高考数学 函数与方程思想专题突破教案

用心 爱心 专心1 集体备课集体备课 函数函数 典例分析 典例分析 1 1 记函数 f x 的定义域为 A g x lg x a 1 2a x a 1 的定义域为 B 1 3 2 x x 1 求 A 2 若 BA 求实数 a 的取值范围 难度 解 1 2 0 得 0 x0 得 x a 1 x 2a 0 a2a B 2a a 1 BA 2a 1 或 a 1 1 即 a 或 a 2 而 a 1 2 1 a 1 或 a 2 故当 BA 时 实数 a 的取值范围是 2 1 2 1 2 1 2 2 已知函数 常数 0 2 x x a xxf a R 1 讨论函数的奇偶性 并说明理由 xf 2 若函数在上为增函数 求的取值范围 xf 2 x a 解 1 当时 0 a 2 xxf 对任意 为偶函数 0 0 x 22 xfxxxf xf 当时 0 a 2 00 a f xxax x 取 得 1 x 1 1 20 1 1 20ffffa 1 1 1 1 ffff 函数既不是奇函数 也不是偶函数 xf 2 解法一 设 12 2xx 2 2 2 1 2 121 x a x x a xxfxf axxxx xx xx 2121 21 21 要使函数在上为增函数 必须恒成立 xf 2 x 0 21 xfxf 即恒成立 1212 04xxx x 2121 xxxxa 又 4 21 xx 16 2121 xxxx 的取值范围是 a 16 解法二 当时 显然在为增函数 0 a 2 xxf 2 当时 反比例函数在为增函数 0 a x a 2 在为增函数 x a xxf 2 2 当时 同解法一 难度 0 a 已知函数f x 和g x 的图象关于原点对称 且f x x2 2x 求函数g x 的解析式 解不等式g x f x x 1 若h x g x f x 1 在 1 1 上是增函数 求实数的取值范围 解 I 设函数的图象上任一点关于原点的对称点为 yf x 00 Q xy P x y 则 即 0 0 0 2 0 2 xx yy 0 0 xx yy 点在函数的图象上 00 Q xy yf x 即 故 g x 2 2 yxx 2 2 yxx 2 2xx II 由可得 1 g xf xx 2 2 1 0 xx 当1 时 x 2 21 0 xx 此时不等式无解 当时 1x 2 210 xx 1 1 2 x 用心 爱心 专心2 因此 原不等式的解集为 1 1 2 III 2 1 2 1 1 h xxx 当时 在 1 1 上是增函数 1 h x41x 1 当时 对称轴的方程为1 1 1 x i 当时 解得 1 1 1 1 1 ii 当时 1 时 解得1 1 1 10 综上 难度 0 设函数在上满足 且在闭区间 f x 2 2 fxfx 7 7 fxfx 0 7 上 只有 1 3 0ff 试判断函数的奇偶性 yf x 试求方程 0 在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 f x 解 由 f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 得函数的对称轴为 xfy 72 xx和 从而知函数不是奇函数 xfy 由 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 从而知函数的周期为 10 xfxf xfy 10 T 又 故函数是非奇非偶函数 0 7 0 0 3 fff而 xfy I 14 4 14 4 7 7 2 2 xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf 10 xfxf II 又0 9 7 13 11 0 0 3 ffffff 故 f x 在 0 10 和 10 0 上均有有两个解 从而可知函数在 0 2005 上有 402 个解 xfy 在 2005 0 上有 400 个解 所以函数在 2005 2005 上有 802 个解 难度 xfy 3 3 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是f x 的反函数 求 g x 当 2 6 x 时 恒有 2 log 1 7 a t g x xx 成立 求 t 的取值范围 难度 4 4 已知函数 2 8 6ln f xxx g xxm I 求在区间上的最大值 f x 1t t h t II 是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点 m yf x yg x 若存在 求出的取值范围 若不存在 说明理由 m 分析 本小题主要考查函数的单调性 极值 最值等基本知识 考查运用导数研究函数性质的 方法 考查运算能力 考查函数与方程 数形结合 分类与整合等数学思想方法和分析问题 解决问题的能力 满分 12 分 解 I 22 8 4 16 f xxxx 当即时 在上单调递增 14 t 3t f x 1t t 22 1 1 8 1 67 h tf ttttt 当即时 41 tt 34t 4 16 h tf 当时 在上单调递减 4t f x 1t t 2 8 h tf ttt 综上 2 2 67 3 16 34 8 4 ttt h tt ttt 用心 爱心 专心3 II 函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点 即函数 yf x yg x 的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点 xg xf x x 2 2 86ln 62862 1 3 28 0 xxxxm xxxx xxx xxx 当时 是增函数 0 1 x 0 xx 当时 是减函数 0 3 x 0 xx 当时 是增函数 