理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)

O R r A B 习题 9 2 图 习题 20 3 图 Ox F Oy F gm gm2 D d 习题 20 3 解图 第第 9 章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 9 1 计算下列情形下系统的动量矩 1 圆盘以 的角速度绕 O 轴转动 质量为 m 的小球 M 可沿圆盘的径向凹槽运动 图示瞬时小 球以相对于圆盘的速度 vr运动到 OM s 处 图 a 求小球对 O 点的动量矩 2 图示质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动 轮心为A 质心为 C 且 AC e 轮子半 径为 R 对轮心 A 的转动惯量为 JA C A B 三点在同一铅垂线上 图 b 1 当轮子只滚不滑 时 若 vA已知 求轮子的动量和对B 点的动量矩 2 当轮子又滚又滑时 若vA 已知 求 轮子的动量和对 B 点的动量矩 解 解 1 逆 2 smLO 2 1 逆 1 R e mvevmmvp AAC R v meJ R eR mvJeRmvL A AACCB 2 2 2 evmmvp AC 2 meRJveRmmeJeRevmJeRmvL AAAACCB 9 2 图示系统中 已知鼓轮以 的角速度绕 O 轴转动 其大 小半径分别为 R r 对 O 轴的转动惯量为 JO 物块 A B 的质量分别为 mA和 mB 试求系 统对 O 轴的动量矩 解 解 22 rmRmJL BAOO 9 3 图示匀质细杆 OA 和 EC 的质量分别为 50kg 和 100kg 并在点 A 焊成一体 若此结构在图示位 置由静止状态释放 计算刚释放时 杆的角加速度及铰链 O 处的约束力 不计铰链摩擦 解 解 令 m mOA 50 kg 则 mEC 2m 质心 D 位置 设 l 1 m m 6 5 6 5 lODd 刚体作定轴转动 初瞬时 0 lmg l mgJO 2 2 2222 32 2 2 12 1 3 1 mlmllmmlJO 即mglml 2 5 3 2 2 rad s17 8 6 5 g l glaD 36 25 6 5 t 由质心运动定理 OyD Fmgam 33 t N 449 12 11 36 25 33 mggmmgFOy 0 0 n D a0 Ox F a O M vr A B C R vA b 习题 9 1 图 J2 r1 M J1 R m r2 a J2 r1 M J1 R m r2 b 习题 9 5 解图 J2 r1 M J1 R m r2 习题 9 5 图 9 4 卷扬机机构如图所示 可绕固 定轴转动的轮 B C 其半径分别为 R 和 r 对自身转轴 的转动惯量分别为 J1和 J2 被提升重物 A 的质量为 m 作用于轮 C 的主动转矩 为 M 求重物 A 的加速度 解 解 对轮 C rFMJ CT2 对轮 B 和重物 A mgRRFmRJ T 2 1 运动学关系 Rra C 222 2 2 1 2 rmRRJrJ rRmgrM a 9 5 图示电动绞车提升 一质量为 m 的物体 在其主动轴上作用 一矩为 M 的主 动力偶 已知 主动轴和从动轴连同安装在这 两轴上的齿 轮以及其它附属零件对各 自转动轴的转动 惯量分别为 J1和 J2 传动比 r2 r1 i 吊索缠绕在鼓轮上 此轮半径为 R 设轴承的摩擦和吊索 的质量忽略不计 求重 物的加速度 解 解 对轮 1 图 a 111 FrMJ 对轮 2 图 b mgRrFmRJ 22 2 2 2211 rr 21 i 2 1 2 2 2 iJmRJ mgRMi 重物的加速度 2 1 2 2 2 iJmRJ RmgRMi Ra 9 6 均质细杆长 2l 质量为 m 放在两个支承 A 和 B 上 如图所示 杆的质心C 到两支承 