高中数学《导数的实际应用》同步练习4 新人教B版选修2-2

用心 爱心 专心1 导数的实际应用导数的实际应用 第 1 题 2007 海南 宁夏文 设函数 2 ln 23 f xxx 讨论 f x的单调性 求 f x在区间 3 1 4 4 的最大值和最小值 答案 解 f x的定义域为 3 2 2 24622 21 1 2 232323 xxxx fxx xxx 当 3 1 2 x 时 0fx 当 1 1 2 x 时 0fx 当 1 2 x 时 0fx 从而 f x分别在区间 3 1 2 1 2 单调增加 在区间 1 1 2 单调减少 由 知 f x在区间 3 1 4 4 的最小值为 11 ln2 24 f 又 31397131149 lnlnln1 ln 442162167229 ff 0 所以 f x在区间 3 1 4 4 的最大值为 117 ln 4162 f 第 2 题 2002 海南 宁夏理 曲线 1 2 e x y 在点 2 4e 处的切线与坐标轴所围三角形的 面积为 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 答案 第 3 题 2007 海南 宁夏理 设函数 2 ln f xxax I 若当1x 时 f x取得极值 求a的值 并讨论 f x的单调性 II 若 f x存在极值 求a的取值范围 并证明所有极值之和大于 e ln 2 答案 解 用心 爱心 专心2 1 2fxx xa 依题意有 1 0f 故 3 2 a 从而 2 231 21 1 33 22 xxxx fx xx f x的定义域为 3 2 当 3 1 2 x 时 0fx 当 1 1 2 x 时 0fx 当 1 2 x 时 0fx 从而 f x分别在区间 31 1 22 单调增加 在区间 1 1 2 单调减少 f x的定义域为 a 2 221 xax fx xa 方程 2 2210 xax 的判别式 2 48a 若0 即22a 在 f x的定义域内 0fx 故 f x无极值 若0 则2a 或2a 若2a 2 x 2 21 2 x fx x 当 2 2 x 时 0fx 当 22 2 22 x 时 0fx 所以 f x无极值 若2a 2 x 2 21 0 2 x fx x f x也无极值 若0 即2a 或2a 则 2 2210 xax 有两个不同的实根 2 1 2 2 aa x 2 2 2 2 aa x 当2a 时 12 xaxa 从而 fx 在 f x的定义域内没有零点 用心 爱心 专心3 故 f x无极值 当2a 时 1 xa 2 xa fx 在 f x的定义域内有两个不同的零点 由极值判别方法知 f x在 12 xxxx 取得极值 综上 f x存在极值时 a的取值范围为 2 f x的极值之和为 222 121122 1e ln ln ln11 ln2ln 22 f xf xxaxxaxa 第 4 题 2007 湖南理 函数 3 12f xxx 在区间 33 上的最小值是 答案 16 第 5 题 2007 湖南文 已知函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内各有一个 极值点 I 求 2 4ab 的最大值 II 当 2 48ab 时 设函数 yf x 在点 1 1 Af 处的切线为l 若l在点A处穿 过函数 yf x 的图象 即动点在点A附近沿曲线 yf x 运动 经过点A时 从l的 一侧进入另一侧 求函数 f x的表达式 答案 解 I 因为函数 32 11 32 f xxaxbx 在区间 11 13 内分别有一个极 值点 所以 2 fxxaxb 0 在 11 13 内分别有一个实根 设两实根为 12 xx 12 xx 则 2 21 4xxab 且 21 04xx 于是 2 044ab 2 0416ab 且当 1 1x 23x 即2a 3b 时等号 成立 故 2 4ab 的最大值是 16 II 解法一 由 1 1fab 知 f x在点 1 1 f 处的切线l的方程是 1 1 1 yffx 即 21 1 32 yab xa 因为切线l在点 1 1 Af 处穿过 yf x 的图象 用心 爱心 专心4 所以 21 1 32 g xf xab xa 在1x 两边附近的函数值异号 则 1x 不是 g x的极值点 而 g x 32 1121 1 3232 xaxbxab xa 且 22 1 1 1 1 g xxaxbabxaxaxxa 若11 a 则1x 和1xa 都是 g x的极值点 所以11 a 即2a 又由 2 