3 x 0 xx 当或时 1 x 3x 0 x 1 7 3 6ln3 15 xmxm 最大值最小值 当充分接近 0 时 当充分大时 x 0 x x 0 x 要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点 必须且只须 x x 即 70 6ln3 150 xm xm 最大值 最小值 7156ln3 m 所以存在实数 使得函数与的图象有且只有三个不同的交点 的m yf x yg x m 取值范围为 难度 7 156ln3 5 5 已知函数在点x0处取得极大值 5 其导cxbxaxxf 23 函数的图象经过点 1 0 2 0 如图所示 求 xfy I x0的值 II a b c的值 难度 6 6 已知函数 其中 2 2 21 1 axa f xx x Ra R 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yf x 2 2 f 当时 求函数的单调区间与极值 0a f x 分析 本小题考查导数的几何意义 两个函数的和 差 积 商的导数 利用导数研究函数的 单调性和极值等基础知识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 解 当时 1a 2 2 1 x f x x 4 2 5 f 又 22 2222 2 1 2222 1 1 xxxx fx xx 6 2 25 f 所以 曲线在点处的切线方程为 yf x 2 2 f 46 2 525 yx 即 62320 xy 解 22 2222 2 1 2 21 2 1 1 1 a xxaxaxa ax fx xx 由于 以下分两种情况讨论 0a 1 当时 令 得到 当变化时 的变化0a 0fx 1 1 x a 2 xa x fxf x 情况如下表 x 1 a 1 a 1 a a a a fx 0 0 f x 极小值A极大值A 所以在区间 内为减函数 在区间内为增函数 f x 1 a a 1 a a 函数在处取得极小值 且 f x 1 1 x a 1 f a 2 1 fa a 函数在处取得极大值 且 f x 2 1 x a f a 1f a 2 当时 令 得到 当变化时 的变化情0a 0fx 12 1 xax a x fxf x 况如下表 用心 爱心 专心4 x a a 1 a a 1 a 1 a fx 0 0 f x A 极大值A极小值A 所以在区间 内为增函数 在区间内为减函数 f x a 1 a 1 a a 函数在处取得极大值 且 f x 1 xa f a 1f a 函数在处取得极小值 且 f x 2 1 x a 1 f a 2 1 fa a 已知函数的图象在点 M 1 f x 处的切线方程为x 2y 5 0 bx ax xf 2 6 求函数 y f x 的解析式 求函数 y f x 的单调区间 解 1 由函数f x 的图象在点 M 1f 1 处的 切线方程为x 2y 5 0 知 6 2 2 1 1 2 1 05 1 21 22 2 bx axxbxa xf fff 即 难度 323 323 323 323 3 62 0 323323 0 323 323 323 323 06122 3 6122 3 62 1 01 3 2 2 21 2 22 2 2 内是减函数在 内是增函数在内是减函数在所以 时当 时或当 解得令 是所以所求的函数解析式 舍去解得 x x xf xfx xfxx xxxx x xx xfII x x xf bbba 设函数 曲线在点处的切线方程为 1 f xaxa bZ xb yf x 2 2 f3y 1 求的解析式 yf x 2 证明 曲线的图像是一个中心对称图形 并求其对称中心 yf x 3 证明 曲线上任一点处的切线与直线和直线所围三角形的面积 yf x 1x yx 为定值 并求出此定值 解析解析 2 1 fxa xb 于是解得或因 故 2 1 23 2 1 0 a b a xb 1 1 a b 9 4 8 3 a b a bZ 1 1 f xx x II 证明 已知函数都是奇函数 12 1 yx y x 所以函数也是奇函数 其图像是以原点为中心的中心对称图形 1 g xx x 而函数 1 11 1 f xx x 可知 函数的图像按向量a a 1 1 平移 即得到函数的图象 故函数的图 g x yf x 像是以点 1 1 为中心的中心对称图形 III 证明 在曲线上任一点 00 0 1 1 x x x 由知 过此点的切线方程为 0 2 0 1 1 1 fx x 2 00 0 2 00 11 1 1 1 xx yxx xx 用心 爱心 专心5 令得 切线与直线交点为 1x 0 0 1 1 x y x 1x 0 0 1 1 1 x x 令得 切线与直线交点为 yx 0 21yx yx 00 21 21 xx 直线与直线的交点为 1 1 1x yx 从而所围三角形的面积为 0 00 00 1112 1 21 1 1 22 2 2121 x xx xx 所以 所围三角形的面积为定值 2 点评点评 本题是函数与导数的综合题 主要考查导数的应用 以及函数的有关性质 以及 函数与方程的思想 以及分析问题与解决问题的能力 难度 7 7 已知求函数的单调区间 难度 Ra ax exxf 2 解 函数f x 的导数 2 2 22axaxax eaxxeaxxexf I 当a 0 时 若x 0 则0 则 0 x f x f 所以当a 0 时 函数f x 在区间 0 内为减函数 在区间 0 内为增函数 II 当 0 2 02 0 2 x a xaxxa或解得由时 由 0 2 02 2 x a axx解得 所以 当a 0 时 函数f x 在区间 内为增函数 在区间 0 内为 a 2 a 2 减函数 在区间 0 内为增函数 III 当a0 解得 0 x a 2 由 2x ax2 0 解得x a 