（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十篇 圆锥曲线与方程《第59讲双曲线》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十篇高考总复习江苏专用 理科 第十篇 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第第 5959 讲讲 双曲线双曲线 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 若双曲线 1 a 0 的离心率为 2 则a x2 a2 y2 3 解析 b c 2 a 1 3a2 3 c a a2 3 a 答案 1 2 若双曲线 1 a 0 b 0 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长 则该双曲线的 x2 a2 y2 b2 离心率为 解析 焦点 c 0 到渐近线y x的距离为 b 则由题意知b 2a 又 b a bc a2 b2 a2 b2 c2 5a2 c2 离心率e c a5 答案 5 3 已知双曲线 1 a 0 b 0 的一条渐近线方程是y x 它的一个焦点在抛物 x2 a2 y2 b23 线y2 24x的准线上 则双曲线的方程为 解析 由题意可知Error 解得Error 答案 1 x2 9 y2 27 4 2011 湖南卷改编 设双曲线 1 a 0 的渐近线方程为 3x 2y 0 则 x2 a2 y2 9 a 解析 双曲线 1 的渐近线方程为 3x ay 0 与已知方程比较系数得a 2 x2 a2 y2 9 答案 2 5 2011 青岛一检 设F1 F2分别是双曲线x2 1 的左 右焦点 若点P在双曲线上 y2 9 且 0 则 PF1 PF2 PF1 PF2 解析 如图 由 0 可得 又由向量加法的平行四边形法则可知 PF1QF2 PF1 PF2 PF1 PF2 为矩形 因为矩形的对角线相等 故有 2c 2 PF1 PF2 PQ 10 2 答案 2 10 6 2011 苏锡常镇调研 在平面直角坐标系xOy中 双曲线 8kx2 ky2 8 的渐近线方程 为 解析 由 8kx2 ky2 8 得其渐近线方程为 8kx2 ky2 0 k 0 即y2 8x2 所以y 2 x 2 答案 y 2x 2 7 2011 南京模拟 已知双曲线C 1 a 0 b 0 的右顶点 右焦点分别为 x2 a2 y2 b2 A F 它的左准线与x轴的交点为B 若A是线段BF的中点 则双曲线C的离心率为 解析 由题意知 B A a 0 F c 0 于是A是线段BF的中点 得 a2 c 0 c 2a c2 a2 2ac a2 c e2 2e 1 0 又e 1 所以e 1 2 答案 1 2 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 设双曲线 1 b a 0 的半焦距为c 直线l过 a 0 0 b 两点 且原点到 x2 a2 y2 b2 直线l的距离为c 求双曲线的离心率 3 4 解 由l过两点 a 0 0 b 得l的方程为bx ay ab 0 由原点到l的距离为c 得 c 3 4 ab a2 b2 3 4 将b 代入 平方后整理 得 c2 a2 16 2 16 3 0 a2 c2 a2 c2 令 x 则 16x2 16x 3 0 解得x 或x a2 c2 3 4 1 4 由e 得e 故e 或e 2 c a 1 x 2 3 3 3 0 a b e c a a2 b2 a 1 b2 a22 应舍去e 故所求离心率e 2 2 3 3 9 求适合下列条件的双曲线方程 1 焦点在y轴上 且过点 3 4 2 9 4 5 2 已知双曲线的渐近线方程为 2x 3y 0 且双曲线经过点P 2 6 解 1 设所求双曲线方程为 1 a 0 b 0 则因为点 3 4 在双 y2 a2 x2 b22 9 4 5 曲线上 所以点的坐标满足方程 由此得Error 令m n 则方程组化为Error 1 a2 1 b2 解方程组得Error a2 16 b2 9 所求双曲线方程为 1 y2 16 x2 9 2 由双曲线的渐近线方程y x 2 3 可设双曲线方程为 0 x2 9 y2 4 双曲线过点P 2 6 6 9 4 4 1 3 故所求双曲线方程为y2 x2 1 3 4 1 3 10 中心在原点 焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1 F2 且 F1F2 2 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4 离心率之比为 3 7 13 1 求这两曲线方程 2 若P为这两曲线的一个交点 