48ab 得1b 故 32 1 3 f xxxx 解法二 同解法一得 21 1 32 g xf xab xa 2 133 1 1 2 322 a xxxa 因为切线l在点 1 1 Af 处穿过 yf x 的图象 所以 g x在1x 两边附近的函数值 异号 于是存在 12 mm 12 1mm 当 1 1mx 时 0g x 当 2 1xm 时 0g x 或当 1 1mx 时 0g x 当 2 1xm 时 0g x 设 2 33 12 22 aa h xxx 则 当 1 1mx 时 0h x 当 2 1xm 时 0h x 或当 1 1mx 时 0h x 当 2 1xm 时 0h x 由 1 0h 知1x 是 h x的一个极值点 则 3 1 2 1 10 2 a h 所以2a 又由 2 48ab 得1b 故 32 1 3 f xxxx 第 6 题 2007 江苏 已知函数 3 128f xxx 在区间 33 上的最大值与最小值分别 为M m 则Mm 答案 32 第 7 题 2007 江西理 设 2 eln21 x p f xxxmx 在 0 内单调递增 5q m 则p是q的 充分不必要条件 必要不充分条件 用心 爱心 专心5 充分必要条件 既不充分也不必要条件 答案 B 第 8 题 全国卷 I 理 设函数 ee xx f x 证明 f x的导数 2fx 若对所有0 x 都有 f xax 求a的取值范围答案 解 f x的导数 ee xx fx 由于ee2 e e2 x xxx A 故 2fx 当且仅当0 x 时 等号成立 令 g xf xax 则 ee xx g xfxaa 若2a 当0 x 时 ee20 xx g xaa 故 g x在 0 上为增函数 所以 0 x 时 0 g xg 即 f xax 若2a 方程 0g x 的正根为 2 1 4 ln 2 aa x 此时 若 1 0 xx 则 0g x 故 g x在该区间为减函数 所以 1 0 xx 时 0 0g xg 即 f xax 与题设 f xax 相矛盾 综上 满足条件的a的取值范围是 2 第 9 题 2007 全国 I 文 曲线 3 1 3 yxx 在点 4 1 3 处的切线与坐标轴围成的三角形面 积为 1 9 2 9 1 3 2 3 答案 A 第 10 题 2007 全国 I 文 设函数 32 2338f xxaxbxc 在1x 及2x 时取得极 值 B 1 FO 2 F P D A y x C 用心 爱心 专心6 求a b的值 若对于任意的 0 3 x 都有 2 f xc 成立 求c的取值范围 答案 2 663fxxaxb 因为函数 f x在1x 及2x 取得极值 则有 1 0 f 2 0 f 即 6630 24 1230 ab ab 解得3a 4b 由 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当 01 x 时 0fx 当 12 x 时 0fx 当 2 3 x 时 0fx 所以 当1x 时 f x取得极大值 1 58fc 又 0 8fc 3 98fc 则当 0 3x 时 f x的最大值为 3 98fc 因为对于任意的 0 3x 有 2 f xc 恒成立 所以 2 98cc 解得 1c 或9c 因此c的取值范围为 1 9 第 11 题 2007 全国 II 理 已知函数 3 f xxx 1 求曲线 yf x 在点 M tf t 处的切线方程 2 设0a 如果过点 ab 可作曲线 yf x 的三条切线 证明 abf a 答案 解 1 求函数 f x的导数 2 31xx f 曲线 yf x 在点 M tf t 处的切线方程为 yf tf txt 用心 爱心 专心7 即 23 31 2ytxt 2 如果有一条切线过点 ab 则存在t 使 23 31 2btat 于是 若过点 ab 可作曲线 yf x 的三条切线 则方程 32 230tatab 有三个相异的实数根 记 32 23g ttatab 则 2 66g ttat 6 t ta 当t变化时 g tg t 变化情况如下表 t 0 0 0 a a a g t 0 0 g t A 极大值 ab A 极小值 bf a A 由 g t的单调性 当极大值0ab 或极小值 0bf a 时 方程 0g t 最多有一个 实数根 当0ab 时 解方程 0g t 得 3 0 2 a tt 即方程 0g t 只有两个相异的实数根 当 0bf a 时 解方程 0g t 得 2 a tta 即方程 0g t 只有两个相异的实 数根 综上 如果过 ab 可作曲线 yf x 