（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第3课时 圆的方程随堂检测（含解析）

1 江苏专用 江苏专用 20132013 年高考数学总复习年高考数学总复习 第八章第第八章第 3 3 课时课时 圆的方程圆的方程 随堂检测 含解析 随堂检测 含解析 1 2012 徐州质检 经过原点 圆心在x轴的负半轴上 半径等于的圆的标准方程 3 是 答案 x 2 y2 3 3 2 已知两点A 2 0 B 0 2 点C是圆x2 y2 2x 0 上的任意一点 则 ABC的 面积最小值为 解析 直线AB方程为x y 2 0 圆的方程为 x 1 2 y2 1 圆心为 1 0 圆心到AB距离d 3 2 3 2 2 C到AB距离最小值为 1 又AB 2 3 2 22 ABC面积最小值为 2 3 1 22 3 2 2 1 2 答案 3 2 3 已知点Q 2 0 圆C x2 y2 1 若动点M到圆C的切线长与MQ的比等于 2 求点 M的轨迹方程 解 设M x y 则M到圆C的切线长为 又MQ x2 y2 1 x 2 2 y2 2 化简为x2 y2 x 0 x2 y2 1 x 2 2 y2 16 3 17 3 4 已知平面区域Error 被圆C及其内部所覆盖 1 当圆C的面积最小时 求圆C的方程 2 若斜率为 1 的直线l与 1 中的圆C交于不同的两点A B 且满足CA CB 求直线 l的方程 解 1 由题意知此平面区域表示的是以O 0 0 P 4 0 Q 0 2 构成的三角形及其 内部 且 OPQ是直角三角形 覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆 圆心是 2 1 半径是 5 圆C的方程是 x 2 2 y 1 2 5 2 设直线l的方程是 y x b CA CB 圆心C到直线l的距离是 10 2 即 2 1 b 12 12 10 2 解之得 b 1 5 直线l的方程是 y x 1 5 5 如果实数x y满足x2 y2 4x 1 0 求 1 的最大值 y x 2 y x的最小值 3 x2 y2的最值 解 2 1 设 k 得y kx 所以k为过原点的直线的斜率 y x 又x2 y2 4x 1 0 表示以 2 0 为圆心 为半径的圆 如图所示 3 当直线y kx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大 此时 CP OC 2 3 Rt POC中 POC 60 k tan60 3 的最大值为 y x3 2 设y x b 即为直线y x b b为直线在y轴上的截距 当直线y x b与圆 有公共点时 当且仅当直线与圆相切 且切点在第四象限 b最小 此时 圆心 2 0 到直 线的距离为 即 3 2 b 12 123 解得b 2 或b 2 舍 66 y x最小值为 62 3 法一 表示圆上一点到原点距离 其最大值为 2 最小值为 2 x2 y233 x2 y2 max 2 2 7 4 x2 y2 min 2 2 7 4 3333 法二 由x2 y2 4x 1 0 得 x 2 2 y2 3 设Error 为参数 则x2 y2 2 cos 2 sin 2 7 4cos 333 当 cos 1 时 x2 y2 min 7 4 3 当 cos 1 时 x2 y2 max 7 4 3 A 级 双基巩固 一 填空题 1 过点A 1 1 B 1 1 且圆心在直线x y 2 0 上的圆的方程是 解析 设圆心C的坐标为 a b 半径为r 圆心C在直线x y 2 0 上 b 2 a Error 2 Error 2 a 1 2 2 a 1 2 a 1 2 2 a 1 2 a 1 b 1 r 2 圆的方程为 x 1 2 y 1 2 4 答案 x 1 2 y 1 2 4 2 已知点A 1 1 B 1 1 则以线段AB为直径的圆的方程是 解析 圆心坐标为 0 0 半径r 1 2 1 1 2 1 1 22 圆的方程为x2 y2 2 