2019年江苏高考南通密卷四(南通市数学学科基地命题)

1 20192019 年高考模拟试卷年高考模拟试卷 4 4 南通市数学学科基地命题南通市数学学科基地命题 第 卷 必做题 共 160 分 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分分 1 全集 集合 则 1 2 3 4 5U 1 3 4A 3 5B U CAB 2 已知复数满足 是虚数单位 则复数的共轭复数 zizi51 1 iz z 3 已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料 从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶 则所取两瓶中 至少有一瓶是果汁饮料的概率是 4 某鲜花店对一个月的鲜花销售数量 单位 支 进行统计 统计时间是 4 月 1 日至 4 月 30 日 5 天一组分组统计 绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图 已知从左到右各长 方形的高的比为 2 3 4 6 4 1 且第二组的频数为 180 那么该月共销售出的鲜花数 单位 支 为 5 如图程序运行的结果是 6 顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是 1 3 2 2 y x 7 给出下列命题 1 若两个平面平行 那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面 2 若两个平面平行 那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面 3 若两个平面垂直 那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面 4 若两个平面垂直 那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 则其中所有真命题的序号是 8 已知 若存在 使对一切实数 x 恒成 3sin 2 6 f xx 0 2 f xfx 立 则 日期 频率 组距 0 510 1520 25 30 第 4 题图 第 5 题图 4 1 1 i b a While 5i 1 2 ii bab baa End While Print b 2 9 设实数 x y b 满足 若 z 2x y 的最小值为 3 则实数 b 的值为 2x y 0 y x y x b 10 若则的最小值为 0 0 xy xy xy 11 在 Rt ABC 中 CA CB 2 M N 是斜边 AB 上的两个动点 且 MN 2 则 的取值范围为 CM CN 12 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 1 2 y2 4 P 为圆 C 上一点 若存在一 个定圆 M 过 P 作圆 M 的两条切线 PA PB 切点分别为 A B 当 P 在圆 C 上运动时 使得 APB 恒为 60 则圆 M 的方程为 13 三次函数的两个极值点为且重合 又 xfy 12 x x 11 P xf x 与原点 22 Q xf x 在曲线上 则曲线的切线斜率的最大值的最小值为 2 21xxy xfy 14 设各项均为正整数的无穷等差数列 an 满足 a54 2014 且存在正整数 k 使 a1 a54 ak成等比数列 则公差 d 的所有可能取值之和为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 90 分分 15 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c sinsin tan coscos AB C AB 1 求 C 2 若 ABC 的外接圆直径为 1 求的取值范围 ab 16 本小题满分 14 分 在正四棱锥中 底面边长为 侧棱长为 为SABCD a2aP 侧棱上的一点 SD 1 当四面体的体积为时 求的值 ACPS 3 6 18 aSP PD 2 在 1 的条件下 若是的中点 求证 ESC BEAPC平面 AD BC S P 3 17 本小题满分 14 分 如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图 已知为直径 且AB km 为圆心 为圆周上靠近 的一点 为圆周上靠近 的一点 且2AB OCADB 现在准备从经过到建造一条观光路线 其中到是圆弧 CDABACDAC A AC 到是线段 设 观光路线总长为 CDCDradAOCx kmy 求关于的函数解析式 并指出该函数的定义域 yx 求观光路线总长的最大值 18 本小题满分 16 分 如图 设椭圆的左 右焦点分别为 22 22 1 0 xy ab ab 点在椭圆上 的面积为 12 