高中数学《函数模型及其应用-3.2.2函数模型的应用实例》说课稿1 新人教A版必修1

用心 爱心 专心1 3 2 23 2 2 函数模型的应用实例 函数模型的应用实例 1 1 从容说课从容说课 我们已经学习过的函数有一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数 它 们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用 应用数学知识去解决有关实际问题 是我们 学习数学的重要目标之一 本节课 函数模型的应用实例 主要通过一些实例来感受这些函 数的广泛应用 逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程 函数模型的应用实例主要包 含三个方面 利用给定的函数模型解决实际问题 建立确定性函数模型解决问题及建立拟 合函数模型解决实际问题 例 1 主要根据题意列出相应的表格 通过表中数据的实际意义解决问题 例 2 涉及的数学模型是确定的 需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学 模型 主要意图是让学生利用函数模型 分段函数 刻画实际问题 例 3 中的数学模型 y y0ert是指数函数模型 它由 y0与 r 这两个参数决定 而 y0与 r 的 值不难得到 本题意图是让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型 并用数学模型解 释实际问题 在教学中结合教材内容注重培养学生阅读理解的能力 提高其读图 画图的 能力 三维目标三维目标 一 知识与技能 1 能利用给定函数模型解决实际问题 2 通过给出数据进行分析 画出散点图 并能验证问题中的数据与所提供的函数模型 是否相吻合 3 增强读图 画图 识图的意识 全面提高阅读理解的能力 二 过程与方法 1 通过对给出的图形和数据的分析 抽象出相应的确定性函数的模型 2 根据收集到的数据作出散点图 并通过观察图象判断问题所适用的函数模型 利用 计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式 三 情感态度与价值观 应用数学知识解决实际问题 培养学生高尚的品德 使其树立远大的理想 并能利用所 学知识为社会服务 教学重点教学重点 根据收集到的数据作出散点图 并通过观察图象判断问题所适用的函数模型 利用计 算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式 教学难点教学难点 怎样选择数学模型分析解决实际问题 教具准备教具准备 多媒体课件 投影仪 计数器 教学过程教学过程 一 创设情景 引入新课 师 我们已经学习过的函数有一次函数 二次函数 指数函数 对数函数以及幂函数 它们都与现实世界有着紧密的联系和广泛的应用 应用数学知识去解决有关实际问题 是我 们学习数学的重要目标之一 本节课 函数模型的应用实例 板书 主要通过一些实例让 我们来感受这些函数的广泛应用 逐步体会解决实际问题中构建函数模型的过程 用心 爱心 专心2 二 例题剖析 例 1 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船 第一年各种费用为 12 万元 以 后每年都增加 4 万元 每年捕鱼收益 50 万元 问 1 第几年后开始获利 2 当总纯收入获利最大时 以 8 万元出售该鱼船 问总获利为多少 分析 首先要弄清什么是第几年后开始获利 开始获利指哪一年后 总收入大于成本与各种费用的和 就开始获利 从题目条件中可以知道 每年捕鱼收益是一个常量 50 万元 而各种费用是逐年增加的 并且第 n 年的各种费用为 12 n 1 4 4n 8 从中可以看出 从某一年开始 捕鱼收益 不够支付费用 即要亏本 可以计算出 10 年以后如不出售该渔船将会亏本 50 4n 8 因为这里变量都是整数 且数据较小 因此仅列表就能得出相应的结论 解 列出下表 年数1234567891011 年收入5050505050505050505050 年各种费用1216202428323640444852 年纯收入383430262218141062 2 总获利 60 2643052708494100102100 1 由表格可以得到 第 3 年开始获利 2 到第 10 年时 总纯收入获利最大为 102 8 110 注意 最后该船是以 8 万元出售的 例 2 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图所示 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际含义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km 试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t 的函数解析式 并作出相应的图象 师 先用投影仪投影出图一 将原图中的阴影部分隐去 分析这张图可以得到的是一 个速度关于时间变化的图象 说明了速度与时间之间的什么关系 生 汽车在第 1 小时内以 50 km h 的速度匀速行驶 汽车在第 2 小时内以 80 km h 的速度匀速行驶 汽车在第 3 小时内以 90 km h 的速度匀速行驶 汽车在第 4 小时内以 75 km h 的速度匀速行驶 汽车在第 5 小时内以 65 km h 的速度匀速行驶 师 再用投影仪投影图二 给出一个阴影矩形的面积 通过分析 让学生理解它的 意义 我们知道这个阴影部分的面积 S 速度 时间 为 50 它表示的是汽车在第 1 小时内 行驶的路程为 50 km 以此我们可以得出第 2 3 4 5 个阴影部分的面积分别为 80 90 75 65 它们分 用心 爱心 专心3 别表示的是汽车在第 2 3 4 5 小时内行驶的路程 因此 整个阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程之和为 360 km 对于第 2 个问题 通过对图形的分析 可以看出 汽车在第 1 小时内以 50 km