的距离相等 即 AC CB e 现在突然移去支承 B 求在刚移去支承 B 瞬时支承 A 上压力的改变 量 FA 解 解 mgeJA mgememl 3 1 22 AC Fmgma 22 2 3 3 el ge eaC 22 2 3 3 el mge mgFA mg el lemg el mge F mg F AA 3 2 3 23 3 2 22 22 22 2 A B C 习题 9 6 图 M B R r A C 习题 9 4 图 F FN FN F mg A B C 习题 9 6 解图 mg FA 习题 9 7 图 习题 9 8 图 d B A C gm l F b 习题 9 7 解图 A gm C B rd a 9 7 为了求得连杆的转动惯量 用一细圆杆穿过十字头销 A 处的衬套管 并使连杆绕这细杆的水平 轴线摆动 如图 a b 所示 摆动 100 次所用的时间为 100s 另外 如图 c 所示 为了求得连杆重心到悬 挂轴的距离 AC d 将连杆水平放置 在点 A 处用杆悬挂 点 B 放置于台秤上 台秤的读数 F 490N 已知连杆质量为 80kg A 与 B 间的距离 l 1m 十字头销的半径 r 40mm 试求连杆对于通过质心 C 并垂 直于图面的轴的转动惯量 JC 解 解 图 a 时 1 rdmgJA 0 rdmgJA 0 A J rdmg A J rdmg n 1 2 2 n rdmg J T A 2 2 rdmJJ CA 由图 b m0 A M625 0 8 5 mg Fl d 代入 1 2 注意到周期 得s2 T 2 2 2 2 2 mkg45 17 665 0 8 9 665 0 80 rd g rdmrdm rdmg JC 9 8 图示圆柱体 A 的质量为 m 在其中部绕以细绳 绳的一端 B 固定 圆柱体沿绳子解开的而降 落 其初速为零 求当圆柱体的轴降落了高度 h 时圆柱体中心 A 的速度 和绳 子的拉力 FT 解 解 法 1 图 a 1 T FmgmaA 2 rF JA T 3 r aA 2 2 1 mrJA 解得 拉 mgF 3 1 T 常量 4 gaA 3 2 习题 9 10 图 O R r F 习题 9 9 图 A A v A ar C T F gm a 由运动学 ghhav AA 3 3 2 2 法 2 由于动瞬心与轮的质心距离保持不变 故可对瞬心 C 用 动量矩定理 5 mgrJC 22 2 3 mrmrJJ AC 又 r aA 同式 4 gaA 3 2 再由 T FmgmaA 得 拉 mgF 3 1 T ghhav AA 3 3 2 2 9 9 鼓轮如图 其外 内半径分别为R 和 r 质量为 m 对质心轴 O 的回转半径为 且 2 R r 鼓轮在拉力 F 的作用下沿倾角为 的斜面往上纯滚动 F 力与斜面平行 不计滚动摩阻 试求质心 O 的加速度 解 解 鼓轮作平面运动 轴 O 沿斜面作直线运动 1 sin f mgFFmaO 2 RFFrm f 2 纯滚 3 RaO 代入 2 4 RFFr R a m O f 2 解 1 4 联立 消去 Ff 得 sin 22 2 Rm mgRrRFR aO 9 10 图示重物 A 的质量为 m 当其下降时 借无重且不可伸长的绳使滚子 C 沿水平轨道滚动而不 滑动 绳子跨过不计质量的定滑轮 D 并绕在滑轮 B 上 滑轮 B 与滚子 C 固结为一体 已知滑轮 B 的半径 为 R 滚子 C 的半径为 r 二者总质量为 m 其对与图面垂直的轴 O 的回转半径为 求 重物 A 的加 速度 O R r F Ff FN mg 习题 9 11 图 D A B C 习题 9 12 图 r D N F F a gm M Mf a 解 解 法 1 对轮 1 FrTRJO 2 TFam O 对 A 3 TmgmaA 又 t HHA aaa 绳 以 O 为基点 tnnt HOHOOHH aaaaa tt rRrRaaa OHOH 4 rRaA 