三条切线 即 0g t 有三个相异的实数根 则 0 0 ab bf a 即 abf a 第 12 题 2007 陕西理 设函数 2 e x f x xaxa 其中a为实数 I 若 f x的定义域为R 求a的取值范围 用心 爱心 专心8 II 当 f x的定义域为R时 求 f x的单调减区间 答案 解 f x的定义域为R 2 0 xaxa 恒成立 2 40aa 04a 即当04a 时 f x的定义域为R 22 2 e x x xa fx xaxa 令 0fx 得 2 0 x xa 由 0fx 得0 x 或2xa 又04a 02a 时 由 0fx 得02xa 当2a 时 0fx 当24a 时 由 0fx 得20ax 即当02a 时 f x的单调减区间为 0 2 a 当24a 时 f x的单调减区间为 20 a 第 13 题 2007 浙江理 设 3 3 x f x 对任意实数t 记 2 3 2 3 t g xt xt I 求函数 8 yf xgx 的单调区间 II 求证 当0 x 时 t f xg x 对任意正实数t成立 有且仅有一个正实数 0 x 使得 800 t gxg x 对任意正实数t成立 答案 I 解 3 16 4 33 x yx 由 2 40yx 得 2x 因为当 2 x 时 y 0 当 2 2 x 时 0y 当 2 x 时 0y 故所求函数的单调递增区间是 2 2 单调递减区间是 2 2 用心 爱心 专心9 II 证明 i 方法一 令 23 3 2 0 33 t x h xf xg xt xt x 则 2 2 3 h xxt 当0t 时 由 0h x 得 1 3 xt 当 1 3 0 xx 时 0h x 当 1 3 xx 时 0h x 所以 h x在 0 内的最小值是 1 3 0h t 故当0 x 时 t f xg x 对任意正实数t成立 方法二 对任意固定的0 x 令 2 3 2 0 3 t h tg xt xt t 则 11 33 2 3 h ttxt 由 0h t 得 3 tx 当 3 0tx 时 0h t 当 3 tx 时 0h t 所以当 3 tx 时 h t取得最大值 33 1 3 h xx 因此当0 x 时 t f xg x 对任意正实数t成立 ii 方法一 8 8 2 2 3 fg 由 i 得 8 2 2 t gg 对任意正实数t成立 即存在正实数 0 2x 使得 8 2 2 t gg 对任意正实数t成立 下面证明 0 x的唯一性 当 0 2x 0 0 x 8t 时 用心 爱心 专心10 3 0 0 3 x f x 800 16 4 3 gxx 由 i 得 3 0 0 16 4 33 x x 再取 3 0 tx 得 3 0 3 0 0 3 x x gx 所以 3 0 3 0 8000 16 4 33 x x gxxgx 即 0 2x 时 不满足 800 t gxg x 对任意0t 都成立 故有且仅有一个正实数 0 2x 使得 800 t gxg x 对任意正实数t成立 方法二 对任意 0 0 x 800 16 4 3 gxx 因为 0 t g x关于t的最大值是 3 0 1 3 x 所以要使 800 t gxg x 对任意正实数成立的充分 必要条件是 3 00 161 4 33 xx 即 2 00 2 4 0 xx 又因为 0 0 x 不等式 成立的充分必要条件是 0 2x 所以有且仅有一个正实数 0 2x 使得 800 t gxg x 对任意正实数t成立 第 14 题 2007 湖北理 已知定义在正实数集上的函数 2 1 2 2 f xxax 2 3lng xaxb 其中0a 设两曲线 yf x yg x 有公共点 且在该点处 的切线相同 I 用a表示b 并求b的最大值 II 求证 f xg x 0 x 答案 本小题主要考查函数 不等式和导数的应用等知识 考查综合运用数学知识解决问 题的能力 解 设 yf x 与 0 yg x x 在公共点 00 xy 处的切线相同 用心 爱心 专心11 2fxxa 2 3 a g x x 由题意 00 f xg x 00 fxg x 即 22 000 2 0 0 1 23ln 2 3 2 xaxaxb a xa x 由 2 0 0 3 2 a xa x 得 0 xa 或 0 3xa 舍去 即有 22222 15 23ln3ln 22 baaaaaaa 令 22 5 3ln 0 2 h tttt t 则 2 1 3ln h ttt 于是 当 1 3ln 0tt 即 1 3 0te 时 0h t 当 1 3ln 0tt 即 1 3 te 时 0h