h 的速 度匀速行驶 所以其行驶的路程与时间的函数关系是 s 50t 0 t 1 因此第 1 小时内 里程表上的读数与时间的函数关系为 s s 2004 50t 2004 0 t 1 第 2 小时 该汽车以 80 km 的速度匀速行驶 因此第 2 小时内 汽车行驶的路程与时间的函数关系为 s 50 80 t 1 1 t 2 第 1 小时内 里程表上的读数与时间的函数关系为 s s 2054 80 t 1 2054 1 t 2 以此类推 让学生自主完成 可以得出 s 例 2 所涉及的数学模型是确定的 关键在于利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数 学模型 让学生学会如何用函数模型来刻画实际问题 这里我们得到的是一个分段函数的模 型 让学生注意分段函数的表示方法 及其定义域 学时探究 你能根据图一 作出汽车行驶路程关于时间变化的图象吗 1 首先获得路程关于时间变化的函数解析式 s 2 根据上面的函数解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象 其实这个图象就 是将图二向下平移了 2004 个单位 例 3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 认识人口数量的变化规律 可以 为有效控制人口增长提供依据 早在 1798 年 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下 的人口增长模型 y y0ert 其中 t 表示经过的时间 y0表示 t 0 时的人口数 r 表示人口的 年平均增长率 下表是 1950 1959 年我国人口数据资料 年份1950195119521953195419551956195719581959 人数 万人55196563005748258796602666145662828645636599467207 1 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 精确到 0 0001 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 并检验所得 50t 0 t 1 80 t 1 50 1 t 2 90 t 2 130 2 t 3 75 t 3 220 3 t 4 65 t 4 295 4 t 5 50t 2004 0 t 1 80 t 1 2054 1 t 2 90 t 2 2134 2 t 3 75 t 3 2224 3 t 4 65 t 4 2299 4 t 5 用心 爱心 专心4 模型与实际人口数据是否相符 2 如果按表中的增长趋势 大约在哪一年我国人口达到 13 亿 并根据所得结论 总结说明了什么问题 分析 这里要我们去验证问题中的数据与所提供的函数模型是否吻合 然后再利用函 数模型解释实际问题 并利用模型进行预测 这里的函数模型 y y0ert是指数型函数模型 它由 y0与 r 两个参数决定 实际上 y0就 是 1950 年的人数 r 是指各年的人口增长率的平均值 比较容易求得 解 1 设 1950 1959 年的人口增长率分别为 r1 r2 r9 由 55196 1 r1 56300 可得 1951 年的人口增长率 r1 0 0200 同理可得 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 于是 1950 1959 年期间 我国人口的年平均增长率为 r r1 r2 r9 9 0 0221 由 y0 55196 可得我国在 1950 1959 年期间的人口增长模型为 y 55196e0 0221t t N 请同学们利用计数器作出函数 y 55196e0 0221t t N 的图象 再根据表中 1950 1959 年人口数据 作出散点图 如下图 并进行比较 得出相应的结论 由图可以看出 所得模型与 1950 1959 年的实际人口数据基本吻合 2 师 根据所得函数模型 y 55196e0 0221t t N 预测我国人口大约在哪一年达到 13 亿 实际上是通过一个对数式 55196e0 0221t 130000 来确定 t 的近似值 请同学们利用计数器进行计算 即 t ln130000 ln55196 38 76 221 10000 因此如果按表中的增长趋势 那么大约在 1950 年后的第 39 年 即 1989 年 我国的人 口数就已达到 13 亿 由此可以看到 如果不实行计划生育 而是让人口自然增长 今天我 国将面临难以承受的人口压力 三 课堂练习 1 已知 1650 年世界人口为 5 亿 当时人口的年增长率为 0 3 1970 年世界人口为 36 亿 当时人口的年增长率为 2 1 1 用马尔萨斯人口模型计算 什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍 什么时候世界 人口是 1970 年的 2 倍 2 实际上 1850 年以前世界人口就超过了 10 亿 而 2003 年世界人口还没有达到 72 亿 你对同样的模型得出的两个结果有何看法 2 以 v0 m s 的速度竖直向上运动的物体 t s 后的高度 h m 满足 h v0t 4 9t2 速度 v m s 满足 v v0 9 8t 现以 75 m s 的速度向上发射一发子弹 问子弹保持在 100 m 以上高度的时 间是多少秒 在此过程中 子弹速度的范围是多少 答案 1 1 由 y 5e0 003t可知 当 y 10 时 t 231 所以 1881 年世界人口是 1650 年的 2 倍 用心 爱心 专心5 同理可得 2003 年世界人口是 1970 年的 2 倍 2 由此看出 此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况 2 由题意有 75t 4 9t2 100 解得 t 9 42 5 6075 解得 t1 1 480 t2 13 827 所以子弹保持在 100 m 以上的时间 t t2 t1 12 35 在此过程中 子弹最大速度 v1 v0 9 8t 75 9 8 1 48 60 498 m s 四 课堂小结 本