由上四式联立 得 注意到 2 mJO 1 2 22222 2 rR r m m g rRmrm rRmg aA 法 2 对瞬心 E 用动量矩定理 本题质心瞬心之距离为常数 rRTJE TmgmaA 又 rRaA 222 rmrmJJ OE 可解得 1 2 22 rR r m m g aA 9 11 图示匀质圆柱体质量为 m 半径为 r 在力偶作用下沿水平面作纯滚动 若力偶的力偶矩 M 为常数 滚动阻碍系数为 求圆柱中心 O 的加速度及其与地面的静滑动摩擦力 解 解 1 f MMJD Nf FM mgF N 2 2 3 mrJD r a 代入 1 得 mr mgM a 3 2 又 Fma r mgM F 3 2 9 12 跨过定滑轮 D 的细绳 一端缠绕在均质圆柱体A 上 另一端系在光滑水平面上的物体 B 上 如图所示 已知圆柱A 的半径为 r 质量为 m1 物块 B 的质量为 m2 试求物块 B 和圆柱质 心 C 的加速度以及绳索的拉力 滑轮D 和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计 解 解 对轮 C rFJC T T11 Fgmam C 对物块 B T2 Fam B 且 raa BC 2 1 2 1 rmJC 解得 g mm m aB 21 1 3 g mm mm aC 21 21 3 2 t HO a O H O a n H a n HO a t H a b gm F 绳H a H T gm aO T a aA FN E m g N F a gm 1 F O a x A F C y C x A C B B F gm O b A C P gm B FB A F a g mm mm F 21 21 T 3 9 13 图示匀质圆轮的质量为 m 半径为 r 静止地放置在水平胶带上 若在胶带上作用拉力 F 并 使胶带与轮子间产生相对滑动 设轮子和胶带间的动滑动摩擦因数为 f 试求轮子中心 O 经过距离 s 所需 的时间和此时轮子的角速度 解 解 图 a 轮 O 平面运动 1 1 FmaO 2 mgF N 0 3 rFJO 1 由 2 mgF N 动滑动时 4 fmgfFF N1 4 代入 1 得 5 fgaO 4 代入 3 得 2 2 1 mrJO 6 r fg2 由 5 代入下式 2 2 1 tas O 得 fg s t 2 逆 fgs r t2 2 9 14 图示匀质细杆 AB 质量为 m 长为 l 在图示位置由静止开始运动 若水平和铅垂面的摩擦均 略去不计 试求杆的初始角加速度 解 解 法 1 P 为 AB 杆瞬心 图 a 2 l PC sin 2 l mgJP 2 3 1 mlJP 1 sin 2 3 l g 法 2 AB 杆平面运动 2 BC Fxm 3 mgFym AC 4 cos 2 sin 2 l F l FJ BAC sin 2 l xC cos 2 l yC cos 2 l xC sin 2 l yC 5 cos 2 cos 2 sin 2 2 lll xC 6 sin 2 sin 2 cos 2 2 lll yC 初瞬时 0 7 将 5 6 7 代入 2 3 4 得 习题 9 13 图 习题 9 14 图 IC F IC F C C a 8 B Fm l cos 2 9 mgFm l A sin 2 10 cos 2 sin 212 1 2 BA F l F l ml 解得 与 1 式相同 l g 2 sin3 9 15 圆轮 A 的半径为 R 与其固连的 轮轴半径为 r 两者的重力共为 W 对质心 C 的回转 半径为 缠绕在轮轴上的软 绳水平地固定于点 D 均质平板 BE 的重力为 Q 可在光滑水平面上 滑动 板与圆轮间无相对滑动 若在平板上作用一水平力 F 试求平板 BE 的加速度 解 解 对轮 C rFRFJC Tf 2 g W JC fT FFa g W C raC 对板 BE f FFa g