自 感系数 L 是恒定不变的 杆与导轨之间摩擦可不计 求任意时刻两杆的位置 xab和 xcd以 及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变化关系 第 20 届预赛 四 20 分 从 z 轴上的 O 点发射一束电量为 q 0 质量为 m 的带电粒子 它们 速度统方向分布在以 O 点为顶点 z 轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内 如图所示 速度的大小都等于 v 试设计一种匀强磁场 能使这束带电粒子会聚于 z 轴上的另一点 M M 点离开 O 点的经离为 d 要求给出该 磁场的方向 磁感应强度的大小和最小 值 不计粒子间的相互作用和重力的作用 七 20 分 图预 20 7 1 中 A 和 B 是真空中的两块面积很大的平行金属板 加上周期 为 T 的交流电压 在两板间产生交变的匀强电场 己知 B 板电势为零 A 板电势 UA随时 间变化的规律如图预 20 7 2 所示 其中 UA的最大值为的 U0 最小值为一 2U0 在图预 20 7 1 中 虚线 MN 表示与 A B 扳平行等距的一个较小的面 此面到 A 和 B 的距离皆 为 l 在此面所在处 不断地产生电量为 q 质量为 m 的带负电的微粒 各个时刻产生 带电微粒的机会均等 这种微粒产生后 从静止出发在电场力的作用下运动 设微粒一 旦碰到金属板 它就附在板上不再运动 且其电量同时消失 不影响 A B 板的电 压 己知上述的 T U0 l q 和 m 等各量的值正好满足等式 2 02 2216 3 T m qU l 若在交流电压变化的每个周期 T 内 平均产主 320 个上述微粒 试论证在 t 0 到 t T 2 这段时间内产主的微粒中 有多少微粒可到达 A 板 不计重力 不考虑微粒之 间的相互作用 用心 爱心 专心4 第 20 届复赛 一 15 分 图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体 O 为其球心 己知取无限 远处的电势为零时 球表面处的电势为 U 1000 V 在离球心 O 很远的 O 点附近有 一质子 b 它以 Ek 2000 eV 的动能沿与 O O 平行的方向射向 a 以 l 表示 b 与 O O 线之间的垂直距离 要使质子 b 能够与带电球 体 a 的表面相碰 试求 l 的最大值 把质子换成电子 再求 l 的最大值 六 23 分 两个点电荷位于x轴上 在它们形成的电场中 若取无限远处的电势为零 则在正x轴上各点的电势如图 中曲线所示 当0 x 时 电势U 当x 时 电势0U 电势为零的点的坐标 0 x 电势为极小值 0 U 的点的坐标为 0 ax a 2 试根据图线提供的信 息 确定这两个点电荷所带电荷的符号 电量的大小以 及它们在x轴上的位置 第 19 届预赛 二 20 分 图预 19 2 所示电路中 电池的电动 势为E 两个电容器的电容皆为C K 为一单刀 双掷开关 开始时两电容器均不带电 1 第一种情况 现将 K 与a接通 达到稳定 用心 爱心 专心5 此过程中电池内阻消耗的电能等于 再将 K 与a断开而与b接通 此过程中 电池供给的电能等于 2 第二种情况 现将 K 与b接通 达到稳定 此过程中电池内阻消耗的电能等于 再将 K 与b断开而与a接通 此过程中电池供给的电能等于 第 19 届复赛 二 18 分 在图复 19 2 中 半径为 R的圆柱形区域内有匀强磁场 磁场方 向垂直纸面指向纸外 磁感应强度B随 时间均匀变化 变化率 BtK K为 一正值常量 圆柱形区外空间没有磁场 沿图中AC弦的方向画一直线 并向外延长 弦AC与半径OA的夹角 4 直线上 有一任意点 设该点与A点的距离为x 求从A沿直线到该点的电动势的大小 四 18 分 有人设计了下述装置用以测量线圈的自感系数 在图复 19 4 1 中 E 为电 压可调的直流电源 K 为开关 L为待测线圈的自感系数 L r为线圈的直流电阻 D 为 理想二极管 r为用电阻丝做成的电阻器的电阻 A 为电流表 将图复 19 4 1 中a b之间的电阻线装进图复 19 4 2 所示的试管 1 内 图复 19 4 2 中其它装置见图下说 明 其中注射器筒 5 和试管 1 组成的密闭容器内装有某种气体 可视为理想气体 通 过活塞 6 的上下移动可调节毛细管 8 中有色液注的初始位置 调节后将阀门 10 关闭 使两边气体隔开 毛细管 8 的内直径为d 已知在压 强不变的条件 下 试管中的 气体温度升高 1K 时 需要吸 收的热量为 q C 大气压强为p 设试管 三通管 注射器和毛细管皆为绝热的 电阻丝的热容不计 当接通电键 K 后 线圈L中将产生磁场 已知线圈中储存的磁场能量 2 1 2 WLI I为通过线圈的电流 其 值可通过电流表 A 测量 现利用此装置及合理的步骤测量的自感系数L 用心 爱心 专心6 1 简要写出此实验的步骤 