高中数学 电子题库 第三章 §3.2知能演练轻松闯关 北师大版必修5

1 高中数学高中数学 电子题库电子题库 第三章第三章 3 2 3 2 知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关 北师大版必北师大版必 修修 5 5 1 2012 淮北质检 设点P 1 t 0 则 O为坐标原点 的最小值是 t 2 2 t OP A B 53 C 5 D 3 解析 选 A OP t 2 2 t 2 14 15 2 设函数f x 2x 1 x 0 则f x 1 x A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 解析 选 A x 0 f x 2x 1 1 x 2x 1 2 1 2 2x2 当且仅当 2x 2 2 即x 时 2 2 f x 有最大值 2 1 故选 A 2 3 斜边长为 1 的直角三角形面积最大为 解析 不妨设直角三角形两直角边为a b 斜边为c 1 则a2 b2 1 面积S ab 1 2 a2 b2 2ab ab 1 2 S 当且仅当a b 时 Smax 1 4 2 2 1 4 答案 1 4 4 已知 2a b 1 a 0 b 0 则 的最小值是 1 a 1 b 解析 2a b 3 1 a 1 b 1 a 1 b b a 2a b a 0 b 0 2 3 2 当且仅当Error 即a b 1 时 b a 2a b2 1 a 1 b2 2 2 22 等号成立 答案 3 2 2 A 级 基础达标 1 函数y 3x2 的最小值是 6 x2 1 A 3 3 B 3 2 C 6 D 6 3 22 2 解析 选 D y 3 x2 3 x2 1 1 3 2 1 6 3 2 x2 1 2 x2 122 2 2012 亳州检测 下列不等式的证明过程正确的是 A 若a b R 则 2 2 b a a b b a a b B 若a0 即ab 0 时才能成立 而a b R 故 A 不正确 对于 b a B a a 因为 a 4 所以a 4 故 B 错误 对于 4 a 4 a 4 a 4 a C 当a b 0 时 lga lgb不能确定一定是正数 不一定有 lga lgb 2 故 C 错误 对于 D a 0 时 2a 0 2 a 0 所以 2a 2 a 2 lga lgb 即 2a 2 a 2 故 D 正确 2a 2 a 3 已知a 0 b 0 则 2的最小值是 1 a 1 bab A 2 B 2 2 C 4 D 5 解析 选 C 2 2 4 1 a 1 bab 2 abab 当且仅当Error 即a b 1 时 原式取得最小值 4 4 已知x y 0 且x 4y 1 则xy的最大值为 解析 x 0 y 0 x 4y 2 又 x 4y 1 4xy 1 4 xy 当且仅当Error 即x y 时 等号成立 xy 1 16 1 2 1 8 答案 1 16 5 当a 0 且a 1 时 函数f x loga x 1 1 的图像恒过点P 若点P在直线 mx y n 0 上 则 4m 2n的最小值为 解析 f x loga x 1 1 的图像恒过点P P 2 1 又 点P在直线mx y n 0 上 2m 1 n 4m 2n 22m 2n 21 n 2n 2 2n 2 1 2n 2 2n 2n 2 2 答案 2 2 6 已知f x x 1 2x 1 当 0 x 时 求f x 的最大值 1 2 2 当 1 x 2 时 求f x 的最大值 解 1 0 x0 1 2 2x 1 2x 22x 1 2x 即 2x 1 2x 1 2 x 1 2x 当且仅当 2x 1 2x 即x 时 等号成立 x 1 2x 1 2 2 1 8 1 4 当x 时 f x x 1 2x 在 0 上取得最大值 且最大值为 1 4 1 2 1 8 2 f x x 1 2x 2x2 x 且在 1 2 上是递减的 f 2 f x f 1 3 6 f x 1 f x 在 1 2 上的最大值为 1 B 级 能力提升 7 2012 宿州质检 在下列函数中 当x取正数时 最小值为 2 的是 A y x B y lgx 4 x 1 lgx C y D y x2 2x 3 x2 1 1 x2 1 解析 选 D 对于 A y x 2 4 当且仅当x 2 时取等号 对于 4 x x 4 x B x 0 lgx R y lgx 2 或y 2 当且仅当x 10 或x 时取等号 1 lg x 1 10 对于 C y 2 当且仅当x2 1 1 即x 0 时取等号 而 x2 1 1 x2 1 x 0 y 2 对于 D y x 1 2 2 2 当x 1 时取等号 8 已知点P x y 在经过A 3 0 B 1 1 两点的直线上 则 2x 4y的最小值为 A 2 B 4 22 C 16 D 不存在 解析 选 B 过AB的直线为 x 2y 3 0 由于P x y 在AB上 所以x 2y 3 又 2x 4y 2 2x 4y 2 即 2x 4y 2 2x 4y 4 当且仅当 2x 4y2x 2y232 Error 即x y 时 等号成立 故选 B 3 2 3 4 9 2011 高考浙江卷 若实数x y满足x2 y2 xy 1 则x y的最大值是 解析 x2 y2 xy 1 x y 2 xy 1 又 xy 2 x y 2 xy x y x y 2 2 2 1 x y 2 x y 2 x y x y的最大值为 x y 2 3 4 4 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 答案 2 3 3 10 某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉 6 吨 每吨面粉的价格 1800 元 面粉 的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元 购买面粉每次需支付运费 900 元 求该厂多少 天购买一次面粉 才能使平均每天的支付的总费用最少 解 设该厂每隔x天购买一次面粉 其购买量为 6x吨 由题意可知 面粉的保管等其他费用为 3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 设平均每天所支付的总费用为y1元 则y1 9x x 1 900 6 1800 1 x 9x 10809 900 x 2 10809 10989 9x 900 x 当且仅当 9x 900 x 4 即x 10 时 等号成立 该厂每 10 天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 11 创新题 如图所示 半径为 4 的球面上有A B C D四点 且AB AC AD两两垂直 若 S1 S2 S3分别为 ABC ACD ADB的面积 求S1 S2 S3 的最大值 解 因为AB AC AD两两垂直 所以AB AC AD可以看作长方体从A点出发的三条棱 又 A B C D外接于球O 该长方体是球 O的外接长方体 并且体对角线为 2R AB2 AC2 AD2 2R 2 64 又 S1 AB AC S2 AC AD S3 AB AD 1 2 1 2 1 2 S1 S2 S3 AB AC AC AD AB AD 1 2 1 2 1 2 又 AB AC AC