F FD 112 DFFF 12 1 2 2 FF DF 12 DFF 2 2 1 求该椭圆的标准方程 2 是否存在圆心在轴上的圆 使圆在轴的上方与椭圆两个交点 且圆在这两个交点yx 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点 若存在 求圆的方程 若不存在 请说明理 由 第 17 题图 O A C D B 4 19 本小题满分 16 分 已知函数 32 ln g xax f xxxbx 1 若在区间上不是单调函数 求实数的范围 f x 1 2b 2 若对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 1 xe 2 2 g xxax a 3 当时 设 对任意给定的正实数 曲线上0b 1 1 fxx F x g xx a yF x 是否存在两点 使得是以 为坐标原点 为直角顶点的直角三角形 且 P QPOQ OO 此三角形斜边中点在轴上 请说明理由 y 20 本小题满分 16 分 已知 a b 是不相等的正数 在 a b 之间分别插入 m 个正数 a1 a2 am和正数 b1 b2 bm 使 a a1 a2 am b 是等差数列 a b1 b2 bm b 是等比数列 5 第 21 A 题图 A B P O E D C 1 若 m 5 求 的值 a3 b3 5 4 b a 2 若 b a N 2 如果存在 n n N 6 n m 使得 an 5 bn 求 的最小值 及此时 m 的值 3 求证 an bn n N n m 第 卷 附加题 共 40 分 2121 选做题选做题 本题包括本题包括 A A B B C C D D 四小题 每小题四小题 每小题 1010 分 请选定其中两题 并在相应的答题分 请选定其中两题 并在相应的答题 区域内作答 区域内作答 A 选修 几何证明选讲 如图 O 的直径 AB 的延长 线与弦 CD 的延长线相交于点 P E 为 O 上一点 AE AC 求 证 PDE POC 6 B 选修 矩阵与变换 若二阶矩阵满足 M 1 25 8 3 44 6 M 求二阶矩阵 M 若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线 求曲 22 221C xxyy M C 线的方程 C C 选修 坐标系与参数方程 已知点 其中 12cos 2sin P 0 2 点的轨迹记为曲线 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 点在P 1 CxQ 曲线上 2 1 2cos 4 C 求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程 1 C 2 C 当时 求曲线与曲线的公共点的极坐标 0 02 1 C 2 C D 选修 不等式选讲 已知 x y z 均为正数 求证 111 y xz yzzxxyxyz 必做题必做题 第第 22 题 第题 第 23 题 每题题 每题 10 分 共计分 共计 20 分分 22 本小题满分 10 分 从集合中任取三个元素构成子集 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M a b c 1 求中任意两数之差的绝对值不小于 2 的概率 a b c 2 记三个数中相邻自然数的组数为 如集合中 3 和 4 相邻 4 和 5 相 a b c 3 4 5 7 邻 求随机变量的分布率及其数学期望 2 E 23 本小题满分 10 分 设整数3 集合 P 1 2 3 n A B 是 P 的两个非n 空子集 记 an为所有满足 A 中的最大数小于 B 中的最小数的集合对 A B 的个数 1 求 a3 2 求 an 8 20142014 年高考模拟试卷年高考模拟试卷 4 4 参考答案参考答案 南通市数学学科基地命题 第 卷 必做题 共 160 分 一一 填填空空题题 1 2 3 4 1200 5 14 6 1 2 4 5 23i 5 6 2 6yx 7 8 9 10 解析 12 9 4 2 2 当且仅当时 取等 222 11 2224 xyxyxyxy xyxyxyxyxyxy xy 号 11 解析 以 CA CB 所在直线为 x y 轴 建立平面直角坐标系 设 3 2 2 M x y 则 x y 2 y 2 x 即 M x 2 x 又 MN 所以点 N 坐标为 2 x 1 2 x 1 即 N x 1 1 x 于是 x x 1 2 x 1 x CM CN 2x2 2x 2 0 x 1 所以 x 时取最小值 x 0 或 1 2 13 2 22 x 1 2 CM CN 3 2 时取最大值 2 因此的取值范围为 CM CN CM CN 3 2 2 12 解析 当 P 在圆 C 上运动时 APB 恒为 60 圆 M 与圆 C 22 1 1xy 一定是同心圆 可设圆 M 的方程为 x 1 2 y2 r2 当点 P 