（三管齐下）贵州省2014届高三数学 复习试题19 三角函数的图象与性质理（含解析）新人教A版

1 1919 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 导学目标 1 能画出y sin x y cos x y tan x的图象 了解三角函数的周期 性 2 理解正弦函数 余弦函数在区间 0 2 上的性质 如单调性 最大值和最小值以及与 x轴的交点等 理解正切函数在区间内的单调性 2 2 自主梳理 1 三角函数的图象和性质 函数y sin xy cos xy tan x 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 在 上增 在 上减 在 上增 在 上减 在定义域的每一个区间 内是增函数 2 正弦函数y sin x 当x 时 取最大值 1 当x 时 取最小值 1 3 余弦函数y cos x 当x 时 取最大值 1 当x 时 取最小值 1 4 y sin x y cos x y tan x的对称中心分别为 5 y sin x y cos x的对称轴分别为 和 y tan x 没有对称轴 自我检测 1 2010 十堰月考 函数y Asin x A 为常数 A 0 0 在闭区 间 0 上的图象如图所示 则 为 A 1B 2C 3D 4 2 函数y sin图象的对称轴方程可能是 2x 3 2 A x B x 6 12 C x D x 6 12 3 2010 湖北 函数f x sin x R 的最小正周期为 3 x 2 4 A B C 2 D 4 2 4 2010 北京海淀高三上学期期中考试 函数f x sin x cos x 2 cos 2x的最 小正周期为 A 4 B 3 C 2 D 5 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么 的最小值为 4 3 0 A B C D 6 4 3 2 探究点一 求三角函数的定义域 例 1 2011 衡水月考 求函数y 的定义域 2 log1 2xtan x 变式迁移 1 函数y lg 2sin x 1 的定义域为 1 2cos x 探究点二 三角函数的单调性 例 2 求函数y 2sin的单调区间 4 x 变式迁移 2 2011 南平月考 1 求函数y sin x 的单调递 3 2x 减区间 2 求函数y 3tan的周期及单调区间 6 x 4 探究点三 三角函数的值域与最值 例 3 已知函数f x 2asin 2x b的定义域为 0 函数的最大值为 1 最 3 2 小值为 5 求a和b的值 3 变式迁移 3 设函数f x acos x b的最大值是 1 最小值是 3 试确定g x bsin ax 的周期 3 转化与化归思想的应用 例 12 分 求下列函数的值域 1 y 2sin2x 2cos x 2 2 y 3cos x sin x x 0 3 2 3 y sin x cos x sin xcos x 答题模板 解 1 y 2sin2x 2cos x 2 2cos2x 2cos x 2 cos x 2 cos x 1 1 1 2 1 2 当 cos x 1 时 ymax 4 当 cos x 时 ymin 故函数值域为 4 4 分 1 2 1 2 1 2 2 y 3cos x sin x 2cos x 33 6 x 0 x 2 6 6 2 3 y cos x在 上单调递减 6 2 3 cos x 1 2 6 3 2 y 3 故函数值域为 3 8 分 33 3 令t sin x cos x 则 sin xcos x 且 t t2 1 22 y t t 1 2 1 当t 1 时 ymin 1 t2 1 2 1 2 当t 时 ymax 2 1 22 函数值域为 1 12 分 1 22 突破思维障碍 1 对于形如f x Asin x x a b 的函数在求值域时 需先确定 x 的范围 再求值域 同时 对于形 如y asin x bcos x c的函数 可借助辅助角公式 将函数化为 y sin x c的形式 从而求得函数的最值 a2 b2 2 关于y acos2x bcos x c 或y asin2x bsin x c 型或可以为此型的函数求 值域 一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题 4 提醒 不论用什么方法 切忌忽略函数的定义域 1 熟练掌握正弦函数 余弦函数 正切函数的定义 图象和性质是研究三角问题的基 础 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提 求三角函数的定义域实质上就是解最 简单的三角不等式 组 2 三角函数的值域问题 实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题 3 函数y Asin x A 0 0 的单调区间的确定 基本思想是把 x 看作一个整体 利用y sin x的单调区间来求 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2011 黄山月考 已知函数y sin x的定义域为 a b 值域为 1 则 1 2 b a的值不可能是 A B C D 3 2 3 4 3 2 2010 安徽 6 校高三联考 已知函数y tan x 0 与直线y a相交于A B 两点 且 AB 最小值为 则函数f x sin x cos x的单调增区间是 3 A k Z 2k 6 2k 6 B k Z 2k 3 2k 2 3 C k Z 2k 2 3 2k 3 D k Z 2k 6 2k 5 6 3 函数f x tan x 0 的图象的相邻的两支截直线y 所得线段长为 则 4 4 f的值是 4 A 0B 1C 1D 4 4 函数y xcos x的部分图象是图中 5 5 2011 三明模拟 若函数y sin x f x 在 上单调递增 则函数f x 4 3 4 可以是 A 1B cos x C sin xD cos x 题号 12345 