2 所以当a 0 时 函数f x 在区间 0 内为减函数 在区间 0 内为增函 a 2 数 在区间 内为减函数 a 2 已知函数 32 1f xxaxx a R 讨论函数的单调区间 f x 设函数在区间内是减函数 求的取值范围 f x 21 33 a 解 1 求导 32 1f xxaxx 2 321fxxax 当时 在上递增 2 3a 0 0fx f xR 当 求得两根为 2 3a 0fx 2 3 3 aa x 即在递增 递减 f x 2 3 3 aa 22 33 33 aaaa 递增 2 3 3 aa 2 且解得 难度 2 2 32 33 31 33 aa aa 2 3a 7 4 a 8 8 设a为实数 函数 22 x f xexa x R 求 f x的单调区间与极值 求证 当ln2 1a 且0 x 时 2 21 x exax 难度 用心 爱心 专心6 设函数f x x 1 ln x 1 若对所有的x 0 都有f x ax成立 求实数a的取值范 围 解法一 令g x x 1 ln x 1 ax 对函数g x 求导数 g x ln x 1 1 a 令g x 0 解得x ea 1 1 5 分 i 当a 1 时 对所有x 0 g x 0 所以g x 在 0 上是增函数 又g 0 0 所以对x 0 都有g x g 0 即当a 1 时 对于所有x 0 都有 f x ax 9 分 ii 当a 1 时 对于 0 x ea 1 1 g x 0 所以g x 在 0 ea 1 1 是减函数 又g 0 0 所以对 0 x ea 1 1 都有g x g 0 即当a 1 时 不是对所有的x 0 都有f x ax成立 综上 a的取值范围是 1 12 分 解法二 令g x x 1 ln x 1 ax 于是不等式f x ax成立即为g x g 0 成立 3 分 对函数g x 求导数 g x ln x 1 1 a 令g x 0 解得x ea 1 1 6 分 当x ea 1 1 时 g x 0 g x 为增函数 当 1 x ea 1 1 g x 0 g x 为减函数 9 分 所以要对所有x 0 都有g x g 0 充要条件为ea 1 1 0 由此得a 1 即a的取值范围是 1 9 9 已知函数 的导函数是 对任意两个不相等 2 2 ln0f xxaxx x f x fx 的正数 证明 12 x x 当时 0a 12 12 22 f xf xxx f 当时 4a 1212 fxfxxx 分析 本小题主要考查导数的基本性质和应用 函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析 推理论证的能力 满分 14 分 证明 由 2 2 lnf xxax x 得 1222 1212 12 111 lnln 222 f xf xa xxxx xx 22 12 1212 12 1 ln 2 xx xxax x x x 2 121212 12 4 ln 222 xxxxxx fa xx 而 2 2 2222 12 121212 11 2 242 xx xxxxx x 又 2 22 12121212 24xxxxx xx x 12 1212 4xx x xxx 12 12 2 xx x x 12 12 lnln 2 xx x x 0a 12 12 lnln 2 xx ax xa 由 得 2 22 1212 121212 1212 14 lnln 22 xxxx xxax xax x x xxx 即 12 12 22 f xf xxx f 证法一 由 得 2 2 lnf xxax x 2 2 2 a fxx xx 用心 爱心 专心7 1212 22 1122 22 22 aa fxfxxx xxxx 12 12 22 1212 2 2 xxa xx x xx x 12 1212 22 1212 2 21 xxa fxfxxx x xx x 下面证明对任意两个不相等的正数 有恒成立 12 x x 12 22 1212 2 21 xxa x xx x 即证成立 12 12 12 2 xx ax x x x 12 1212 12 12 24xx x xx x x xx x 设 则 2 12 4 0tx x u xtt t 2 4 2uxt t 令得 列表如下 0ux 3 2t t 3 0 2 3 2 3 2 u t 0 u tA 极小值 3 3 4A 33 3 41084u ta 12 12 12 2 xx x xa x x 对任意两个不相等的正数 恒有 12 x x 1212 fxfxxx 证法二 由 得 2 2 lnf xxax x 2 2 2 a fxx xx 1212 22 1122 22 22 aa fxfxxx xxxx 12 12 22 1212 2 2 xxa xx x xx x 是两个不相等的正数 12 x x 12 322 121212 12 24 22 xxaa x xx xx x x x 3 12 12 44 2 x x x x 设 12 1 t x x 32 2440u tttt 则 列表 432u ttt t 2 0 3 2 3 2 3 u t 0 u tA极小值 38 27 A 即 38 1 27 u 12 22 1212 2 21 xxa x xx x 12 121212 22 1212 2 2 xxa fxfxxxxx x xx x 即对任意两个不相等的正数 恒有 12 x x 1212 fxfxxx 已知函数f x ln 1 x x g x xlnx 求函数f x 的最大值 设 0 a b 证明 0 g a g b 2g b a ln2 2 ba 分析 本小题主要考查导数的基本性质和应用 对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合 推理论证的能力 满分 14 分 解 函数的定义域为 xf 1 令 1 1 1