2 用题中所给出的各已知量 r L r q C p d等 及直接测得的量导出L的 表达式 六 20 分 在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中 有一个光子 沿x轴正方向 射向一个静止于坐标原点O的电子 在y轴方向探测到一个散射光子 已知电子的静止 质量为 0 m 光速为c 入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1 10 1 试求电子运动速度的大小v 电子运动的方向与x轴的夹角 电子运动到离原点 距离为 0 L 作为已知量 的A点所经历的时间t 2 在电子以 1 中的速度v开始运动时 一观察者 S 相对于坐标系S也以速度v沿 S中电子运动的方向运动 即 S 相对于电子静止 试求 S 测出的OA的长度 第 18 届预赛 二 15 分 两块竖直放置的平行金属大平板A B 相距d 两极间的电压为U 一带正电的质点从两板间的M点开始以竖 直向上的初速度 0 v运动 当它到达电场中某点N点时 速度变 为水平方向 大小仍为 0 v 如图预 18 2 所示 求M N两点 问的电势差 忽略带电质点对金属板上电荷均匀分布的影响 七 25 分 如图预 18 7 所示 在半径为a的圆柱空间中 图中圆为其横截面 充 满磁感应强度大小为B的均匀磁场 其方向平行于轴线远离读者 在圆柱空间中垂直轴 线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为1 6La 的刚性等边三角形框架DEF 其 中心O位于圆柱的轴线上 DE边上S点 1 4 DSL 处有一发射带电粒子的源 发射 粒子的方向皆在图预 18 7 中截面内且垂直于DE边向下 发射粒子的电量皆为 q 0 质量皆为m 但速度v有各种不同的数值 若这些粒子与三角形框架的碰撞 均为完全弹性碰撞 并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边 试问 1 带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点 用心 爱心 专心7 2 这些粒子中 回到S点所用的最短时间是多少 第 18 届复赛 四 22 分 如图复 18 4 所示 均匀磁 场的方向垂直纸面向里 磁感应强度 B随时间t变化 0 BBkt k为大 于 0 的常数 现有两个完全相同的均 匀金属圆环相互交叠并固定在图中所示 位置 环面处于图中纸面内 圆环的半 径为R 电阻为r 相交点的电接触良 好 两个环的接触点A与C间的劣弧对圆心O的张角为 60 求 0 tt 时 每个环所受的 均匀磁场的作用力 不考虑感应电流之间的作用 五 25 分 如图复 18 5 所示 一薄壁导体球壳 以下 简称为球壳 的球心在O点 球壳通过一细导线与端电 压90 VU 的电池的正极相连 电池负极接地 在球壳 外A点有一电量为 9 1 10 10Cq 的点电荷 B点有一 电量为 9 2 16 10Cq 的点电荷 OA之间的距离 1 20cmd OB之间的距离 2 40cmd 现设想球壳的半径从10cma 开始缓慢地增 大到 50cm 问 在此过程中的不同阶段 大地流向球壳的电量各是多少 己知静电力 图复 18 4 用心 爱心 专心8 恒量 922 9 10 N mCk 假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不与导体壁接 触 第 17 届预赛 四 20 分 某些非电磁量的测量是可以通过一些相应的 装置转化为电磁量来测量的 一平板电容器的两个极扳 竖直放置在光滑的水平平台上 极板的面积为S 极板 间的距离为d 极板 1 固定不动 与周围绝缘 极板 2 接地 且可在水平平台上滑动并始终与极板 1 保持平行 极板 2 的两个侧边与劲度系数为k 自然长度为L的两 个完全相同的弹簧相连 两弹簧的另一端固定 图预 17 4 1 是这一装置的俯视图 先将电容器充电至电压U后即 与电源断开 再在极板 2 的右侧的整个表面上施以均匀 的向左的待测压强p 使两极板之间的距离发生微小的变化 如图预 17 4 2 所示 测得 此时电容器的电压改变量为U 设作用在电容器极板 2 上的静电作用力不致引起弹簧 的可测量到的形变 试求待测压强p 五 20 分 如图预 17 5 1 所示 在正方形导线回路所围的区域 1234 A A A A内分布有方向垂直于回路平面向里的匀强磁场 磁感应 强度B随时间以恒定的变化率增大 回路中的感应电流为 1 0 mAI 已知 12 A A 34 A A两边的电阻皆为零 41 A A边的电 阻 1 3 0 kR 23 A A边的电阻 2 7 0 kR 1 试求 12 A A两点间的电压 12 U 23 A A两点间的电压 23 U 34 A A两点间的电压 34 U 41 A A两点间的电压 41 U 2 