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用心 爱心 专心 抽象函数的对称性抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题 下面给出四种常见类型及其证明 一 设一 设是定义在是定义在 R 上的函数 若上的函数 若 则函数 则函数的的yf x f axf bx yf x 图象关于直线图象关于直线对称 对称 x ab 2 证明 设点 A m n 是图象上任一点 即 点 A 关于直线yf x f mn 的对称点为 x ab 2 A abmn f abmf bbmf mn 点 A 也在的图象上 故的图象关于直线对称 yf x yf x x ab 2 二 设二 设是定义在是定义在 R 上的函数 则函数上的函数 则函数与函数与函数的的yf x yf ax yf bx 图象关于直线图象关于直线对称 对称 x ba 2 证明 设点 A m n 是图象上任一点 即 点 A 关于yf ax f amn 直线的对称点为 x ba 2 A bamn f bbamf amn 点 A 在的图象上yf bx 反过来 同样可以证明 函数图象上任一点关于直线的对称yf bx x ba 2 点也在函数的图象上 故函数与函数的图象关yf ax yf ax yf bx 于直线对称 x ba 2 说明 可以从图象变换的角度去理解此命题 易知 函数与的图象关于直线对称 由yfx ab 2 yfx ab 2 x 0 用心 爱心 专心 的图象平移得到的图象 由yfx ab 2 yfx baab f ax 22 的图象平移得到的图象 yfx ab 2 yfx baab f bx 22 它们的平移方向和长度是相同的 故函数与函数的图象关于直yf ax yf bx 线对称 x ba 2 三 设三 设是定义在是定义在 R 上的函数 若上的函数 若 则函数 则函数yf x f axcf bx 2 的图象关于点的图象关于点对称 对称 yf x ab c 2 证明 设点是图象上任一点 则 点 A 关于点 A mn yf x f mn 的对称点为 ab c 2 A abmcn 2 f abmcf bbmcf mcn 222 点 A 也在的图象上 故的图象关于点对称yf x yf x ab c 2 说明 1 当时 奇函数图象关于点 0 0 对称 2 易知此命题abc 0 的逆命题也成立 四 设四 设是定义在是定义在 R 上的函数 则函数上的函数 则函数与函数与函数yf x yf ax 的图象关于点的图象关于点对称 对称 ycf bx 2 ba c 2 证明 设点 A m n 是图象上任一点 即 点 A 关于yf ax f amn 点的对称点为 ba c 2 A bamcn 2 222cf bbamcf amcn 用心 爱心 专心 点 A 在的图象上 ycf bx 2 反过来 同样可以证明 函数图象上任一点关于点的ycf bx 2 ba c 2 对称点在函数图象上 y
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