t 故 h t在 1 3 0e 为增函数 在 1 3 e 为减函数 于是 h t在 0 的最大值为 12 33 3 2 h ee 设 22 1 23ln 0 2 F xf xg xxaxaxb x 则 F x 2 3 3 2 0 axa xa xax xx 故 F x在 0 a 为减函数 在 a 为增函数 于是函数 F x在 0 上的最小值是 000 0F aF xf xg x 故当0 x 时 有 0f xg x 即当0 x 时 f xg x 第 15 题 2007 安徽文 设函数 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt x R 其中1t 将 f x的最小值记为 g t I 求 g t的表达式 II 讨论 g t在区间 11 内的单调性并求极值 答案 解 I 我们有 用心 爱心 专心12 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt 222 sin1 2 sin 434xtttt 223 sin2 sin433xtxttt 23 sin 433xttt 由于 2 sin 0 xt 1t 故当sin xt 时 f x达到其最小值 g t 即 3 433g ttt II 我们有 2 1233 21 21 1g ttttt 列表如下 t1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 g t 0 0 g t A 极大值 1 2 g A 极小值 1 2 g A 由此可见 g t在区间 1 1 2 和 1 1 2 单调增加 在区间 1 1 2 2 单调减小 极小值 为 1 2 2 g 极大值为4 2 g 第 16 题 设0a 2 1ln2 ln 0 f xxxax x 令 F xxfx 讨论 F x在 0 内的单调性并求极值 求证 当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 答案 解 根据求导法则有 2ln2 10 xa fxx xx 故 2ln20F xxfxxxax 于是 22 10 x F xx xx 列表如下 x 0 2 2 2 用心 爱心 专心13 F x 0 F x A 极小值 2 F A 故知 F x在 0 2 内是减函数 在 2 内是增函数 所以 在2x 处取得极小值 2 22ln22Fa 证明 由0a 知 F x的极小值 2 22ln220Fa 于是由上表知 对一切 0 x 恒有 0F xxfx 从而当0 x 时 恒有 0fx 故 f x在 0 内单调增加 所以当1x 时 1 0f xf 即 2 1 ln2 ln0 xxax 故当1x 时 恒有 2 ln2 ln1xxax 第 17 题 2007 天津理 已知函数 2 2 21 1 axa f xx x R 其中a R 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程 当0a 时 求函数 f x的单调区间与极值 答案 解 当1a 时 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程为 46 2 525 yx 即62320 xy 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于0a 以下分两种情况讨论 1 当0a 时 令 0fx 得到 1 1 x a 2 xa 当x变化时 fxf x 的变 化情况如下表 x 1 a 1 a 1 a a a a 用心 爱心 专心14 fx 0 0 f x 极小值A极大值A 所以 f x在区间 1 a a 内为减函数 在区间 1 a a 内为增函数 函数 f x在 1 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 函数 f x在 2 1 x a 处取得极大值 f a 且 1f a 2 当0a 时 令 0fx 得到 12 1 xax a 当x变化时 fxf x 的变 化情况如下表 x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以 f x在区间 a 1 a 内为增函数 在区间 1 a a 内为减函数 函数 f x在 1 xa 处取得极大值 f a 且 1f a 函数 f x在 2 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 