若一内阻可视为无限大的电压表 V 位于正方形导线回路所在的平面内 其正负 端与连线位置分别如图预 17 5 2 图预 17 5 3 和图预 17 5 4 所示 求三种情况下电压表 的读数 1 U 2 U 3 U 用心 爱心 专心9 第 17 届复赛 三 25 分 1995 年 美国费米国家实验室CDF 实验组和DO 实验组在质子反质子对撞机 TEVATRON 的实验中 观察到了顶夸克 测得它的静止质量 11225 1 1 75 10eV c3 1 10kgm 寿命 24 0 4 10s 这是近十几年 来粒子物理研究最重要的实验进展之一 1 正 反顶夸克之间的强相互作用势能可写为 4 3 S a U rk r 式中r是正 反顶 夸克之间的距离 0 12 S a 是强相互作用耦合常数 k是与单位制有关的常数 在国际 单位制中 25 0 319 10J mk 为估算正 反顶夸克能否构成一个处在束缚状态的系 统 可把束缚状态设想为正反顶夸克在彼此间的吸引力作用下绕它们连线的中点做匀速 圆周运动 如能构成束缚态 试用玻尔理论确定系统处于基态中正 反顶夸克之间的距 离 0 r 已知处于束缚态的正 反夸克粒子满足量子化条件 即 0 21 2 3 22 rh mvnn 式中 0 2 r mv 为一个粒子的动量mv与其轨道半径 0 2 r 的乘积 n为量子数 34 6 63 10J sh 为普朗克常量 2 试求正 反顶夸克在上述设想的基态中做匀速圆周运动的周期T 你认为正 反顶夸克的这种束缚态能存在吗 五 25 分 在真空中建立一坐标系 以水平向右为x轴正方 向 竖直向下为y轴正方向 z轴垂直纸面向里 图复 17 5 在0yL 的区域内有匀强磁场 0 80 mL 磁场的磁 感强度的方向沿z轴的正方向 其大小0 10TB 今把一荷 用心 爱心 专心10 质比 1 50C kgq m 的带正电质点在0 x 0 20 my 0z 处静止释放 将带电 质点过原点的时刻定为0t 时刻 求带电质点在磁场中任一时刻t的位置坐标 并求它 刚离开磁场时的位置和速度 取重力加速度 2 10 m sg 第 16 届预赛 四 20 分 位于竖直平面内的矩形平面导线框abcd ab长为 1 l 是水平的 bc长为 2 l 线框的质量为m 电阻 为R 其下方有一匀强磁场区域 该区域的上 下边界 PP和 QQ均与ab平行 两边界间的距离为H 2 Hl 磁场的磁感应强度为B 方向与线框平面垂直 如图预 16 4 所示 令线框的dc边从离磁场区域上边界 PP的距离为h处 自由下落 已知在线框的dc边进入磁场后 ab边到达边界 PP之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值 问从线框开始下落到dc边刚 刚到达磁场区域下边界 QQ的过程中 磁场作用于线框的安培 六 15 分 如图预 16 4 1 所示 电阻 12 1kRR 电动势6 V E 两个相同的二 极管D串联在电路中 二极管D的 DD IU 特性曲线如图预 16 6 2 所示 试求 1 通过二极管D的电流 2 电阻 1 R消耗的功率 第 16 届复赛 三 25 分 用直径为1mm的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm的圆环 圆环 处于超导状态 环内电流为100 A 经过一年 经检测发现 圆环内电流的变化量小于 6 10A 试估算该超导材料电阻率数量级的上限 用心 爱心 专心11 提示 半径为r的圆环中通以电流I后 圆环中心的磁感应强度为 0 2 I B r 式中B I r各量均用国际单位 72 0 410N A 五 25 分 六个相同的电阻 阻值均为R 连成一个电阻环 六个接点依次为 1 2 3 4 5 和 6 如图复 16 5 1 所示 现有五个完全相同的这样的电阻环 分别称 为 1 D 2 D 5 D 现将 2 D的 1 3 5 三点分别与 1 D的 2 4 6 三点用导线连接 如图复 16 5 2 所示 然后将 3 D的 1 3 5 三点分别与 2 D的 2 4 6 三点用导线连接 依此类推 最后将 5 D的 1 3 5 三点分别连接到 4 D的 2 4 6 三点上 1 证明全部接好后 在 1 D上的 1 3 两点间的等效电阻为 724 627 R 2 求全部接好后 在 5 D上的 1 3 两点间的等效电阻 六 25 分 如图复 16 6 所示 z轴竖直向上 xy平面是一绝缘的 固定的 刚性平面 在 0 0 0 A x处放一带电量为 0 q q 的小物块 该 物块与一细线相连 细线的另一端B穿过位于坐标 原点O的光滑小孔 可通过它牵引小物块 现对该 系统加一匀强电场 场强方向垂直与x轴 与z轴 夹角为 如图复 16 6 所示 设小物块和绝缘平 面间的摩擦系数为tan 且静摩擦系数和滑动 摩擦系数相同 不计重力作用 现通过细线来牵引 小物块 使之移动 在牵引过程中 我们约定 