Q BE rRaBE 求得 222 2 rWrRQ grRF aBE 9 16 图示水枪中水平管长为 2l 横截面面积为 A 可绕铅直轴 z 转动 水从铅直管流入 以相对 速度 r从水平管喷出 设水的密度为 试求水枪的角速度为时 流体作用在水枪上的转矩 z M 解 解 水平管上各点科氏加速度相同 rC 2v a rC 2 v a 科氏惯性力均布 其合力 如图 lAvalAF rCIC 2 r 2 IC 2 2 2vAl l FMz 9 17 图示匀质细长杆 AB 质量为 m 长度为 l 在铅垂位置由静止释放 借 A 端的水滑轮沿倾斜 角为的轨道滑下 不计摩擦和小滑轮的质量 试求刚释放时点 A 的加速度 解 解 图 a 初瞬时 以 A 为基点 则0 AB CA aaaaa ACyCxC F A B D E C R r 习题 9 15 图 习题 9 17 图 习题 9 16 图 F A B D E C R r 习题 9 15 解图 Ff FN FT W C CA a Cy a gm A a A A a N F Cx a B a 1 Cy a D a D A N F B Cx a gm a y t F P x a 即 1 cos 2 cos l aaaa ACAACx 2 sin 2 sin l aa CACy 由平面运动微分方程 sinmgmaCx 3 singaCx 4 N cosFmgmaCy sin 2 N l FJC 即 5 sin 212 1 N 2 l Fml 解 2 4 5 联立 得 6 sin31 2sin3 2 l g 由 1 3 得 sincos 2 g l aA 6 代入 得 gaA 2 sin31 sin4 9 18 匀质细长杆 AB 质量为 m 长为 l CD d 与铅垂墙间的夹角为 D 棱是光滑的 在 图示位置将杆突然释放 试求刚释放时 质心 C 的加速度和 D 处的约束力 解 解 初始静止 杆开始运动瞬时 必沿支承处 D v 切向 即沿 AB 方向 所以此时沿 AB 方向 如图 D a a 以 D 为基点 由 tn CDCDDCyCx aaaaa 1 1 t daa CDCx 由 AB 作平面运动 2 N sinFmgmaCx 3 cosmgmaCy 4 dFml N1 2 12 1 由 3 cosgaCy 解 1 2 4 联立 22 2 12 sin12 dl gd aCx 22 2 N 12 sin dl mgl F 9 19 如图所示 足球重力的大小为 4 45N 以大小 6 1m s 方向与水平线夹 40 角的速度向球员飞 1 v 0 来 形成头球 球员以头击球后 球的速度大小为 9 14m s 并与水平线夹角为 20 角 若球 头碰撞 1 v 0 时间为 0 15s 试求足球作用在运动员头上的平均力的大小与方向 解解 击球前后球的动量改变为 1 vvp 1 m 40sin1 6 20sin14 9 40cos1 6 20cos14 9 45 4 oooo g p 0 454 13 26 0 795 6 02 0 361 N s 设与水平夹角p 06 0 02 6 361 0 tan x y p p 习题 9 18 图 习题 9 19 图 C v 45 A 碰末 b O v 碰前 a 转到最高处 A 0 0 C v C c h C I d a r v b o 431 3 N s03 6 22 yx ppp N 2 40 15 0 03 6 t p F 人头受力 F 与反向 即向左下方 p 9 20 边长为 a 的方形木箱在无摩擦的地板上滑动 并与一小障碍 A 相碰撞 碰撞后绕 A 翻转 试 求木箱能完成上述运动的最小初速 木箱碰撞后其质心的瞬时速度与瞬时角速度 0 v C v 解解 碰前方箱以初速度平移 碰后箱绕 A 点转动直到翻倒 碰撞中箱只在 A 点受冲 0 v 量 重力等其它有限力的冲量可忽略不计 因此碰撞前后箱对 A 点的动量矩守恒 设箱的质量为 m