高考数学二轮总复习专题二综合测试题 理

1 专题二综合测试题专题二综合测试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 如图 设A是棱长为a的正方体的一个顶点 过从此顶点出发的三条棱的中点作截 面 截面与正方体各面共同围成一个多面体 则关于此多面体有以下结论 其中错误的是 A 有 10 个顶点 B 体对角线AC1垂直于截面 C 截面平行于平面CB1D1 D 此多面体的表面积为a2 47 8 解析 此多面体的表面积S 6a2 3 a a a a a2 a2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 45 8 3 8 a2 故选 D 45 3 8 答案 D 2 2011 福建宁德二模 下图是一个多面体的三视图 则其全面积为 2 A B 6 3 3 2 C 6D 4 33 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是正三棱柱 其全面积为S 3 2 2 2 2 sin60 6 故选 C 1 223 答案 C 3 2011 江西抚州一中模拟 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几 何体的表面积是 A 22 B 12 C 4 24 D 4 32 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是上面一个球 下面一个长方体组成的几何 体 此几何体的表面积S 4 12 2 2 2 8 3 4 32 故选 D 答案 D 4 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积与体积分别为 A 7 3 B 8 3 22 C 7 D 8 2 3 22 3 2 3 解析 由几何体的三视图可得 此几何体是四棱柱 底面是梯形 其全面积为S 2 1 2 1 12 12 1 2 1 7 体积为V 1 2 1 1 故选 C 1 222 1 2 3 2 答案 C 5 2011 江苏启东中学模拟 一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 则球的体积为 A B 8 2 3 8 3 C D 8 32 3 解析 由题意 球的半径为R 故其体积V 3 选 A 12 122 4 32 8 2 3 答案 A 6 2011 福建福鼎一中模拟 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是AD的中点 则 异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是 A B 10 5 10 10 C D 1 3 2 2 3 解析 因为BC B1C1 故 EC1B1即为异面直线C1E与BC所成的角 在 EB1C1中 由 余弦定理可得结果 选 C 答案 C 7 2011 泰安市高三质检 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等 E是 SB的中点 则AE SD所成角的余弦值为 A B 1 3 2 3 C D 3 3 2 3 解析 连接BD 取BD中点O 连接AO 4 则OE SD OEA即为AE与SD所成的角 令侧棱长为 2 则OE 1 AO AE 23 因为AE2 AO2 OE2 所以 AOE是直角三角形 故 cos AEO 3 3 答案 C 8 2011 安徽皖南八校联考 设m n是不同的直线 是不同的平面 有 以下四个命题 Error Error m Error Error m 其中正确 的命题是 A B C D 解析 由定理可知 正确 中m与 的位置关系不确定 中可能m 故选 C 答案 C 9 2011 宁夏模拟 如图 正 ABC的中线AF与中位线DE相交于G 已知 A ED 是 AED绕DE旋转过程中的一个图形 下列命题中 错误的是 A 动点A 在平面ABC上的射影在线段AF上 B 恒有平面A GF 平面BCED C 三棱锥A FED的体积有最大值 D 异面直线A E与BD不可能垂直 解析 由题意 DE 平面AGA A B C 正确 故选 D 答案 D 10 2011 南昌一模 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 M为AB的中点 则点 5 C到平面A1DM的距离为 A a B a 6 3 6 6 C a D a 2 2 1 2 解析 设点C到平面A1DM的距离为h 则由已知得DM A1M a A1D a2 a 2 2 5 2 a S A 1DM a a2 连接CM S CDM a2 由 2 1 22 5 2 a 2 2 2 a 2 6 4 1 2 VC A 1DM VA1 CDM 得 S A 1DM h S CDM a a2 h a2 a 所以h a 即点C到平 1 3 1 3 6 4 1 2 6 3 面A1DM的距离为a 选 A 6 3 答案 A 11 2011 山东平邑一中模拟 设a b c是空间三条直线 是空间两个平面 则下列命题中 逆命题不成立的是 A 当c 时 若c 则 B 当b 时 若b 则 C 当b 且c是a在 内的射影时 若b c 则a b D 当b 且c 时 若c 则b c 解析 写出逆命题 可知 B 中b与 不一定垂直 选 B 答案 B 12 2011 山东潍坊模拟 某几何体的一条棱长为 在该几何体的正视图中 这条 7 棱的投影是长为的线段 在该几何体的侧视图与俯视图中 这条棱的投影分别是长为a 