细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动 不得沿z轴向上移动 小物块的移动非常缓慢 在任何时刻 都可近似认为小物块处在 力平衡状态 若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线 试求出此轨迹方程 用心 爱心 专心12 参考答案参考答案 第 21 届预赛 三 设电子刚进入平行板电容器极板间区域时的速度为v0 因为速度方向平行于电容器 的极板 通过长度为l的极板区域所需的时间 t1 l v0 1 当两极板之间加上电压时 设两极板间的场强为E 作用于电子的静电力的大小为qE方向 垂直于极板由C指向D 电子的加速度 qE a m 2 而 U E d 3 因电子在垂直于极板方向的初速度为0 因而在时间t1内垂直于极板方向的位移 2 11 1 2 yat 4 电子离开极板区域时 沿垂直于极板方向的末速度 vy at1 5 设电子离开极板区域后 电子到达荧光屏上P点所需时间为t2 t2 L l 2 v0 6 在t2时间内 电子作匀速直线运动 在垂直于极板方向的位移 y2 vyt2 7 P点离开O点的距离等于电子在垂直于极板方向的总位移 y y1 y2 8 由以上各式得电子的荷质比为 2 0 vq y mUlL d 9 加上磁场B后 荧光屏上的光点重新回到O点 表示在电子通过平行板电容器的过程中电 子所受电场力与磁场力相等 即 qE qv0B l0 注意到 3 式 可得电子射入平行板电容器的速度 用心 爱心 专心13 0 U v Bd 11 代人 9 式得 2 qU y mB lLd 12 代入有关数据求得 11 1 6 10 q m C kg 13 评分标准 本题15分 l 2 3 4 5 6 7 8 式各1分 10 式3分 12 13 式各2分 五 用E 和I分别表示abdc回路的感应电动势和感应电流的大小 根据法拉第电磁感应定 律和欧姆定律可知 E Bl v2 v1 1 2 I R E 2 令F表示磁场对每根杆的安培力的大小 则 F IBl 3 令a1和a2分别表示ab杆cd杆和物体M加速度的大小 T表示绳中张力的大小 由牛顿定律 可知 F ma1 4 Mg T ma2 5 T F ma2 6 由以上各式解得 2 2 21 1 2 B lvv a Rm 7 2 2 21 2 2 2 MgRB lvv a Mm R 8 评分标准 本题15分 l 式3分 2 式2分 3 式3分 4 5 6 式各1分 7 8 式各2分 八 设B C右方无穷组合电路的等效电阻为RBC 则题图中通有电流的电路可以简化为 用心 爱心 专心14 图1中的电路 B C右方的电路又可简化为图2的电路 其中 B C R 是虚线右方电路的等效 电阻 由于B C 右方的电路与B C右方的电路结构相同 而且都是无穷组合电路 故 有 BCB C RR 1 由电阻串 并联公式可 得 2 1 2 B C BC B C R R R 2 由式 1 2 两式得 2 20 BCBC RR 解得 RBC 2 0 3 图1所示回路中的电流为 201024 A 0 10 A 1030182 I 4 电流沿顺时针方向 设电路中三个电容器的电容分别为C1 C2和C3 各电容器极板上的电荷分别为Q1 Q2和Q3 极性如图 3所示 由于电荷守恒 在虚线框内 三个极板上电 荷的代数和应为零 即 Q1 Q2 Q3 0 5 A E两点间的电势差 31 13 EA QQ UU CC 6 又有 10300 10 V 7 0 V EA UU 7 B E两点间的电势差 图 3 图 1 图 2 用心 爱心 专心15 32 23 BE QQ UU CC 8 又有 24200 10 V 26 V BE UU 9 根据 5 6 7 8 9 式并代入C1 C2和C3之值后可得 Q3 1 3 10 4C 10 即电容器C3与E点相接的极板带负电 电荷量为1 3 10 4C 评分标准 本题17分 求得 3 式给3分 4 式1分 5 6 7 8 9 10 式各2分 指出所考察的极板上的电荷是负电荷再给1分 第 21 届复赛 五 1 解法 如图 1 所示 S 为原空腔内表面所在位置 1 q 的位置应位于 1 OP的延长线上的某点 B1处 2 q 的位置应位于 2 OP的延长线上的某点 B2处 设 A1为 S 面上的任意一点 根据 题意有 0 11 1 11 1 BA q k PA q k 1 0 21 2 21 2 BA q k PA q k 2 怎样才能使 1 式成立呢 下面分析图 1 中 11A OP 与 11B OA 的关系 若等效电荷 1 q 的位置 B1使下式成立 即 2 1 1 ROBOP 3 即 1 1 1 1 OB OA OA OP 4 则 1111 BOAAOP 有 R a OA OP BA PA 1 1 11 11 5 由 1 式和 5 式便可求得等效电荷 1 q B2B1 P2P1 O R 1 aa 图 1 S 1 A1 用心 