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用心 爱心 专心 指数函数图像的应用指数函数图像的应用 我们已经知道指数函数 y ax 00 图 像在 x 轴上方 向左 向右上方 a 1 或向左上方 向右 0 a0 而是它的一个子集 在学习函数时这一点非常重要 下面举例说明 例 1 求下列函数的定义域与值域 2 1 4 1 x y 12 2 1 2 x y 3 2 3 x y xx y 2 2 3 4 分析 通过换元把复合函数转化成基本初等函数 利用基本初等函数的图像和性 质进行解答 解 令 4 1 x t 则 t y2 函数 4 1 x t的定义域是Rxx 且 4 x 函数 4 1 2 x y的定义域为Rxx 且 4 x 反比例函数 4 1 x t的值域是0 t 函数 t y2 的定义域是0 t 函数 t y2 0 t 的图像如图 1 所示 图 1 4 1 2 x y的值域为 0 yy且 1 y 2 令 12 xt 则 t y 2 1 函数12 xt的定义域是Rx 函数 12 2 1 x y的定义域为Rx 一次函数12 xt的值域是Rt 函数 t y2 的定义域是Rt 函数 t y 2 1 Rt 的图像如图 2 所示 图 2 用心 爱心 专心 12 2 1 x y的值域为Ry 3 令 xt 则 t y 3 2 函数 xt 的定义域是Rx 函数 3 2 x y 的定义域为Rx 分段函数 xt 的值域是 0 tt 函数 t y 3 2 的定义域是 0 tt 函数 t y 3 2 0 tt 的图像如图 3 所示 图 3 3 2 x y 的值域为 1 yy 4 令 xxt2 2 则 t y3 函数xxt2 2 的定义域是Rx 函数 xx y 2 2 3 的定义域为Rx 二次函数xxt2 2 xx2 2 1 1 1 1 2 x的定义域是Rx xxt2 2 的值域是 1 tt 函数 t y3 的定义域是 1 tt 函数 t y3 1 t 的图像如图 4 所示 图 4 xx y 2 2 3 的值域为 3 1 yy 小结 形如 xf ay 的值域的求解可先确定 xf的值域 再根据指数函数的图 像和性质确定其值域 例 2 已知 2 0 x求函数 x x y234 2 1 5 的最值 分析 通过换元把复合函数转化成基本初等函数 利用基本初等函数的图像和性 质进行解答 解 令 x t2 2 0 x 函数 x t2 的图像如图 5 所示 用心 爱心 专心 图 5 函数 x t2 的值域是 4 1 t x x y234 2 1 5 10262 2 1 5232 212 xxxx 106 2 1 2 tt x 2 1 3 2 1 1 3 2 1 22 tt 4 1 t 函数 y 2 1 3 2 1 2 t的图像如图 6 所示 图 6 函数 x x y234 2 1 5 的值域是 2 5 2 1 2 1 min y 2 5 max y 说明 在函数的学习中 利用换元的思想把复合函数转化成基本初等函数
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