答案 x2 y2 2 3 若不同四点A 5 0 B 1 0 C 3 3 D a 3 在同一圆上 则实数a的值为 解析 设经过A B C三点的圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0 由 题意可得 Error 3 解得Error A B C三点确定的圆的方程为x2 y2 4x y 5 0 25 3 D a 3 也在此圆上 a2 9 4a 25 5 0 a 7 或a 3 舍去 答案 7 4 已知圆C1 x 1 2 y 1 2 1 圆C2与圆C1关于直线x y 1 0 对称 则圆 C2的方程为 解析 圆C1 x 1 2 y 1 2 1 的圆心为 1 1 圆C2的圆心设为 a b 圆C1与圆C2关于直线x y 1 0 对称 Error 解得Error 又圆C2的半径为 1 圆C2的方程为 x 2 2 y 2 2 1 答案 x 2 2 y 2 2 1 5 2012 南京质检 已知点M 1 0 是圆C x2 y2 4x 2y 0 内的一点那么过点M 的最短弦所在直线的方程是 解析 过点M的最短的弦与CM垂直 圆C x2 y2 4x 2y 0 的圆心为C 2 1 kCM 1 最短弦所在直线的方程为y 0 1 x 1 即x y 1 0 1 0 2 1 答案 x y 1 0 6 圆x2 y2 4x 4y 10 0 上的点到直线x y 14 0 的最大距离与最小距离的差 是 解析 所给圆的圆心坐标为 2 2 半径r 3 2 圆心到直线x y 14 0 的距离d 5 2 2 14 22 所求的最大距离与最小距离的差 d r d r 2r 6 2 答案 6 2 7 点P 0 2 到圆C x 1 2 y2 1 的圆心的距离为 如果A是圆C上一个 动点 3 那么点B的轨迹方程为 AB AP 解析 P 0 2 到圆C x 1 2 y2 1 的圆心的距离d 设B x y A x0 y0 5 x x0 y y0 x0 2 y0 AB AP 3 Error Error AB AP 2 2 1 x 2 1 6 y 2 即 x 2 2 y 6 2 4 答案 x 2 2 y 6 2 4 5 8 若圆x2 y2 4x 4y 10 0 上至少有三个不同点到直线l ax by 0 的距离为 2 则直线l的倾斜角的取值范围是 2 解析 圆方程即 x 2 2 y 2 2 18 它的圆心为 2 2 半径r 3 2 由条件得圆心到直线l的距离d 3 2 2a 2b a2 b222 得 2 2 3 a b3 tan 2 tan 2 123 5 123 直线l倾斜角的取值范围是 12 5 12 答案 12 5 12 4 二 解答题 9 已知方程x2 y2 2 t 3 x 2 1 4t2 y 16t4 9 0 t R R 的图形是圆 1 求t的取值范围 2 求其中面积最大的圆的半径 3 若点P 3 4t2 恒在所给圆内 求t的取值范围 解 1 方程即 x t 3 2 y 1 4t2 2 t 3 2 1 4t2 2 16t4 9 r2 7t2 6t 1 0 t 1 1 7 故t的取值范围是 1 7 1 2 r 7t2 6t 1 7 t 3 7 2 16 7 当t 时 rmax 3 7 1 7 1 4 7 7 3 当且仅当 32 4t2 2 2 t 3 3 2 1 4t2 4t2 16t4 9 0 时 点P在圆内 8t2 6t 0 即 0 t 3 4 故t的取值范围是 0 3 4 10 设平面直角坐标系xOy中 设二次函数f x x2 2x b x R R 的图象与两坐标 轴有三个交点 经过这三个交点的圆记为C 1 求实数b的取值范围 2 求圆C的方程 3 问圆C是否经过某定点 其坐标与b无关 请证明你的结论 解 1 令x 0 得抛物线与y轴的交点是 0 b 令f x 0 得x2 2x b 0 由题意b 0 且 0 解得b 1 且b 0 故b的取值范围为 0 0 1 2 设所求圆的一般方程为x2 y2 Dx Ey F 0 令y 0 得x2 Dx F 