第 18 题 2007 天津理 已知函数 2 2 21 1 axa f xx x R 其中a R 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程 当0a 时 求函数 f x的单调区间与极值 答案 解 当1a 时 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程为 46 2 525 yx 用心 爱心 专心15 即62320 xy 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于0a 以下分两种情况讨论 1 当0a 时 令 0fx 得到 1 1 x a 2 xa 当x变化时 fxf x 的变 化情况如下表 x 1 a 1 a 1 a a a a fx 0 0 f x 极小值A极大值A 所以 f x在区间 1 a a 内为减函数 在区间 1 a a 内为增函数 函数 f x在 1 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 函数 f x在 2 1 x a 处取得极大值 f a 且 1f a 2 当0a 时 令 0fx 得到 12 1 xax a 当x变化时 fxf x 的变 化情况如下表 x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以 f x在区间 a 1 a 内为增函数 在区间 1 a a 内为减函数 函数 f x在 1 xa 处取得极大值 f a 且 1f a 函数 f x在 2 1 x a 处取得极小值 1 f a 且 2 1 fa a 第 19 题 2007 福建理 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件 产品需向总公司交a元 35a 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 用心 爱心 专心16 911x 时 一年的销售量为 2 12 x 万件 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润L最大 并求出L的最大值 Q a 答案 解 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为 2 3 12 911 Lxaxx 2 12 2 3 12 L xxxax 12 1823 xax 令0L 得 2 6 3 xa 或12x 不合题意 舍去 35a 228 86 33 a 在 2 6 3 xa 两侧 L 的值由正变负 所以 1 当 2 869 3 a 即 9 3 2 a 时 2 max 9 93 129 9 6 LLaa 2 当 228 96 33 a 即 9 5 2 a 时 2 3 max 2221 6 631264 3 3333 LLaaaaa 所以 3 9 9 6 3 2 19 4 35 32 aa Q a aa 答 若 9 3 2 a 则当每件售价为 9 元时 分公司一年的利润L最大 最大值 9 6 Q aa 万元 若 9 5 2 a 则当每件售价为 2 6 3 a 元时 分公司一年的 利润L最大 最大值 3 1 4 3 3 Q aa 万元 第 20 题 2007 广东文 函数 ln 0 f xxx x 的单调递增区间是 用心 爱心 专心17 答案 1 e 第 21 题 2007 广东文 已知函数 2 1f xxx 是方程 0f x 的两个根 fx 是 f x的导数 设 1 1a 1 12 n nn n f a aan fa 1 求 的值 2 已知对任意的正整数n有 n a 记ln 12 n n n a bn a 求数列 n b的前 n项和 n S 答案 解 1 由 2 10 xx 得 15 2 x 15 2 15 2 2 21fxx 22 1 11 2121 nnn nn nn aaa aa aa 2 2 1 2 21 2 2 115 35 15 212 2 11535 15 2122 15 2 15 2 n nn nn n n nn n n n n n a aa aa aa aa a a a a a 1 2 nn bb 又 1 1 1 3515 lnln4ln 235 a b a 数列 n b是一个首项为 15 4ln 2 公比为 2 的等比数列 15 4ln1 2 15 2 4 21 ln 1 22 n n n S 用心 爱心 