高中数学《任意角的三角函数-数线解题》文字素材6 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 活用三角函数线解题活用三角函数线解题 三角函数线是学习三角函数的图象与性质的基础 同时 它也是三角函数中 数形结 合思想的重要体现 正确理解和熟练掌握三角函数线 能帮助我们快速 高效的解决相关 问题 1 求值问题 例 1 已知 2 1 sin 求 已知 2 3 cos 求 解 画出单位圆 如图 找到正弦线为 2 1 且在 0 360 的角30 和 150 所以 30360 k 或 150360 k Zk 画出单位圆 如图 找到余弦线为 2 3 且在 0 360 的角 150和 210 所以 150360 k 或 210360 k Zk 2 解不等式 例 解关于 的不等式 1tan 2 3 sin 2 1 解 画出单位圆 如图 找到正切线为1 且在 的角 4 3 和 4 所以角 的终边落在图 中的阴影部分 因此 不等式的解集是 Zkkk 24 用心 爱心 专心2 画出单位圆 如图 找到正弦线为 2 1 且在 90 270 的角 210和 30 正 弦线为 2 3 且在 0 360 的角 60和 120 所以角 的终边落在图 中的阴影部分 因此不等式的解集是 Zkkkkk 3602103601203606036030 或 3 证明等式或不等式 例 求证 1cossin 22 证明 当 的终边在坐标轴上时 显然成立1cossin 22 当 的终边不在坐标轴上时 画出单位圆 作出角 的正弦线MP和余弦线 OM 见图 在OMPRt 中 222 OPMPOM 1 22 MPOM 1sincos 22 综合 得1cossin 22 用心 爱心 专心3 例 若 2 0 求证 tansin 证明 画出单位圆 作出角 的正弦线和正切线 见图 在MOPRt 中 MP OP MP sin 在AOTRt 中 AT OA AT sin 又AP弧长 OP 由 图易得 AOTPOAPOA SSS 扇形 ATOAAPOAMPOA 2 1 2 1 2 1 弧长 ATAPMP 弧长 即 tansin 总之 在三角中 只要有三角函数值与角度的关系出现 我们就可以考虑用三角函数 线来帮助解决 利用三角函数线解题 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示 利用单位圆中的三角函数线可以直观地 表示三角函数值的符号及大小 并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规 律 要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质 培养数形结合的意识 三角函 数线的主要作用是求函数的定义域 解不等式 证明简单三角不等式等 1 求解定义域 例 1 求下列定义域 1 2cos1yx 2 2 lg 34sin yx 分析 首先作出单位圆 然后根据各问题的约束条件利用三角函数 线画出满足条件的角的终边范围 解 1 如图 1 所示 2cos10 x 1 cos 2 x 2 2 33 xkkk Z形 故所求定义域为 2 2 33 kkk Z形 2 如图 2 所示 2 34sin0 x 2 3 sin 4 x 33 sin 22 x 2 4 2 2 2 2 3333 xkkkkk Z 形形 即 用心 爱心 专心4 33 xkkk Z形 故所求定义域为 33 kkk Z形 评注 三角函数线使得代数中的三角函数和几何中的有向线段有机地联系在一起 这种联 系使得三角学和几何学都得到了发展 同时也为用几何法解决代数问题 代数法 三角代 换 解决几何问题提供了可能 2 解不等式 例 2 若 22 sincosxx 则x的取值范围是 3 2 2 44 xkxkk Z形 5 2 2 44 xkxkk Z形 44 xxkk Z形 3 44 x kxkk Z形 分析 由 22 sincossincosxxxx 本题就是求正弦线比余弦线长的所有的角的集 合 解 22 sincosxx sincosxx 当sincosxx 即tan1x 时 角x的终边在一 三象限角平分线和二 四象限的角平 分线上 当sincosxx 时 x的范围是图 3 阴影部分所表示的范围 所求满足条件的x的集合是 3 5 7 2 2 2 2 4444 xkxkkxkxkk ZZ 形形 即 3 44 x kxkk Z形 故选 D 评注 本题还可以用赋值法 通过给角取不同值进行分析而得出正确结果 但利用三角函 数线形象直观 结果一目了然 3 证明简单三角不等式 例 3 已知 为锐角 求证 1sincos 2 分析 观察分析要证明的目标 sincos 是线段的比值 又因为不等式的右边是 的关 系式 由此联想到弧长或扇形面积公式 都与 有关 解 设角 的终边与单位圆交于 P xy形 如图 4 过P作PD垂直于 x轴 PE垂直于y轴 DE形为垂足 用心 爱心 专心5 siny cosx 在OPD 中 ODDPOP sincos1 又 11 sin 22 POA SOA DP 11 cos 22 OPB SOB EP 2 1 1 2 24 OAB S 形形 而 POAPOBO