坐标是 3 0 时 设直线 AB 与 x 轴的交点为 H 则 MH HP 2 MH AB 2 所以 2 1 2 r 3 2 r 1 2 r 3 2 r 2 解得 r 1 所以所求圆 M 的方程为 x 1 2 y2 1 3 2 13 解析 设 依题意知 4 3 dcxbxaxxf 23 0 0 0 0 ff且 故 由及点 Q 在0 dc 23 bxaxxf bxaxxf23 2 2 21xxy 其上 可设 Q 点的坐标为 由 Q 为的一个极值点 0 sin1 cos1 xfy 得 cos1 2 cos1 30 cos1 cos1 sin1 2 23 ba ba 显然 1cos a b 3 2 cos1 2 3 cos1 sin1 3 cos1 sin1 2 b a 存在最大值 0 abxaxxf23 2 cos1 sin1 2 3 2 cos1 3 2 f a b f 9 数形结合可求得 其最小值为 OQ k 2 3 cos1 sin1 2 3 4 3 14 92 解析 易知 d 0 成立 当 d 0 时 dadaa532014201453 1154 d k d k aak54201454 54 201420145420143853542014532014 1 2 54 d k d d k d aaa k 20143854201438 dk d k d k d k d k 107385401073854 2 107385438107383854 k d ddkd N ddd d d d k 38 5338 54 38 5338 54 38 1073838543854 38 1073854 又 0 03803853532014 1 d d d da 38380 d 所以公差 d 的所有可能取值之和为 92 381 2 19d 37 36 19d 二二 解解答答题题 15 1 因为 即 sinsin tan coscos AB C AB sinsinsin coscoscos CAB CAB 所以 sincossincoscossincossinCACBCACB 即 sincoscossincossinsincosCACACBCB 得 sin sin CABC 所以 或 不成立 CABC CABC 即 得 2CAB 3 C 2 法一 由 333 CAB 设 2 0 333 A B 知 因 2 sinsin 2 sinsinaRAA bRBB 故 sinsin sin sin 33 abAB 3cos 33 1 cos1 2 3 3 2 ab 法二 233 sinsinsinsin sincos 322 abABAAAA 3sin 6 A 25 0 3666 AA 13 sin 1 3 262 Aab 10 16 1 设 设作于 且为交线 PDx PPHBD HSBDABCD 平面平面BD 则 又 PH 平面ABCDSOABCD 平面 PHSO 在中 Rt SOB 22 6 2 SOSBBOa 6 3 2 22 xa PHPDPD SO PHx SOSDSDa 3 11636 322218 SPACSACDP ACD VVVaaaxa 解得 2 3 xa 2 2 1 SP PD 2 取中点 连结 SPQ QE BQ 则 EQPC EQPACPCPACEQPAC 平面 平面平面 则 BQPO BQPACPOPACBQPAC 平面 平面平面 而为平面内的两条相交直线 EQBQ与BEQ BEQPAC 平面平面 而 BEBEQ 平面 BEAPC 平面 注 第 2 问 也可以连结 ED ED 交 CP 于 Q 用平几知识证明 Q 为 ED 中点 进而证明 OQ BE 从而获证 17 1 由题意知 因为为圆周上靠近的一点 为 A 1ACxx 2cosCDx CAD 圆周上靠近的一点 且 所以 B CDAB0 2 x 所以 2cosyxx 0 2 x 2 记 则 2cosf xxx 12sinfxx 令 得 0fx 6 x 列表 x 0 6 6 6 2 fx 0 f x 递增极大值递减 11 所以函数在处取得极大值 这个极大值就是最大值 f x 6 x 即 3 66 f 答 观光路线总长的最大值为千米 3 6 18 1 设 其中 12 0 0FcFc 222 cab 由 得 12 1 2 2 FF DF 12 1 2 22 2 FF DFc 从而故 1 2 2 112 122 222 DF F SDFFFc 1c 从而 由得 因此 1 2 2 DF 112 DFFF 222 2112 9 2 DFDFFF 2 3 2 2 DF 所以 故 12 22 2aDFDF 222 2 1abac 因此 所求椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y 2 如图 设圆心在轴上的圆与椭圆相交 是两yC 2 2 1 2 x y 111222 P x yP xy 个交点 是圆的切线 且由圆和椭圆的对称性 12 0 0yy 1 1 FP 22 F