爱心 专心16 11 q a R q 6 由 3 式知 等效电荷 1 q 的位置 B1到原球壳中心位置 O 的距离 a R OB 2 1 7 同理 B2的位置应使 2112 BOAAOP 用类似的方法可求得等效电荷 22 q a R q 8 等效电荷 2 q 的位置 B2到原球壳中心 O 位置的距离 a R OB 2 2 9 解法 在图 1 中 设 111 rPA 111 rBA dOB 1 根据题意 1 q和 1 q 两者在 A1点产 生的电势和为零 有 0 1 1 1 1 r q k r q k 1 式中 2122 1 cos2 RaaRr 2 2122 1 cos2 RddRr 3 由 1 2 3 式得 cos2 cos2 222 1 222 1 RaaRqRddRq 4 4 式是以 cos为变量的一次多项式 要使 4 式对任意 均成立 等号两边 的相应系数应相等 即 222 1 222 1 aRqdRq 5 aqdq 2 1 2 1 6 用心 爱心 专心17 由 5 6 式得 0 2222 aRdRaad 7 解得 a RaRa d 2 2222 8 由于等效电荷位于空腔外部 由 8 式求得 a R d 2 9 由 6 9 式有 2 1 2 2 2 1 q a R q 10 考虑到 1 式 有 11 q a R q 11 同理可求得 a R OB 2 2 12 22 q a R q 13 2 A 点的位置如图 2 所示 A 的电势由 q1 1 q q2 2 q 共同产生 即 AB a R APAB a R AP kqUA 2211 1111 10 因 22 1 cos2ararAP 2 22 2 1 cos2 a R a R rrAB 22 2 cos2ararAP B2 B1 P2 P1 O R 1 aa A 图 2 S 用心 爱心 专心18 2 22 2 2 cos2 a R a R rrAB 代入 10 式得 422222 cos2cos2 1 RraRra R arar kqUA 422222 cos2cos2 1 RraRra R arar 11 评分标准 本题20 分 第1 问18 分 解法 中 1 2 6 7 8 9 式各3 分 解法 的评 分可参考解法 第 2 问 2 分 即 11 式 2 分 七 解法 当金属杆 ab 获得沿 x 轴正方向的初速 v0时 因切割磁力线而产生感应电动势 由 两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流 由于回路具有自感系数 感应电流的出 现 又会在回路中产生自感电动势 自感电动势将阻碍电流的增大 所以 虽然回路的 电阻为零 但回路的电流并不会趋向无限大 当回路中一旦有了电流 磁场作用于杆 ab 的安培力将使 ab 杆减速 作用于 cd 杆的安培力使 cd 杆运动 设在任意时刻 t ab 杆和 cd 杆的速度分别为 v1和 v2 相对地面参考系 S 当 v1 v2为正时 表示速度沿 x 轴正方向 若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正 方向 则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势 21 vv BlE 1 当回路中的电流 i 随时间的变化率为ti 时 回路中的自感电动势 t i L L E 2 根据欧姆定律 注意到回路没有电阻 有 0 L EE 3 金属杆在导轨上运动过程中 两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零 系统 的质心作匀速直线运动 设系统质心的速度为 VC 有 C mVm2 0 v 4 得 用心 爱心 专心19 2 0 v C V 5 VC方向与 v0相同 沿 x 轴的正方向 现取一新的参考系 S 它与质心固连在一起 并把质心作为坐标原点 O 取坐标轴 x O 与 x 轴平行 设相对 S 系 金属杆 ab 的速度为 u cd 杆的速度为 u 则有 uVC 1 v 6 uVC 2 v 7 因相对 S 系 两杆的总动量为零 即有 0 ummu 8 由 1 2 3 5 6 7 8 各式 得 t i LBlu 2 9 在 S 系中 在 t 时刻 金属杆 ab 坐标为 x 在 t t 时刻 它的坐标为xx 则由速度的定义 t x u 10 代入 9 式得 iLxBl 2 11 若将 x 视为 i 的函数 由 11 式知ix 为常数 所以 x 与 i 的关系可用一直线方程 表示 bi Bl L x 2 12 式中 b 为常数 其值待定 现已知在 t 时刻 金属杆 ab 在 S 系中的坐标 x 0 2 1 x 这时 i 0 故得 0 2 1 2 xi Bl L x 13 或 0 2 12 xx L Bl i 14 0 2 1 x表示 t 时刻金属杆 ab 的位置 x 表示在任意时刻 t 杆 ab 的位置 故 0 2 1 