专心18 第 22 题 2007 山东理 设函数 2 ln 1 f xxbx 其中0b 当 1 2 b 时 判断函数 f x在定义域上的单调性 求函数 f x的极值点 证明对任意的正整数n 不等式 23 111 ln1 nnn 都成立 答案 解 由题意知 f x的定义域为 1 3 22 2 11 bxxb fxx xx 设 2 22g xxxb 其图象的对称轴为 1 1 2 x max 11 22 g xgb 当 1 2 b 时 max 1 0 2 g xb 即 2 230g xxxb 在 1 上恒成立 当 1 x 时 0fx 当 1 2 b 时 函数 f x在定义域 1 上单调递增 由 得 当 1 2 b 时 函数 f x无极值点 1 2 b 时 3 1 2 2 0 1 x fx x 有两个相同的解 1 2 x 1 1 2 x 时 0fx 1 2 x 时 0fx 1 2 b 时 函数 f x在 1 上无极值点 当 1 2 b 时 0fx 有两个不同解 1 11 2 2 b x 2 11 2 2 b x 用心 爱心 专心19 0b 时 1 11 2 1 2 b x 2 11 2 0 2 b x 即 1 1 x 2 1x 0b 时 fx f x随x的变化情况如下表 x 1 1 x 1 x 2 x fx 0 f x A 极小值A 由此表可知 0b 时 f x有惟一极小值点 1 11 2 2 b x 当 1 0 2 b 时 1 11 2 1 2 b x 12 1 xx 此时 fx f x随x的变化情况如下表 x 1 1 x 1 x 12 xx 1 x 1 x fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 由此表可知 1 0 2 b 时 f x有一个极大值 1 11 2 2 b x 和一个极小值点 2 11 2 2 b x 综上所述 0b 时 f x有惟一最小值点 11 2 2 b x 用心 爱心 专心20 1 0 2 b 时 f x有一个极大值点 11 2 2 b x 和一个极小值点 11 2b x x 1 2 b 时 f x无极值点 当1b 时 函数 2 ln 1 f xxx 令函数 222 ln 1 h xxf xxxx 则 22 2 13 1 32 11 xx h xxx xx 当 0 x 时 0fx 所以函数 h x在 0 上单调递增 又 0 0h 0 x 时 恒有 0 0h xh 即 23 ln 1 xxx 恒成立 故当 0 x 时 有 23 ln 1 xxx 对任意正整数n取 1 0 x n 则有 23 111 ln1 nnn 所以结论成立 第 23 题 2007 四川理 设函数 1 1 1 x f xxnx n NR 且 当6x 时 求 1 1 x n 的展开式中二项式系数最大的项 对任意的实数x 证明 2 2 2 fxf fx fx 是 f x的导函数 是否存在a N 使得 1 1 1 1 k n k anan k 恒成立 若存在 试证明你的结 论并求出a的值 若不存在 请说明理由 答案 解 展开式中二项式系数最大的项是第 4 项 这项是 3 3 5 6 3 120 1C nn 证法一 因 22 11 2211 n fxf nn 用心 爱心 专心21 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 1 2 1 n n 11 2 1ln 1 2 n n 11 2 1ln 12 n fx nn 证法二 因 22 11 2211 n fxf nn 22 11 211 n nn 11 2 11 n nn 而 11 22 1ln 1 n fx nn 故只需对 1 1 n 和 1 ln 1 n 进行比较 令 ln1g xxx x 有 11 1 x gx xx 由 1 0 x x 得1x 因为当01x 时 0gx g x单调递减 当1x 时 0gx g x单调递增 所以在1x 处 g x有极小值1 故当1x 时 11g xg 从而有ln1xx 亦即ln1lnxxx 故有 11 1ln 1 nn 恒成立 所以 222fxffx 原不等式成立 对mN 且1m 有 2 012 11111 1 mkm km mmmmm CCCCC mmmmm 2 11112 1111 1 1 2 km m mm mmkm m mkmmm 111121111 2111111 2 km mkmmmmmm 1111 2 2 3 km 用心 爱心 专心22 1111 2 2 13 211k km m 1111111 