0 这与x2 2x b 0 是同一个方程 故D 2 F b 令x 0 得y2 Ey b 0 此方程有一个根为b 代入E b 1 所以圆C的方程为x2 y2 2x b 1 y b 0 3 圆C必过定点 0 1 2 1 证明如下 将 0 1 代入圆C的方程 得左边 02 12 2 0 b 1 1 b 0 右 边 0 所以圆C必过定点 0 1 同理可证圆C必过定点 2 1 B 级 能力提升 一 填空题 1 已知在函数f x sin图象上 相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在 3 x R x2 y2 R2上 则f x 的最小正周期为 解析 x2 y2 R2 x R R 函数f x 的最小正周期为 2R 最大值点为 相邻的最小值点为 代入圆方程 得 R 2 3 R 2 3 R 2 T 4 答案 4 2 如果点P在平面区域 Error 上 点Q在曲线x2 y 2 2 1 那么 PQ 的最小值为 解析 5 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界 点P到Q的距离最小为到 0 2 的 最小值减去圆的半径 1 由图可知 PQ min 1 1 12 225 答案 1 5 3 已知AC BD为圆O x2 y2 4 的两条互相垂直的弦 垂足为M 1 则四边形 2 ABCD的面积的最大值为 解析 如图 取AC中点F BD中点E 则OE BD OF AC 又AC BD 设 OF d1 OE d2 四边形OEMF为矩形 d d OM2 3 2 12 2 又 AC 2 4 d2 1 BD 2 4 d2 2 S四边形ABCD AC BD 2 2 1 24 d2 14 d2 2 1 d2 2 4 d2 2 2 d2 2 3 2 2 25 4 又 0 d 3 当d 时 S四边形ABCD有最大值 5 2 22 2 3 2 答案 5 4 点P是圆x2 y2 8x 2y 13 0 上的动点 O是坐标原点 则线段OP的中点Q的 轨迹方程是 解析 圆的方程可化为 x 4 2 y 1 2 4 设P x0 y0 Q x y 则x y x0 2x y0 2y x0 2 y0 2 x0 y0 是圆上的动点 x0 4 2 y0 1 2 4 2x 4 2 2y 1 2 4 即 x 2 2 2 1 y 1 2 答案 x 2 2 2 1 y 1 2 二 解答题 5 2011 高考陕西卷 如图 设P是圆x2 y2 25 上的动点 点D是P在x轴上的正投 6 影 M为PD上一点 且 MD PD 4 5 1 当P在圆上运动时 求点M的轨迹C的方程 2 求过点 3 0 且斜率为 的直线被C所截线段的长度 4 5 解 1 设M的坐标为 x y P的坐标为 x0 y0 由已知得Error 又点P在圆上 x2 2 25 5 4y 即轨迹C的方程为 1 x2 25 y2 16 2 经过点 3 0 且斜率为 的直线方程为y x 3 4 5 4 5 由Error 得x2 3x 8 0 解之得x1 x2 3 41 2 3 41 2 线段AB长度为 AB x1 x2 2 y1 y2 2 1 16 25 x1 x2 2 41 5 6 已知椭圆E 1 的左焦点为F 左准线l与x轴的交点是圆C的圆心 圆 x2 8 y2 4 C恰好经过坐标原点O 设G是圆C上任意一点 1 求圆C的方程 2 若直线FG与直线l交于点T 且G为线段FT的中点 求直线FG被圆C所截得的 弦长 3 在平面上是否存在一点P 使得 若存在 求出点P坐标 若不存在 请说 GF GP 1 2 明理由 解 1 由椭圆E 1 x2 8 y2 4 得l x 4 C 4 0 F 2 0 又圆C过原点 所以圆C的方程为 x 4 2 y2 16 2 由题意 得G 3 yG 代入 x 4 2 y2 16 得yG 所以FG的斜率为 15 k FG的方程为y x 2 1515 所以C 4 0 到FG的距离为d 直线FG被圆C截得弦长为 2 7 15 2 16