xx就是杆 ab 在 t 时刻相对初始位置的位移 用 X 表示 0 2 1 xxX 15 用心 爱心 专心20 当 X 0 时 ab 杆位于其初始位置的右侧 当 X 0 时 ab 杆位于其初始位置的左侧 代 入 14 式 得 X L Bl i 2 16 这时作用于 ab 杆的安培力 X L lB iBlF 22 2 17 ab 杆在初始位置右侧时 安培力的方向指向左侧 ab 杆在初始位置左侧时 安培力 的方向指向右侧 可知该安培力具有弹性力的性质 金属杆 ab 的运动是简谐振动 振 动的周期 LlB m T 22 2 2 18 在任意时刻 t ab 杆离开其初始位置的位移 t T AX 2 cos 19 A 为简谐振动的振幅 为初相位 都是待定的常量 通过参考圆可求得 ab 杆的振动速 度 t TT Au 2 sin 2 20 19 20 式分别表示任意时刻 ab 杆离开初始位置的位移和运动速度 现已知在 t 0 时刻 ab 杆位于初始位置 即 X 0 速度 0000 2 1 2 1 vvvv C Vu 故有 cos0A sin 2 2 0 T A v 解这两式 并注意到 18 式得 2 3 21 用心 爱心 专心21 224 00 mL Bl TA vv 22 由此得 ab 杆的位移 t T mL Bl t T mL Bl X 2 sin 222 3 2 cos 22 00 vv 23 由 15 式可求得 ab 杆在 S 系中的位置 t T mL Bl xx 2 sin 222 1 0 0ab v 24 因相对质心 任意时刻 ab 杆和 cd 杆都在质心两侧 到质心的距离相等 故在 S 系中 cd 杆的位置 t T mL Bl xx 2 sin 222 1 0 0cd v 25 相对地面参考系 S 质心以 0 2 1 v C V的速度向右运动 并注意到 18 式 得 ab 杆在 地面参考系中的位置 t mL Bl mL Bl txx 2 sin 222 1 0 00ab v v 26 cd 杆在 S 系中的位置 t mL Bl mL Bl tx 2 sin 222 1 0 0cd v v 27 回路中的电流由 16 式得 t mL Bl L m t T mL BlL Bl i 2 sin 2 2 sin 22 2 0 0 v v 28 解法 当金属杆在磁场中运动时 因切割磁力线而产生感应电动势 回路中出现电流时 两金属杆都要受到安培力的作用 安培力使 ab 杆的速度改变 使 cd 杆运动 设任意时 刻 t 两杆的速度分别为 v1和 v2 相对地面参考系 S 若规定逆时针方向为回路电动势 和电流的正方向 则由两金属杆与导轨构成的回路中 因杆在磁场中运动而出现的感应 电动势为 21 vv BlE 1 令 u 表示 ab 杆相对于 cd 杆的速度 有 用心 爱心 专心22 Blu L E 2 当回路中的电流 i 变化时 回路中有自感电动势 EL 其大小与电流的变化率成正比 即 有 t i L L E 3 根据欧姆定律 注意到回路没有电阻 有 0 L EE 由式 2 3 两式得 t i LBlu 4 设在 t 时刻 金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 x 在 t t 时刻 ab 相对于 cd 杆的 距离为 x x 则由速度的定义 有 t x u 5 代入 4 式得 iLxBl 6 若将 x 视为 i 的函数 由 6 式可知 ix 为常量 所以 x 与 i 的关系可以用一直线方 程表示 即 bi Bl L x 7 式中 b 为常数 其值待定 现已知在 t 时刻 金属杆 ab 相对于 cd 杆的距离为 0 x 这 时 i 0 故得 0 xi Bl L x 8 或 0 xx L Bl i 9 0 x表示 t 时刻金属杆 ab 相对于 cd 杆的位置 x 表示在任意时刻 t 时 ab 杆相对 于 cd 杆的位置 故 0 xx 就是杆 ab 在 t 时刻相对于 cd 杆的相对位置相对于它们在 t 时刻的相对位置的位移 即从 t 到 t t 时间内 ab 杆相对于 cd 杆的位移 0 xxX 10 于是有 X L Bl i 11 用心 爱心 专心23 任意时刻 t ab 杆和 cd 杆因受安培力作用而分别有加速度 aab和 acd 由牛顿定律有 ab maiBl 12 cd maiBl 13 两式相减并注意到 9 式得 X L lB iBlaam 22 cdab 2 2 14 式中 cdab aa 为金属杆 ab 相对于 cd 杆的加速度 而 X 是 ab 杆相对 cd 杆相对位置的 位移 L lB 22 2 是常数 表明这个相对运动是简谐振动 它的振动的周期 LlB m T 22 2 2 15 在任意时刻 t ab 杆相对 cd 杆相对位置相对它们初始位置的位移 t T AX 2 cos 16 A 为简谐振动的振幅 为初相位 都是待定的常量 通过参考圆可求得 X 随时间的变 化率即速度 