求 cos F1PF2的值 解 1 由已知 得c 设椭圆长 短半轴长分别为a b 双曲线实半轴 虚半轴长 13 分别为m n 则Error 解得a 7 m 3 所以b 6 n 2 故椭圆方程为 1 双曲线方程为 1 x2 49 y2 36 x2 9 y2 4 2 不妨设F1 F2分别为左 右焦点 P是第一象限的一个交点 则PF1 PF2 14 PF1 PF2 6 4 所以PF1 10 PF2 4 又F1F2 2 13 故 cos F1PF2 PF2 1 PF2 2 F1F2 2 2PF1 PF2 102 42 2 13 2 2 10 4 4 5 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 天津卷改编 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点与抛物线 x2 a2 y2 b2 y2 2px p 0 的焦点的距离为 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 解析 由题意得Error Error c 双曲线的焦距 2c 2 a2 b255 答案 2 5 2 设F1 F2是双曲线x2 1 的两个焦点 P是双曲线上的一点 且 3PF1 4PF2 则 y2 24 PF1F2的面积是 解析 由Error 可解得Error 又由F1F2 10 可得 PF1F2是直角三角形 则S PF1F2 PF1 PF2 24 1 2 答案 24 3 如图 已知双曲线以长方形ABCD的顶点A B为左 右焦点 且双曲线过C D两顶 点 若AB 4 BC 3 则此双曲线的标准方程为 解析 设双曲线的标准方程为 1 a 0 b 0 由题意得B 2 0 C 2 3 x2 a2 y2 b2 Error 解得Error 双曲线的标准方程为x2 1 y2 3 5 答案 x2 1 y2 3 4 过双曲线C 1 a 0 b 0 的一个焦点作圆x2 y2 a2的两条切线 切点分 x2 a2 y2 b2 别为A B 若 AOB 120 O是坐标原点 则双曲线C的离心率为 解析 如图 由题知OA AF OB BF且 AOB 120 AOF 60 又OA a OF c cos 60 a c OA OF 1 2 2 c a 答案 2 5 2011 扬州调研 已知点P是双曲线x2 y2 2 上的点 该点关于实轴的对称点为Q 则 OP OQ 解析 设P x y 则Q x y 且x2 y2 2 所以 x y x y OP OQ x2 y2 2 答案 2 6 2011 山东省济宁模拟 已知抛物线y2 2px p 0 上一点M 1 m m 0 到其焦点的 距离为 5 双曲线 y2 1 的左顶点为A 若双曲线的一条渐近线与直线AM平行 则实 x2 a2 数a的值是 解析 由抛物线定义 得 1 5 所以p 8 从而M 1 4 又A a 0 于是由 p 2 4 1 a 得a 1 a 1 3 答案 1 3 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 已知双曲线的中心在原点 焦点F1 F2在坐标轴上 离心率为 且过点 2 4 10 6 1 求双曲线方程 2 若点M 3 m 在双曲线上 求证 0 MF1 MF2 3 求 F1MF2的面积 1 解 e 2 设双曲线方程为x2 y2 又 双曲线过 4 点 16 10 6 10 双曲线方程为x2 y2 6 2 证明 法一 由 1 知a b c 2 63 F1 2 0 F2 2 0 33 kMF1 kMF2 m 3 2 3 m 3 2 3 kMF1 kMF2 又点 3 m 在双曲线上 m2 9 12 m2 3 m2 3 kMF1 kMF2 1 MF1 MF2 0 MF1 MF2 法二 3 2 m 2 3 m MF1 3 MF2 3 3 2 3 2 m2 3 m2 MF1 MF2 33 M在双曲线上 9 m2 6 m2 3 0 MF1 MF2 3 解 在 F1MF2中 F1F2 4 且 m 33 S F1MF2 F1F2 m 4 6 1 2 1 233 8 2011 广东卷 设圆C与两圆 x 2 y2 4 x 2 y2 4 中的一个内切 另一 55 个外切 1 求圆C的圆心轨迹L的方程 2 已知点M F 0 且P为L上动点 求 MP FP 的最大值及此时点P的 3 5 5 4 5 5 5 坐标 解 1 设圆C的圆心坐标为 x y 半径为r 圆 x 2 y2 4 的圆心为F1 0 半径为 2 55 圆 x 2 y2 4 的圆心为F 0 半径为 2 55 由题意得Error 或Error CF1 CF 4 7 F1F 2 4 5 圆C的圆心轨迹是以F1 0 F 0 为焦点的双曲线 其方程为 y2 1 55 x2 4