高中数学《2.4 线性回归方程》知能优化训练 苏教版必修3

1 高中数学高中数学 2 4 2 4 线性回归方程线性回归方程 知能优化训练知能优化训练 苏教版必修苏教版必修 3 3 1 下列关系中为相关关系的有 学生的学习态度和学习成绩之间的关系 教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系 学生的身高与学生的学习成绩之间的关系 家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系 解析 据相关性的定义可知 为相关关系 无相关关系 答案 2 有关线性回归的说法 不正确的是 相关关系的两个变量不是因果关系 散点图能直接地反映数据的相关程度 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 任意一组数据都有回归方程 解析 并不是每一组数据都有回归方程 例如当一组数据的线性相关系数很小时 这 组数据就不会有回归方程 答案 3 线性回归方程 bx a必经过点 y 解析 根据求系数公式a b可知 b a 即点 能使线性回归方程 yxyxxy bx a成立 所以线性回归方程 bx a必经过点 y y xy 答案 xy 4 正常情况下 年龄在 18 岁到 38 岁的人 体重y kg 对身高x cm 的回归方程为 0 72x 58 2 张红同学 20 岁 身高 178 cm 她的体重应该在 kg 左右 y 解析 用回归方程对身高为 178 cm 的人的体重进行预测 当x 178 时 0 72 178 58 2 69 96 kg y 答案 69 96 一 填空题 1 2011 年盐城调研 有下列关系 人的年龄与他 她 拥有的财富之间的关系 曲线上的点与该点的坐标之间的关系 日照时间与水稻的亩产量 森林中同一种树木 其断面直径与高度之间的关系 其中 具有相关关系的是 解析 相关关系是一种不确定性的关系 显然 具有确定性关系 答案 2 下列说法 线性回归方程适用于一切样本和总体 线性回归方程一般都有局限性 样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围 线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值 正确的是 将你认为正确的序号都填上 解析 样本或总体具有线性相关关系时 才可求线性回归方程 而且由线性回归方程 得到的函数值是近似值 而非精确值 因此线性回归方程有一定的局限性 所以 错 答案 3 下面四个散点图中点的分布状态 直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是 2 解析 散点图 中的点无规律的分布 范围很广 表明两个变量之间的相关程度很小 中所有的点都在同一条直线上 是函数关系 中点的分布在一条带状区域上 即点分 布在一条直线的附近 是线性相关关系 中的点也分布在一条带状区域内 但不是线性 的 而是一条曲线附近 所以不是线性相关关系 故填 答案 4 设有一个线性回归方程 4 3x 当变量x增加 1 个单位时 y平均 个单 y 位 解析 当x增加到x 1 时 4 3 x 1 4 3x 3 所以y变化 3 y y 个单位 即平均减少 3个单位 答案 减少 3 5 2010 年高考广东卷 某市居民 2005 2009 年家庭年平均收入x 单位 万元 与年 平均支出Y 单位 万元 的统计资料如下表所示 年份 20052006200720082009 收入x 11 512 11313 315 支出Y 6 88 89 81012 根据统计资料 居民家庭年平均收入的中位数是 家庭年平均收入与年平均 支出有 线性相关关系 解析 把 2005 2009 年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为 11 5 12 1 13 13 3 15 因此中位数为 13 万元 由统计资料可以看出 当年平均收入增 多时 年平均支出也增多 因此两者之间具有正线性相关关系 答案 13 正 6 工人月工资y 元 依据劳动生产率x 千元 变化的线性回归方程为 50 80 x 当 y 劳动生产率提高 1000 元时 工资平均提高 元 解析 线性回归方程 bx a中b的意义是 当x增加一个单位时 y的值平均变化 y b个单位 这是一个平均变化率 线性回归方程不是一种确定关系 只能用于预测变量的 值 所以当x增加一个单位 1 千元时 工资平均提高 80 元 答案 80 7 已知x与y之间的一组数据如下表 x1234 y2357 则x与y之间的线性回归方程 bx a必过点 y 解析 线性回归方程 bx a必过点 y xy 2 5 4 25 x 1 2 3 4 4y 2 3 5 7 4 所以必过点 2 5 4 25 答案 2 5 4 25 8 某考察团对全国 10 大城市进行职工人均工资水平x 千元 与居民人均消费水平 y 千元 统计调查 y与x具有相关关系 回归方程 0 66x 1 562 若某城市居民人均 y 消费水平为 7 675 千元 估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 解析 由 7 675 0 66x 1 562 得x 9 2621 该城市居民人均消费额占人均工资收入的百分比为 7 675 9 2621 83 3 答案 83 9 由一组观测数据 x1 y1 x2 y2 x12 y12 得 1 542 2 8475 xy x 29 808 y 99 208 xiyi 54 243 则线性回归方程是 12 i 1 2i 12 i 1 2i 12 i 1 解析 设线性回归方程 bx a y 利用Error 计算a b 得b 1 218 a b 0 969 yx 线性回归方程为 1 218x 0 969 y 答案 1 218x 0 969 y 二 解答题 10 高一 2 班的 5 名学生的化学和生物的成绩如下表 学生 ABCDE 化学 8075706560 生物 7065686462 画出散点图 并判断它们是否具有相关关系 解 以横轴表示化学成绩 纵轴表示生物成绩 可得相应的散点图 如图所示 观察散点图可知 化学成绩和生物成绩具有相关关系 且可以看成是线性相关关系 11 某调查机构为了了解某地区的家庭收入水平与消费支出的相关情况 抽查了多个 家庭 根据调查资料得到以下数据 每户平均年收入为 88000 元 每户平均年消费支出为 50000 元 支出对于收入的回归系数为 0 6 1 求支出对于收入的回归方程 2 年收入每增加 100 元 年消费支出平均增加多少元 3 若某家庭年消费支出为 80000 元 试估计该家庭的年收入为多少元 解 1 设年收入为x元 年支出为y元 知 88000 元 50000 元 b 0 6 xy 则a b 50000 0 6 88000 2800 yx 故支出对于收入的回归方程为 0 6x 2800 y 2 年收入每增加 100 元 年消费支出平均增加 60 元 3 某家庭年消费支出为 80000 元 根据回归方程 0 6x 2800 可得 y 80000 0 6x 2800 解得x 138000 即估计该家庭的年收入为 138000 元 12 从某一行业随机抽取 12 家企业 它们的生产产量与生产费用的数据如下表所示 企业编号 123456789101112 产量x 台 40425055857884100116125130140 费用y 万元 130150155140150154165170167180175185 1 绘制生产产量x和生产费用y的散点图 2 如果两个变量之间是线性相关关系 求出其线性回归方程 3 如果一个企业的产量是 120 台 请预测它的生产费用 解 1 两个变量x和y之间的关系的散点图如图所示 4 2 根据散点图可知 两个变量x和y之间的关系是线性相关关系 下面用最小平方法 求线性回归方程 i123456789101112 合计 xi404250558578841001161251301401045 yi1301501551401501541651701671801751851921 xi yi 520 0 630 0 775 0 770 0 127 50 120 12 138 60 170 00 193 72 2250 0 227 50 259 00 1730 94 x2i160 0 176 4 250 0 302 5 722 5 608 4 705 6 100 00 134 56 1562 5 169 00 196 00 1048 35 所以 87 08 160 1 n 167298 096 n 2 90995 1168 xy x y x 设所求的线性回归方程是 bx a y 所以b 0 42 n i 1xiyi n x y n i 1x2 i nx2 173094 167298 096 104835 90995 1168 5795 904 13839 8832 a b 160 1 0 42 87 08 123 53 y x 所求的线性回归方程是 0 42x 123 53 y