PC 1 1 FP 22 F P 易知 2112 xx yy 121 2 PPx 由 1 知 所以 12 1 0 1 0FF 1 1112211 1 1 FPxyF Pxy 再由得 1 1 FP 22 F P 2 2 11 10 xy 由椭圆方程得 即 2 2 1 1 11 2 x x 2 11 340 xx 12 解得或 1 4 3 x 1 0 x 当时 重合 此时题设要求的圆不存在 1 0 x 12 P P 当时 过分别与 垂直的直线的交点即为圆心 设 1 4 3 x 12 P P 1 1 FP 22 F PC 0 0 Cy 由得而故 11 1 CPFP 101 11 1 1 yyy xx 11 1 1 3 yx 0 5 3 y 圆的半径 C 22 1 4154 2 3333 CP 综上 存在满足条件的圆 其方程为 2 2 532 39 xy 19 1 由得 因在区间上不是单调 bxxxxf 23 bxxxf 23 2 xf 2 1 函数 所以在上最大值大于 0 最小值小于 0 bxxxf 23 2 2 1 3 1 3 1 323 2 2 bxbxxxf bxf bxf 5 16 min max 516 b 2 由 得 xaxxg2 2 xxaxx2ln 2 且等号不能同时取 即 xxex 1ln 1 xx ln0ln xx 恒成立 即 xx xx a ln 2 2 min 2 ln 2 xx xx a 令 求导得 ex xx xx xt 1 ln 2 2 2 ln ln221 xx xxx xt 当时 从而 ex 1 0ln22 1ln0 01 xxxx 0 x t 在上是增函数 xt e 1 11 max txt 1 a 3 由条件 1 ln 1 23 xxa xxx xF 13 假设曲线上存在两点满足题意 则只能在轴两侧 xFy QP QP y 不妨设 则 且 0 ttFtP 23 tttQ 1 t 是以为直角顶点的直角三角形 POQ O0 OQOP 0 232 tttFt 是否存在等价于方程在且是否有解 QP 0 t1 t 当时 方程为 化简 此方程无10 t 23232 0ttttt 01 24 tt 解 当时 方程为 即1 t 0ln 232 tttat tt a ln1 1 设 则 1ln1 tttth 1 1 ln t tth 显然 当时 即在上为增函数 1 t 0 t h th 1 的值域为 即 当时 方程总有解 th 1h 0 0 a 对任意给定的正实数 曲线上存在两点 使得是以 为 a yF x P QPOQ OO 坐标原点 为直角顶点的直角三角形 且此三角形斜边中点在轴上 y 20 1 设等差数列的公差为 d 等比数列的公比为 q 则 d q b a 6 a3 a 3d b3 aq3 a b 2ab 因为 所以 2a 5 2b 0 解得 4 或 a3 b3 5 4ab b a 1 4 2 因为 a a m 1 d 所以 d a 从而得 an a a n 1 m 1 1 m 1 因为 a a qm 1 所以 q 从而得 bn a 因为 an 5 bn 所以 a a a 1 n 5 m 1 因为 a 0 所以 1 1 n 5 m 1 因为 m n N 所以 1 为有理数 1 n 5 m 1 要使 成立 则 必须为有理数 14 因为 n m 所以 n m 1 若 2 则 为无理数 不满足条件 同理 3 不满足条件 当 4 时 4 2 要使 2为有理数 则必须为整数 2n m 1 又因为 n m 所以仅有 2n m 1 满足条件 所以 1 2 从而解得 n 15 m 29 3 n 5 m 1 综上 最小值为 4 此时 m 为 29 3 证法一 设 cn 0 Sn为数列 cn 的前 n 项的和 先证 若 cn 为递增数列 则 为递增数列 Sn n 证明 当 n N 时 bn 1 Sn n nbn 1 n 因为 Sn 1 Sn bn 1 Sn Sn 所以 即数列 为递增数列 Sn n n 1 n Sn n Sn 1 n 1 Sn n 同理可证 若 cn 为递减数列 则 为递减数列 Sn n 当 b a 时 q 1 当 n N n m 时 Sm 1 m 1 Sn n 即 即 aqm 1 a m 1 aqn a n 因为 b aqm 1 bn aqn d b a m 1 所以 d 即 a nd bn 即 an bn bn a n 当 b a 时 0 q 1 当 n N n m 时 Sm 1 m 1 Sn n 即 因为 0 q 1 所以 以下同 aqm 1 a m 1 aqn a n 综上 an bn n N n m 第第 卷 附加题 共卷 附加题 共 40 分 分 21 A 因 AE AC AB 为直径 故 OAC OAE 15 所以 POC OAC OCA OAC OAC EAC 又 EAC PDE 1 25 8 3 44 6 M 所以 PDE POC B 1 设 则 1 2 3 4 A 12 2 34 A 1 2 1 31 22 A 2 1 5 82 1 31