21 22311kkmm 1 33 m 又因 1 02 3 4 k k m Ckm m 故 1 213 m m 1 213 m m 从而有 1 1 213 k n k nn k 成立 即存在2a 使得 1 1 213 k n k nn k 恒成立 第 24 题 2007 重庆理 已知函数 44 ln 0 f xaxxbxc x 在1x 处取得极值 3c 其中ab 为常数 试确定ab 的值 讨论函数 f x的单调区间 若对任意0 x 不等式 2 2f xc 恒成立 求c的取值范围 答案 解 I 由题意知 1 3fc 因此3bcc 从而3b 又对 f x求导得 343 1 4ln4fxaxxaxbx x A 3 4 ln 4 xaxab 由题意 1 0 f 因此40ab 解得12a II 由 I 知 3 48lnfxxx 0 x 令 0fx 解得1x 当01x 时 0fx 此时 f x为减函数 当1x 时 0fx 此时 f x为增函数 因此 f x的单调递减区间为 01 而 f x的单调递增区间为 1 III 由 II 知 f x在1x 处取得极小值 1 3fc 此极小值也是最小值 用心 爱心 专心23 要使 2 2f xc 0 x 恒成立 只需 2 32cc 即 2 230cc 从而 23 1 0cc 解得 3 2 c 或1c 所以c的取值范围为 3 1 2 导数的应用 第 1 题 曲线 1 2 e x y 在点 2 4e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 答案 第 2 题 设函数 2 ln f xxax I 若当1x 时 f x取得极值 求a的值 并讨论 f x的单调性 II 若 f x存在极值 求a的取值范围 并证明所有极值之和大于 e ln 2 答案 解 每个点落入M中的概率均为 1 4 p 依题意知 1 10000 4 XB 1 100002500 4 EX 依题意所求概率为0 034 10 03 10000 X P 0 034 10 03 24252575 10000 X PPX 2574 10000 10000 2426 0 250 75 lll l C 25742425 1000010000 1000010000 00 0 250 750 250 75 llllll ll CC 0 95700 04230 9147 用心 爱心 专心24 第 3 题 2007 海南 宁夏文 曲线exy 在点 2 2e 处的切线与坐标轴所围三角形的 面积为 2 9 e 4 2 2e 2 e 2 e 2 答案 第 4 题 2007 湖南理 函数 3 12f xxx 在区间 33 上的最小值是 答案 16 第 5 题 2007 江苏 已知函数 3 128f xxx 在区间 33 上的最大值与最小值分别 为M m 则Mm 答案 32 第 6 题 2007 江西文 设 32 21p f xxxmx 在 内单调递增 4 3 q m 则p是q的 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 答案 第 7 题 2007 江西文 四位好朋友在一次聚会上 他们按照各自的爱好选择了形状不同 内空高度相等 杯口半径相等的圆口酒杯 如图所示 盛满酒后他们约定 先各自饮杯中 酒的一半 设剩余酒的高度从左到右依次为 1 h 2 h 3 h 4 h 则它们的大小关系正确的 是 214 hhh 123 hhh 324 hhh 241 hhh 答案 用心 爱心 专心25 第 8 题 2007 全国 II 文 已知函数 32 1 2 1 3 f xaxbxb x 在 1 xx 处取得极大值 在 2 xx 处取得极小值 且 12 012xx 1 证明0a 2 求2zab 的取值范围 答案 解 求函数 f x的导数 2 22fxaxbxb 由函数 f x在 1 xx 处取得极大值 在 2 xx 处取得极小值 知 12 xx 是 0fx 的两个根 所以 12 fxa xxxx 当 1 xx 时 f x为增函数 0fx 由 1 0 xx 2 0 xx 得0a 在题设下 12 012xx 等价于 0 0 1 0 2 0 f f f 即 20 220 4420 b abb abb 化简得 20 320 4520 b ab ab 此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线 20320 4520babab 所围成的ABC 的内部 其三个顶点分别为 4 6 2 2 4 