高中数学 幂函数教案 苏教版必修1

用心 爱心 专心 幂函数幂函数 教学目标 使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型 掌握从特殊到一般地去进行类比 研究幂函数的性质 并注意与指数函数进行对比学习 教学重点 幂函数的定义和图象 教学难点 幂函数的图象 教学过程 复习引入 幂函数的定义 讲授新课 问题问题 1 1 我们知道 分数指数幂可以与根式相互转化 把下列各函数先化成根式形式 再指出它的定义域和奇偶性 利用计算机画出它们的图象 观察它们的图象 看有什么共 同点 1 y 2 1 x 2 y 3 1 x 3 y 3 2 x 4 y 3 4 x 思路 思路 先将各式化为根式形式 函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合 奇偶性直接利用定义进行判断 1 定义域为 0 2 3 4 定义域都是 R 其中 1 既不是奇函数也不是偶函数 2 是奇函数 3 4 是偶函数 它们的图象都 经过点 0 0 和 1 1 且在第一象限内函数单调递增 问题问题 2 2 仿照问题 1 研究下列函数的定义域和奇偶性 观察它们的图象看有什么共同 点 1 y x 1 2 y x 2 3 y 2 1 x 4 y 3 1 x 思路 思路 先将负指数幂化为正指数幂 再将分数指数幂化为根式 函数的定义域就是使 这些分式和根式有意义的实数x的集合 1 2 4 的定义域都是 x x 0 3 的 定义域是 0 1 4 是奇函数 2 是偶函数 3 既不是奇函数也不是偶 函数 它们的图象都经过点 1 1 且在第一象限内函数单调递减 并且以两坐标轴为渐 近线 总结 研究幂函数时 通常先将负指数幂化为正指数幂 再将分数指数幂化为根式 幂指数是负整数时化为分式 根据得到的分式或根式研究幂函数的性质 函数的定义域 就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合 奇偶性和单调性直接利用定义进行判 断 问题 1 和问题 2 中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势 有利于我们进行类 用心 爱心 专心 比 例 1 讨论函数y 5 2 x的定义域 值域 奇偶性 单调性 并画出图象的示意图 思路 思路 函数y 5 2 x是幂函数 1 要使y 5 2 x 有意义 x可以取任意实数 故函数定义域为 R 5 x2 2 x R x2 0 y 0 3 f x f x 函数y 5 2 x是偶函数 5 x 2 5 x2 4 n 0 幂函数y 5 2 x在 0 上单调递增 2 5 由于幂函数y 5 2 x是偶函数 幂函数y 5 2 x在 0 上单调递减 5 其图象如右图所示 例 2 比较下列各组中两个数的大小 1 1 5 5 3 1 7 5 3 2 0 71 5 0 61 5 3 1 2 3 2 1 25 3 2 解析 解析 1 考查幂函数y 5 3 x的单调性 在第一象限内函数单调递增 1 5 1 7 1 5 5 3 1 7 5 3 2 考查幂函数y 2 3 x的单调性 同理 0 71 5 0 61 5 3 先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数 1 2 3 2 1 2 3 2 1 25 3 2 1 25 3 2 又 1 2 3 2 1 25 3 2 1 2 3 2 1 25 3 2 点评 点评 比较幂形式的两个数的大小 一般的思路是 1 若能化为同指数 则用幂函数的单调性 2 若能化为同底数 则用指数函数的单调性 3 若既不能化为同指数 也不能化为同底数 则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比 较大小 例 3 求函数y 5 2 x 2x 5 1 4 x 32 值域 用心 爱心 专心 解析 解析 设t x 5 1 x 32 t 2 则y t2 2t 4 t 1 2 3 当t 1 时 ymin 3 函数y 5 2 x 2x 5 1 4 x 32 的值域为 3 点评 点评 这是复合函数求值域的问题 应