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 设点P是函数f x sin x的图象C的一个对称中心 若点P到图象C的对称轴 的距离的最小值是 则f x 的最小正周期是 8 7 函数f x 2sin 对于任意的x R 都有f x1 f x f x2 则 x1 x2 的最 x 4 小值为 8 2010 江苏 定义在区间上的函数y 6cos x的图象与y 5tan x的图象 0 2 的交点为P 过点P作PP1 x轴于点P1 直线PP1与y sin x的图象交于点P2 则线段 P1P2的长为 三 解答题 共 38 分 9 12 分 2011 厦门月考 已知函数f x 求它的定义域和值 2cos4x 3cos2x 1 cos 2x 域 并判断它的奇偶性 10 12 分 2010 福建改编 已知函数f x 2sin x a 0 与g x 6 2cos 2x 1 的图象的对称轴完全相同 1 求函数f x 的最小正周期 2 求函数f x 的单调递减区间 3 当x 0 时 f x 的最小值为 2 求a的值 2 11 14 分 2010 安徽合肥高三二模 已知向量a sin x 2sin x b 2cos 3 x sin x 定义f x a b 3 1 求函数y f x x R 的单调递减区间 2 若函数y f x 0 为偶函数 求 的值 2 答案 自主梳理 1 R R x x k k Z 1 1 1 1 R 2 2 奇函数 2 6 偶函数 奇函数 2k 2k k Z 2k 2k k Z 2 2 2 3 2 2k 2k k Z 2k 2k k Z k k k Z 2 2 2 2k k Z 2k k Z 3 2k k Z 2k k Z 4 k 0 2 2 k Z k Z k Z 5 x k k Z x k k Z k 2 0 k 2 0 2 自我检测 1 C 2 D 3 D 4 D 5 A 课堂活动区 例 1 解题导引 求三角函数的定义域时 需要转化为三角不等式 组 求解 常常借 助于三角函数的图象和周期解决 求交集时可以利用单位圆 对于周期相同的可以先求交 集再加周期的整数倍即可 解 要使函数有意义 则Error 得Error 所以函数的定义域为 x 0 x0 的 函数的单调区间 可以通过解不等式的方法去解答 列不等式的原则是 把 x 0 视为一个 整体 A 0 A 0 时 所列不等式的方向与y sin x x R y cos x x R 的单调区间对应的不等式方向相同 反 解 y 2sin可看作是由y 2sin u与u x复合而成的 4 x 4 又 u x为减函数 4 由 2k u 2k k Z 2 2 即 2k x 2k k Z 2 4 2 得 2k x 2k k Z 4 3 4 即 k Z 为 2k 4 2k 3 4 y 2sin的递减区间 4 x 由 2k u 2k k Z 2 3 2 即 2k x 2k k Z 2 4 3 2 7 得 2k x 2k k Z 5 4 4 即 k Z 为 2k 5 4 2k 4 y 2sin的递增区间 4 x 综上可知 y 2sin的递增区间为 4 x k Z 2k 5 4 2k 4 递减区间为 k Z 2k 4 2k 3 4 变式迁移 2 解 1 由y sin 3 2x 得y sin 2x 3 由 2k 2x 2k 2 3 2 得 k x k k Z 12 5 12 又x x x x 7 12 12 5 12 11 12 函数y sin x 的单调递减区间为 3 2x 7 12 12 5 12 11 12 2 函数y 3tan的周期 6 x 4 T 4 1 4 由y 3tan 6 x 4 得y 3tan x 4 6 由 k k 得 2 x 4 6 2 4k x0 则Error 解得Error 若a0 则Error 解得Error 若a 0 则Error 解得Error 所以g x sin 2x 或g x sin 2x 周期为 3 3 课后练习区 1 A 画出函数y sin x的草图 图略 分析知b a的取值范围为 故 2 3 4 3 选 A 2 B 由题意知 函数的最小正周期为 则 1 故f x sin x cos x 3 2sin的单调增区间满足 x 6 2k x 2k k Z 2 6 2 解得 2k x 2k 3 2 3 3 A 4 D 5 D 因为y sin x cos x sin x x 即 2 4 2 4 2 x 满足题意 所以函数f x 可以是 cos x 4 3 4 6 2 解析 依题意得 所以最小正周期T T 4 8 2 7 4 解析 由f x1 f x f x2 知 f x1 f x2 分别为f x 的最小值和最大值 而当 2k 即x 8k 2 k Z 时 f x 取最小值 而 2k 即 x 4 2 x 4 2 x 8k 2 k Z 时 f x 取最大值 x1 x2 的最小值为 4 8 2 3 解析 线段P1P2的长即为 sin x的值 且其中的x满足 6cos x 5tan x x 解得 sin x 所以线段P1P2的长为 0 2 2 3 2 3 9 解 由题意知 cos 2x 0 得 2x k 2 解得x k Z k 2 4 f x 的定义域为 x x R 且x k Z k 2 4 3 分 9 又f x 2cos4x 3cos2x 1 cos 2x 2cos2x 1 cos2x 1 2cos2x 1 cos2x 1 sin2x 6 分 又 定义域关于原点对称 f x 是偶函数 8 分 显然 sin2x 1 0 又 x k Z k 2 4 sin2x 1 2 原函数的值域为 y 1 y 1 2或 1 2 y 0 12 分 10 解 1 f x 和g x 的对称轴完全相同 二者的周期相同 即 2 f x 2sin 2x a 3 分 6 f x 的最小正周期 T 4 分 2 2 2 当 2k 2x 2k k Z 2 6 3 2 即k x k k Z 时 函数f x 单调递减 6 2 3 故函数f x 的单调递减区间为 k k 6 2 3 k Z 8 分 3 当x 0 时 2x 2 6 6 7 6 10 分 2sin 2 a 2 2 6 a