高考数学冲刺复习 精练41 (2)

用心 爱心 专心1 数学冲刺数学冲刺复习 数学精练 数学精练 4141 1 已知三棱锥 P ABC 中 PA ABC AB AC PA AC AB N 为 AB 上一点 AB 4AN M S 分 别为 PB BC 的中点 证明 CM SN 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小 2 已知三棱锥 P ABC 中 PC 底面 ABC 二面角 P AB C 为 0 ABC 90 AB BC 2 D F 分别为 AC PC 的中点 DE AP 于 E 0 45 求证 AP 平面 BDE 求直线 EB 与平面 PAC 所成的角 3 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 4 4 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 900 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 5 5 如图 在矩形ABCD中 点 E F分别在线段 用心 爱心 专心2 AB AD上 2 4 3 AEEBAFFD 沿直线EF将 AEFV翻折成 AEFV 使平面 AEFBEF 平面 求二面角 AFDC 的余弦值 点 M N分别在线段 FD BC上 若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折 使 C与 A重合 求线段FM的长 6 北京的高考数学试卷中共有 8 道选择题 每个选择题都给了 4 个选项 其中有且仅有一个 选项是正确的 评分标准规定 每题只选 1 项 答对得 5 分 不答或答错得 0 分 某考生每道 题都给出了答案 已确定有 4 道题的答案是正确的 而其余的题中 有两道题每题都可判断其 有两个选项是错误的 有一道题可以判断其一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只 能乱猜 对于这 8 道选择题 试求 该考生得分为 40 分的概率 该考生所得分数的分布列及数学期望 E 7 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间有关 每台这种家用电器若无 故障使用时间不超过一年 则销售利润为 0 元 若无故障使用时间超过一年不超过三年 则销售利润为 100 元 若无故障使用时间超过三年 则销售利润为 200 元 已知每台该 种电器的无故障使用时间不超过一年的概率为无故障使用时间超过一年不超过三年的 5 1 概率为 5 2 I 求销售两台这种家用电器的销售利润总和为 400 元的概率 II 求销售三台这种家用电器的销售利润总和为 300 元的概率 用心 爱心 专心3 参考答案参考答案 1 设 PA 1 以 A 为原点 射线 AB AC AP 分别为 x y z 轴 正向建立空间直角坐标系如图 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 2 0 0 M 1 0 1 2 N 1 2 0 0 S 1 1 2 0 111 1 1 0 222 CMSN 因为 11 00 22 CMSN 所以 CM SN 1 1 0 2 NC 设 a x y z 为平面 CMN 的一个法向量 则 1 0 2 2 1 0 2 xyz x xy 令 得a 2 1 2 因为 1 1 2 2 cos 22 3 2 a SN 所以 SN 与片面 CMN 所成角为 45 2 1 证明PC 底面 ABC 又 AB BC D 为 AC 中点 PCBD 平面 ACP平面 ACPBDAC BD AP 又平面 BDEBDAP APDE BDDE DAP 2 由 1 的证明知平面 ACP为直线 EBBD BED 与平面 PAC 所成的角 为 PB 在平面 ABC 上的射影为二面角 P AB C 的ABBC BC PBABPBC 平面角 用心 爱心 专心4 0 PBC 45 AB BC 2PC 2 AC 2 2 6 DEAPDE 3 3 3 4 4 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 用心 爱心 专心5 从而 AB 2 BC 1 得ABC 的面积1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得PBC 的面积 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV A 得2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 5 5 解 取线段 EF 的中点 H 连结 AH 因为 AE AF及 H 是 EF 的中点 所以 AHEF 又因为平面 AEF 平面BEF 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 2 2 2 2 C 10 8 0 F 4 0 0 D 10 0 0 故 FA 2 2 2 2 FD 6 0 0 设n x y z 为平面 AFD的一个法向量 2x 2y 22z 0 所以 6x 0 取2z 则 0 2 2 n 又平面BEF的一个法向量 0 0 1 m 故 3 cos 3 n m n m n m A A 所以二面角的余弦值为 3 3 解 设 FMx 则 4 0 0 Mx 因为翻折后 C与A重合 所以 CMA M 故 222222 6 80 222 2xx 得 21 4 x 经检验 此时点N在线段BC上 所以 21 4 FM 6 要得 40 分 8 道选择题必须全做对 在其余四道题中 有两道题答对的概率为 有 2 1 用心 爱心 专心6 一道题答对的概率为 还有一道题答对的概率为 所以得 40 分的概率为 3 1 4 1 48 1 4 1 3 1 2 1 2 1 P 依题意 该考生得分的取值是 20 25 30 35 40 得分为 20 表示只做对了四道题 其余各题都做错 故所求概率为 8 1 4 3 3 2 2 1 2 1 20 P 同样可求得得分为 25 分的概率为 48 17 4 1 3 2 2 1 2 1 4 3 3 1 2 1 2 1 4 3 3 2 2 1 2 1 25 1 2 CP 得分为 30 分的概率为 48 17 30 P 得分为 35 分的概率为 48 7 35 P 得分为 40 分的概率为 48 1 40 P 于是的分布列为 2025303540 P 48 6 48 17 48 17 48 7 48 1 故 48 1 40 48 7 35 48 17 30 48 17 25 48 6 20 E 12 335 该考生所得分数的数学期望为 12 335 7 I 无故障使用时间不超过一年的概率为 5 1 无故障使用时间超过一年不超过三年的概率为 5 2 无故障使用时间超过三年的概率为 5 2 设销售两台这种家用电器的销售利润总和为 400 元的事件为 A 2