TT AV 2 sin 2 17 现已知在 t 0 时刻 杆位于初始位置 即 X 0 速度 0 v V 故有 cos0A sin 2 0 T Av 解这两式 并注意到 15 式得 2 3 2 2 00 mL Bl TA vv 由此得 t mL Bl mL Bl t T mL Bl X 2 sin 22 3 2 cos 2 00 vv 18 用心 爱心 专心24 因 t 0 时刻 cd 杆位于 x 0 处 ab 杆位于 x x0 处 两者的相对位置由 x0表示 设 t 时刻 cd 杆位于 x xcd 处 ab 杆位于 x xab处 两者的相对位置由 xab xcd表示 故两 杆的相对位置的位移又可表示为 X xab xcd x0 19 所以 t mL Bl mL Bl xxx 2 sin 2 0 0cdab v 20 12 和 13 式相加 0 cdab iBliBlaam 得 0 cdab aa 由此可知 两杆速度之和为一常数即 v0 所以两杆的位置 xab和 xcd之和应为 xab xcd x0 v0t 21 由 20 和 21 式相加和相减 注意到 15 式 得 t mL Bl mL Bl txx 2 sin 222 1 0 00ab v v 22 t mL Bl mL Bl tx 2 sin 222 1 0 0cd v v 23 由 11 19 22 23 式得回路中电流 t mL Bl L m i 2 sin 2 0 v 24 评分标准 本题 25 分 解法 求得 16 式 8 分 17 18 19 三式各 2 分 23 式 4 分 24 25 二式 各 2 分 26 27 28 三式各 1 分 解法 的评分可参照解法 评分标准中的相应式子给分 第 20 届预赛 四 参考解答 设计的磁场为沿z轴方向的匀强磁场 O点和M点都处 于这个磁场中 下面我们根据题意求出这种磁场的磁感应强 vz v v vz 用心 爱心 专心25 度的大小 粒子由O点射出就进入了磁场 可将与z轴成 角的速度分解成沿磁场方向 的分速度 Z v和垂直于磁场方向的分速度v 见图预解 20 4 1 注意到 很小 得 cos Z vvv 1 sinvvv 2 粒子因具有垂直磁场方向的分速度 在洛仑兹力作用下作圆周运动 以R表示圆周的半 径 有 2 v qBvm R 圆周运动的周期 2 R T v 由此得 2 m T qB 3 可见周期与速度分量v 无关 粒子因具有沿磁场方向的分速度 将沿磁场方 向作匀速直线运动 由于两种分速度同时存在 粒 子将沿磁场方向作螺旋运动 螺旋运动螺距为 Z hv TvT 4 由于它们具有相同的v 因而也就具有相同的螺距 又由于这些粒子是从同一点射出的 所以经过整数 个螺距 最小是一个螺距 又必定会聚于同一点 只要使OM等于一个螺距或一个螺距的n 整数 倍 由O点射出的粒子绕磁场方向旋转一周 或若干周后 必定会聚于M点 如图 20 4 2 所示 所以 dnh n 1 2 3 5 由式 3 4 5 解得 2 mvn B qd n 1 2 3 6 这就是所要求磁场的磁感应强度的大小 最小值应取n 1 所以磁感应强度的最小值 用心 爱心 专心26 为 2 mv B qd 7 评分标准 本题 20 分 磁场方向 2 分 式 3 4 各 3 分 式 5 5 分 求得式 6 给 5 分 求得式 7 再给 2 分 七 参考解答 在电压为 0 U时 微粒所受电场力为 0 2U ql 此时微粒的加速度为 00 2aU qlm 将此式代入题中所给的等式 可将该等式变为 2 0 3 162 T la 1 现在分析从 0 到 2T时间内 何时产生的微粒在电场力的作用下能到达 A 板 然后 计算这些微粒的数目 在0t 时产生的微粒 将以加速度 0 a向 A 板运动 经 2T后 移动的距离x与式 1 相比 可知 2 0 1 22 T xal 2 即0t 时产生的微粒 在不到 2T时就可以到达 A 板 在 A0 UU 的情况下 设刚能到 达 A 板的微粒是产生在 1 tt 时刻 则此微粒必然是先被电压 0 U加速一段时间 1 t 然后 再被电压 0 2U 减速一段时间 到 A 板时刚好速度为零 用 1 d和 2 d分别表示此两段时间 内的位移 1 v表示微粒在 1 t 内的末速 也等于后一段时间的初速 由匀变速运动公式 应有 2 101 1 2 dat 3 2 102 02 2 va d 4 又因 101 vat 5 12 ddl 6 用心 爱心 专心27 11 2 T tt 7 由式 3 到式 7 及式 1 可解得 1 2 T t 8 这就是说 在 A0 UU 的情况下 从0t 到 4tT 这段时间内产生的微粒都可到达 A 板 确切地说 应当是 4tT 为了讨论在 4 2Ttt 这段时间内产生的微粒的运动情况 先设想有一静止粒子 在 A 板附近 在 A0 2UU 电场作用下 由 A 板向 B 板运动 若到达 B 板经历的时间为 则有 2 0 1 2 2 2 la 根据式 1 