6 和b的线段 则a b的最大值为 A 2 B 2 23 C 4 D 2 5 解析 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算 如图设长方体的长 宽 高 分别为m n k 由题意得 6 n 1 a b 所以 a2 1 b2 1 m2 n2 k27m2 k261 k21 m2 6 a2 b2 8 所以 a b 2 a2 2ab b2 8 2ab 8 a2 b2 16 a b 4 当且仅 当a b 2 时取等号 选 C 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填在题中的横线上 13 2011 广东珠海二模 一个五面体的三视图如图 正视图与侧视图都是等腰直角 三角形 俯视图为直角梯形 部分边长如图所示 则此五面体的体积为 解析 由三视图可知 此几何体是一个底面为直角梯形 有一条侧棱垂直于底面的四 棱锥 其体积为V 1 2 2 2 2 1 3 1 2 答案 2 14 2011 上海春招 有一多面体的饰品 其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成 如图 AB与CD所成的角的大小是 7 解析 连接AD 则AD綊 2BC 故延长AB DC必相交 设交点为E ADE是等边三角 形 故AB与CD所成的角的大小为 60 答案 60 15 2011 江西赣州联考 三棱锥S ABC中 SBA SCA 90 ABC是斜边 AB a的等腰直角三角形 则以下结论中 异面直线SB与AC所成的角为 90 直线SB 平面ABC 平面SBC 平面SAC 点C到平面SAB的距离是a 1 2 其中正确结论的序号是 解析 由题意知AC 平面SBC 故AC SB SB 平面ABC 平面SBC 平面 SAC 正确 取AB的中点E 连接CE 可证得CE 平面SAB 故CE的长度即为 C到平面SAB的距离a 正确 1 2 答案 16 2011 南京一模 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D为棱AA1的中点 若截面 BC1D是面积为 6 的直角三角形 则此三棱柱的体积为 8 解析 设正三棱柱的底面边长为a 高为 2h 则BD C1D BC1 a2 h2a2 4h2 由 BC1D是面积为 6 的直角三角形 得Error 解得Error 故此三棱柱的体积为 V 8 sin60 4 8 1 23 答案 8 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 如图 PA 平面ABCD ABCD是矩形 PA AB 1 AD 点 3 F是PB的中点 点E在边BC上移动 1 求三棱锥E PAD的体积 2 当点E为BC的中点时 试判断EF与平面PAC的位置关系 并说明理由 3 证明 无论点E在边BC的何处 都有PE AF 解 1 三棱锥E PAD的体积V PA S ADE PA 1 3 1 3 1 2AD AB 3 6 2 当点E为BC的中点时 EF与平面PAC平行 9 在 PBC中 E F分别为BC PB的中点 EF PC 又EF 平面PAC PC 平面PAC EF 平面PAC 3 证明 PA 平面ABCD BE 平面ABCD BE PA 又BE AB AB PA A AB PA 平面PAB BE 平面PAB 又AF 平面PAB AF BE 又PA AB 1 点F是PB的中点 PB AF 又 PB BE B PB BE 平面PBE AF 平面PBE PE 平面PBE AF PE 18 本小题满分 12 分 已知四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD 平面PCD 平面ABCD E为PB上任意 一点 O为菱形对角线的交点 如图 1 证明 平面EAC 平面PBD 2 试确定点E的位置 使得四棱锥的体积被平面EAC分成 3 1 两部分 解 1 证明 过点B作BG AD于点G 由于平面PAD 平面ABCD 由面面垂直的性 质定理可知BG 平面PAD 又PD 平面PAD 故PD BG 同理 过点B作BH CD于点H 则PD BH 又BG 平面ABCD BH 平面ABCD BG BH B PD 平面ABCD 10 PD AC 又BD AC 故AC 平面PBD 又AC 平面EAC 平面EAC 平面PBD 2 若四棱锥的体积被平面EAC分成 3 1 两部分 则三棱锥E ABC的体积是整个四棱 锥体积的 设三棱锥E ABC的高为h 底面ABCD的面积为S 则 S h S PD 1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 由此得h PD 故此时E为PB的中点 1 2 19 本小题满分 12 分 如图 在四面体A BCD中 AE 平面 BCD BC CD BC CD AC BD E是BD的中点 1 求证 AC BD 2 求直线AC与平面BCD所成的角 解 如图 连接CE 1 证明 在 BCD中 BC CD E是BD的中点 CE BD AE 平面BCD BD 平面BCD AE BD CE AE E BD 平面ACE AC 平面ACE 11 AC BD 2 AE 平面BCD CE 平面BCD AE CE ACE就是直线AC与平面BCD所成的角 BC CD E是BD的中点 CE BD 1 2 AC BD CE AC 1 2 在 Rt ACE中 易知 ACE 60 即直线AC与平面BCD所成的角是 60 20 本小题满分 12 分 2011 浙江 如图 在三棱锥P ABC中 AB