高中数学 第三章《数系的扩充》素材 苏教版选修2-2

用心 爱心 专心 复数中的几个结论及共应用复数中的几个结论及共应用 数系由实数系扩充到复数系之后 实数系中哪些公式和法则仍然成立 哪些不成立 又有哪些新的公式和法则 是同学们不易弄清的问题 以下给出几则在复数系中仍然成立 的公式和法则及几个新的公式和法则 并简单举例说明其应用 一 中点公式 A点对应的复数为 1111 abi ab RR B点对应的复数为 2222 ab i ab RR C点为AB 两点的中点 则C点对应的复数为 1122 2 abiab i 即 1212 22 aabb i 例 1 四边形ABCD是复平面内的平行四边形 ABC 三点对应的复数分别为 132iii 求D点对应的复数 解 由已知应用中点公式可得AC 的中点对应的复数为 3 2 2 i 所以D点对应的复数 为 3 2 22 1 35 2 ii 二 根与系数的关系 若实系数方程 2 0 0 axbxca 的两复根为 11 abi 22 ab i 则有 1122 b abiab i a 1122 c abiab i a 推论 若实系数方程 2 0 0 axbxca 有两虚数根 则这两个虚数根共轭 例 2 方程 2 0 xaxb 的一个根为1i 求实数a b的值 解 已知实系数方程的一个根为1i 由推论知方程的另一根为1i 由根与系数的 关系可知 11 2aii 1 1 2bii 三 相关运算性质 z为实数 2 22 0zzzzz z为纯虚数 2 00 0 zzzz 对任意复数有zz 1212 zzzz 1212 z zz z 特别地有 22 zz 11 2 2 zz zz 2 zz z 例 3 设1z 且zi 求证 2 1 z z 为实数 证明 由条件可知0z 则 2 1z zz 所以 1 1 zz z 1 21 22 2 22 11 11 11 zzzzzz zzzz zz 用心 爱心 专心 所以 2 1 z z 为实数 四 两则几何意义 0 zz 的几何意义为点z到点 0 z的距离 0 0 zzr r 中 z所对应的点为以复数 0 z所对应的点为圆心 半径为r的圆上的点 例 4 若zC 且221zi 则22zi 的最小值为 解 221zi 即 22 1zi z对应的点为到点 2 2 的距离为定值 1 的所有 的点 即以 2 2 为圆心 1 为半径的圆O上的点 22zi 即 22 zi 为圆O上的 点与点 2 2 之间的距离减去圆O的半径 可得结果为 3 复数与平行四边形家族复数与平行四边形家族 菱形 矩形 正方形等特殊的平面几何图形与某些复数式之间存在某种联系及相互转 化的途径 在求解复数问题时 要善于考察条件中给定的或者是通过推理所得的复数形式 的结构特征 往往能获得简捷明快 生动活泼的解决方法 下面略举几例 以供参考 一 复数式与长方形的转化 例 1 复数 1 z 2 z满足 12 0z z 1212 zzzz 证明 2 1 2 2 0 z z 解析 设复数 1 z 2 z在复平面上对应的点为 1 Z 2 Z 由 1212 zzzz 知 以 1 OZ 2 OZ 为邻边的平行四边形为矩形 12 OZOZ 故可设 1 2 0 z ki kk z R 所以 2 2221 2 2 10 z kk z 例 2已知复数 1 z 2 z满足 1 71z 2 71z 且 12 4zz 求 1 2 z z 与 12 zz 的值 解析 设复数 1 z 2 z在复平面上对应的点为 1 Z 2 Z 由于 222 71 71 4 故 2 22 2 112 zzzz 故以 1 OZ 2 OZ 为邻边的平行四边形是矩形 从而 12 OZOZ 则 用心 爱心 专心 1 2 7147 371 z ii z 1212 4zzzz 二 复数式与正方形的转化 例 3 已知复数 12 zz 满足 12 1zz 且 12 2zz 求证 12 2zz 证明 设复数 12 zz 在复平面上对应的点为 1 Z 2 Z 由条件知 1212 22zzzz 以 1 OZ 2 OZ 为邻边的平行四边形为正方形 而 12 zz 在复平面上对应的向量为正方形的 一条对角线 所以 12 2zz 点评 复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义 复数加法几何意义的运用是本 题考查的重点 三 复数式与菱形的转化 例 4 已知 12 zz C 12 1zz 12 3zz 求 12 zz 解析 设复数 12 zz 12 zz 在复平面上对应的点为 123 ZZZ 由 12 1zz 知 以 1 OZ 2 OZ 为邻边的平行四边形是菱形 22 za za 考虑到za 时 22 22 0 za za zai 时 22 22 za za 无意义 故使 22 22 za za 0 a 为纯虚