可求得 3 1 2 4 T 由此可知 凡位于MN到 A 板这一区域中的静止微粒 如果它受 0 2UU 的电场作用 时间大于 则这些微粒都将到达 B 板 在 4tT 发出的微粒 在 A0 UU 的电场作用下 向 A 板加速运动 加速的时间为 4T 接着在 A0 2UU 的电场作用下减速 由于减速时的加速度为加速时的两倍 故 经过 8T微粒速度减为零 由此可知微粒可继续在 A0 2UU 的电场作用下向 B 板运动 的时间为 1 1133 1 2882 4 TTTT 由于 1 故在 4tT 时产生的微粒最终将到达 B 板 确切地说 应当是 4tT 不会再回到 A 板 在t大于 4T但小于 2T时间内产生的微粒 被 A0 UU 的电场加速的时间小于 4T 在 A0 2UU 的电场作用下速度减到零的时间小于 8tT 故可在 A0 2UU 的 电场作用下向 B 板运动时间为 1 11 28 TT 所以这些微粒最终都将打到 B 板上 不可能再回到 A 板 用心 爱心 专心28 由以上分析可知 在0t 到 2tT 时间内产生的微粒中 只有在0t 到 4tT 时 间内产生的微粒能到达 A 板 因为各个时刻产生带电微粒的机会均等 所以到达 A 板的 微粒数为 1 32080 4 N 9 评分标准 本题 20 分 论证在0t 到 4tT 时间内产生的微粒可能到达 A 板给 10 分 论证 4tT 到 2tT 时间内产生的微粒不能到达 A 板给 6 分 求得最后结果式 9 再给 4 分 第 20 届复赛 一 参考解答 令m表示质子的质量 0 v和v分别表示质子的初速度和到达 a 球球面处的速度 e表示元电荷 由能量守恒可知 22 0 11 22 mvmveU 1 因为 a 不动 可取其球心O为原点 由于质子所受的 a 球对它的静电库仑力总是通过 a 球的球心 所以此力对原点的力矩始终为零 质子对O点的角动量守恒 所求l的最大 值对应于质子到达 a 球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切 见复解 20 1 1 以 max l表示l的最大值 由角动量守恒有 max 0 mv lmvR 2 由式 1 2 可得 2 0 max 1 2 eU lR mv 3 用心 爱心 专心29 代入数据 可得 max 2 2 lR 4 若把质子换成电子 则如图复解 20 1 2 所示 此时式 1 中e改为e 同理可求 得 max 6 2 lR 5 评分标准 本题 15 分 式 1 2 各 4 分 式 4 2 分 式 5 5 分 六 参考解答 在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比 因为取无限远处 为电势的零点 故正电荷在空间各点的电势为正 负电荷在空间各点的电势为负 现已 知 0 xx 处的电势为零 故可知这两个点电荷必定是一正一负 根据所提供的电势的曲 线 当考察点离坐标原点很近时 电势为正 且随x的减小而很快趋向无限大 故正的 点电荷必定位于原点O处 以 1 Q表示该点电荷的电量 当x从 0 增大时 电势没有出现 负无限大 即没有经过负的点电荷 这表明负的点电荷必定在原点的左侧 设它到原点 的距离为a 当x很大时 电势一定为负 且趋向于零 这表明负的点电荷的电量的数 值 2 Q应大于 1 Q 即产生题目所给的电势的两个点电荷 一个是位于原点的正电荷 电 量为 1 Q 另一个是位于负x轴上离原点距离a处的负电荷 电量的大小为 2 Q 且 2 Q 1 Q 按题目所给的条件有 用心 爱心 专心30 21 00 0 QQ kk xxa 1 21 0 00 QQ kkU axaxa 2 因 0 xax 时 电势为极小值 故任一电量为q的正检测电荷位于 0 xax 处的电势能 也为极小值 这表明该点是检测电荷的平衡位置 位于该点的检测电荷受到的电场力等 于零 因而有 12 22 00 0 QQ kk axaxa 3 由式 1 2 和 3 可解得 0 2 aa ax 4 00 1 2 axU Q ak 5 2 0 0 2 1 2 U xa a Q ak 6 式中k为静电力常量 评分标准 本题 23 分 式 1 2 各 4 分 式 3 6 分 式 4 5 6 各 3 分 七 参考解答 设物块在 1 A点第一次与地面碰撞 碰撞前水 平速度仍为 0 v 竖直速度为 0 2ugh 1 碰撞后物块的竖直速度变为 1 u 根据题意 有 10 ueu 2 设物块的质量为m 碰撞时间为t 因为碰撞时间极短 物块与地面间沿竖直方向的作 用力比重力大得多 可忽略重力的作用 这样 物块对地面的正压力的大小为 01 1 mumu N t 3 用心 爱心 专心31 水平方向动量的变化是水平摩擦力的冲量作用的结果 设水平方向速度变为 1 v 则有 101 mvmvNt 4 由以上各式得 100 1 vveu 5 同理 在落地点 2 A 3 A n A其碰撞后的竖直分速度分别为 2 20