AC D为BC的 中点 PO 平面ABC 垂足O落在线段AD上 已知BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 1 证明 AP BC 2 在线段AP上是否存在点M 使得二面角A MC B为直二面角 若存在 求出AM 的长 若不存在 请说明理由 解 方法一 1 证明 如图 以O为原点 以射线OP为z轴的正半轴 建立空间直 角坐标系O xyz 则O 0 0 0 A 0 3 0 B 4 2 0 C 4 2 0 P 0 0 4 0 3 4 8 0 0 由此可得 0 所以 即AP BC AP BC AP BC AP BC 12 2 设 1 PM PA 则 0 3 4 PM BM BP PM BP PA 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 8 0 0 AC BC 设平面BMC的法向量n1 x1 y1 z1 平面APC的法向量n2 x2 y2 z2 由Error 得Error 即Error 可得n1 0 1 2 3 4 4 由Error 即Error 得Error 可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得 4 3 0 2 3 4 4 解得 故AM 3 2 5 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 方法二 1 证明 由AB AC D是BC的中点 得AD BC 又PO 平面ABC 得PO BC 因为PO AD O 所以BC 平面PAD 故BC PA 2 如图 在平面PAB内作BM PA于M 连接CM 13 由 1 中知AP BC 得AP 平面BMC 又AP 平面APC 所以平面BMC 平面APC 在 Rt ADB中 AB2 AD2 BD2 41 得AB 41 在 Rt POD中 PD2 PO2 OD2 在 Rt PDB中 PB2 PD2 BD2 所以PB2 PO2 OD2 DB2 36 得PB 6 在 Rt POA中 PA2 AO2 OP2 25 得PA 5 又 cos BPA PA2 PB2 AB2 2PA PB 1 3 从而PM PBcos BPA 2 所以AM PA PM 3 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 21 本小题满分 12 分 2011 辽宁 如图 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD PD QA QA AB PD 1 2 1 证明 平面PQC 平面DCQ 2 求二面角Q BP C的余弦值 解 如图 以D为坐标原点 线段DA的长为单位长 射线DA为x轴的正半轴建立空 间直角坐标系D xyz 14 1 证明 依题意有Q 1 1 0 C 0 0 1 P 0 2 0 则 1 1 0 0 0 1 1 1 0 所以 0 0 DQ DC PQ PQ DQ PQ DC 即PQ DQ PQ DC 故DQ 平面DCQ 又PQ 平面PQC 所以平面PQC 平面DCQ 2 依题意有B 1 0 1 1 0 0 1 2 1 CB BP 设n x y z 是平面PBC的法向量 则Error 即Error 因此可取n 0 1 2 设m是平面PBQ的法向量 则Error 可取m 1 1 1 所以 cos m n 15 5 故二面角Q BP C的余弦值为 15 5 22 本小题满分 14 分 2011 福建 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 四边 形ABCD中 AB AD AB AD 4 CD CDA 45 2 1 求证 平面PAB 平面PAD 2 设AB AP 若直线PB与平面PCD所成的角为 30 求线段AB的长 在线段AD上是否存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 说明 15 理由 解 解法一 1 证明 因为PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以PA AB 又AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 以A为坐标原点 建立空间直角坐标系A xyz 如图 在平面ABCD内 作CE AB交AD于点E 则CE AD 在 Rt CDE中 DE CD cos45 1 CE CD sin45 1 设AB AP t 则B t 0 0 P 0 0 t 由AB AD 4 得AD 4 t 所以E 0 3 t 0 C 1 3 t 0 D 0 4 t 0 1 1 0 CD 0 4 t t PD 设平面PCD的法向量为n x y z 由n n 得Error CD PD 取x t 得平面PCD的一个法向量n t t 4 t 16 又 t 0 t 故由直线PB与平面PCD所成的角为 30 得 PB cos60 n PB n PB 即 2t2 4t t2 t2 4 t 2 2t2 1 2 解得t 或t 4 舍去 因为AD 4 t 0 所以AB 4 5 4 5 假设在线段AD上存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 设G 0 m 0 其中 0 m 4 t 则 1 3 t m 0 0 4 t m 0 0 m t GC GD GP 由 得 12 3 t m 2 4 t m 2 GC GD 即t 3 m 由 得 4 t m 2 m2 t2 GD GP