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第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一 隐函数的导数 二 由参数方程所确定的函数的导数 三 相关变化率 1 解析式y f x x D 这样描述的函数称为显函数 例可确定函数 一 隐函数的导数 复习函数的表示法 1 直接表示 2 由两个方程确定 带一个中间变量 参数方程 称为隐函数 2间接表示 1 由一个方程F x y 0所确定的函数 t是参数 2 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 I 隐函数的导数 3 例1求由方程所确定的隐函数的导数 解 把方程两边分别对x求导数 注意y y x 方程右边对x求导得 所以 隐函数求导方法 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 从而 注意 在结果中 分式中的y y x 是由方程 所确定的隐函数 方程左边对x求导得 解出 4 当x 0时 由原方程得y 0 解 把方程两边分别对x求导 由于方程两边的导数相等 由此得 所以 所以 解出 P105 5 例3求椭圆在点处的切线方程 图2 6 解由导数的几何意义知道 所求切线的斜率为 椭圆方程的两边分别对x求导 有 从而 当x 2时 代入上式得 于是所求的切线方程为 即 6 例4求由方程所确定的隐函数的二阶导数 解 应用隐函数的求导方法 得 于是 上式两边再对x求导 得 上式右端分式中的y y x 是由方程 所确定的隐函数 7 例5 解 方程两边对x求导 切线方程为 显然通过原点 8 II 对数求导法 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 对数求导法 适用范围 直接求导比较繁 9 例6 解 等式两边取对数得 解出 将y回代 10 一般地 解出 将y回代 两边取对数得 11 两边对x求导 于是 解 两边取对数 假定x 4 得 12 当2 x 3时 用同样的方法可得与上面相同的结果 当x 1时 13 例8 等式两边取对数得 解 14 二 由参数方程所确定的函数的导数 例如 问题 消参困难或无法消参如何求导 消去参数 15 由复合函数及反函数的求导法则得 16 例9已知椭圆的参数方程为 求椭圆在相应的点处的切线方程 解 当时 椭圆上的相应点的坐标是 17 曲线在点的切线斜率为 代入点斜式方程 即得椭圆在点处的切线方程 化简后得 18 例10 解 所求切线方程为 p110 图2 9 19 参数方程的二阶导数 20 例11 解 21 例12计算由摆线的参数方程 所确定的函数y y x 的二阶导数 解 利用例10结果 22 三 相关变化率 相关变化率的定义 例13 23 解 仰角增加率 即观察员视线的仰角增加率是0 14rad
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