高考数学复习点拨 指数运算中常用的方法与技巧

用心 爱心 专心 指数运算中常用的方法与技巧指数运算中常用的方法与技巧 在进行指数运算时 注意变式 变形 以及平方差 立方和 立方差公式的运用 适 当地进行整体代换 则可化繁为简 化难为易 下面举例说明 一 活用乘法公式一 活用乘法公式 例 例 化简 1 3 2111 3333 11 111 xxxx xxxx 解解 原式 121121111 333333333 2111 3333 1 1 1 1 1 1 111 xxxxxxxxx xxxx 121211 3 333333 11xxxxxxx 评注 评注 要观察式中各项的结构 发现分别是 立方差 和 立方和 于是1 1xx 各个击破 达到化简之目的 计算过程中利用乘法公式进行因式分解 往往是计算简便 二 化根式为分数指数幂二 化根式为分数指数幂 例 例 化简下列各式 333 3 a bb aa b 211 3 xyxyxyxy 分析分析 将根式化为指数幂的形式 再利用有利数指数幂的运算性质进行化简 解 解 原式 11 11 1 11 03 22 36 3 63 aba ba 原式 11111331 21 33222222 xyx yxyxyx yxy 11 0 22 1xyxyxy 评注 评注 化简根式 尤其是根式中又有分数指数幂的代数式 通常化根式为分数指数幂 然后根据运算法则运算 同时要注意结果形式的统一 三 整体代入三 整体代入 例 例 若 求 的值 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 分析分析 从已知条件中解出的值 然后再代入求值 这种方法不可取 而应设法从整a 体寻求结果与条件的联系 进而整体代入 解解 两边平方得 2 1 2 1 xx 11 2 22 9xx 1 xx 用心 爱心 专心 221 2 249247xxxx 将 两边立方得 18 2 1 2 1 xx 2 3 2 3 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 3 1 247 318 评注 评注 本题解法是求 的值后 整体代入 这是数学中的整体代换 33 22 xx 22 xx 的思想方法 在指数的有关运算中 若把已知的代数式视为一个整体 直接代入 常可避 免局 部运算的烦琐和困难 四 巧妙换元四 巧妙换元 例 例 化简 3 2 2 1 3 11 1 1 11 1 2 2 2 2 22 x x x x x x x x x x x x x x 分析分析 观察全式便能发现在此式中 形式上出现最多的是 而由乘法公式可知 x x 1 若令 原式的形式会变得相当简单 这种局部换元的2 1 1 2 2 2 x x x x 1 xa x 方法在代数变形中是十分有效的 解解 设 则 x x 1 a 原式 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 2 2 2 2 22 aa a a aa a aa aa a aa 1 22 aaaa x x 1 评注评注 通过换元 可把分数指数幂转化为整数指数幂 把复杂运算转化为简单熟悉的 运算 快速解决问题 五 利用性质五 利用性质 例 例 计算 21 1 32 2110 2 2 3427 1 1 2 111 222 11 1 aa aaa 解 解 原式 2211 3322 39643427 24272964 21 32 34273 297 29642 31616 用心 爱心 专心 原式 11111 111 22222 11111 22222 1 1 1 1 1 a aaa aaaaaa aaaaaa 11 22 0aa 评注 评注 在指数运算中 利用这个性质