2 7 7 ABC z在这三点的值依次为 16 6 8 7 所以z的取值范围为 16 8 7 第 9 题 2007 山东文 设函数 2 lnf xaxbx 其中0ab 证明 当0ab 时 函数 f x没有极值点 当0ab 时 函数 f x有且只有一个极值 点 并求出极值 答案 证明 因为 2 ln0f xaxbxab 所以 f x的定义域为 0 b a 2 1 24O 4 6 7 7 A 4 2 C 2 2 B 用心 爱心 专心26 fx 2 2 2 baxb ax xx 当0ab 时 如果00 0 abfxf x 在 0 上单调递增 如果00 0 abfxf x 在 0 上单调递减 所以当0ab 函数 f x没有极值点 当0ab 时 2 22 bb a xx aa fx x 令 0fx 将 1 0 2 b x a 舍去 2 0 2 b x a 当00ab 时 fxf x 随x的变化情况如下表 x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x A 极小值A 从上表可看出 函数 f x有且只有一个极小值点 极小值为1 ln 222 bbb f aa 当00ab 时 fxf x 随x的变化情况如下表 x0 2 b a 2 b a 2 b a fx 0 f x A 极大值A 从上表可看出 用心 爱心 专心27 函数 f x有且只有一个极大值点 极大值为1 ln 222 bbb f aa 综上所述 当0ab 时 函数 f x没有极值点 当0ab 时 若00ab 时 函数 f x有且只有一个极小值点 极小值 为1 ln 22 bb a 若00ab 时 函数 f x有且只有一个极大值点 极大值 为1 ln 22 bb a 第 10 题 2007 山东文 已知椭圆C的中心在坐标原点 焦点在x轴上 椭圆C上的点到 焦点距离的最大值为 3 最小值为 1 求椭圆C的标准方程 若直线 l ykxm 与椭圆C相交于AB 两点 AB 不是左右顶点 且以AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 答案 解 由题意设椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由已知得 31acac 222 21 3 ac bac 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy 设 1122 A xyB xy 联立 22 1 43 ykxm xy 得 222 34 84 3 0kxmkxm 则 用心 爱心 专心28 222222 12 2 2 12 2 6416 34 3 0340 8 34 4 3 34 m kkmkm mk xx k m x x k 即 又 22 22 12121212 2 3 4 34 mk y ykxm kxmk x xmk xxm k 因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 2 0 D 1 ADBD kk 即 12 12 1 22 yy xx A 121212 2 40y yx xxx 222 222 3 4 4 3 16 40 343434 mkmmk kkk 22 71640mmkk 解得 12 2 2 7 k mkm 且均满足 22 340km 当 1 2mk 时 l的方程为 2 yk x 直线过定点 2 0 与已知矛盾 当 2 2 7 k m 时 l的方程为 2 7 yk x 直线过定点 2 0 7 所以 直线l过定点 定点坐标为 2 0 7 第 11 题 已知 32 f xaxbxcx 在区间 01 上是增函数 在区间 0 1 上是 减函数 又 13 22 f 求 f x的解析式 若在区间 0 0 m m 上恒有 f xx 成立 求m的取值范围 答案 解 2 32fxaxbxc 由已知 0 1 0ff 用心 爱心 专心29 即 0 320 c abc 解得 0 3 2 c ba 2 33fxaxax 1333 2422 aa f 2a 32 23f xxx 令 f xx 即 32 230 xxx 21 1 0 xxx 1 0 2 x 或1x 又 f xx 在区间 0m 上恒成立 1 0 2 m 第 12 题 2007 广东文 若函数 3 f xxx R 则函数 yfx 在其定义域上是 A 单调递减的偶函数B 单调递减的奇函数 C 单调递增的偶函数D 单调递增的奇函数 答案 B 第 13 题 2007 湖