高考数学 考前15天专题突破系列——填空题解题方法突破

用心 爱心 专心 1 20122012 年高考数学考前年高考数学考前 1515 天专题突破系列天专题突破系列 填空题解题方法突破填空题解题方法突破 方法一方法一 直接求解法 直接求解法 直接从题设条件出发 利用定义 性质 定理 公示等 经过变形 推理 计算 判断 得到结论 这种方法是解填空题的最基本 最常用的方法 使用直接法解填空题 要善于通 过现象看本质 自觉地 有意识地采取灵活 简捷的解法 例例 1 1 已知双曲线的离心率为 2 焦点与椭圆的焦点相同 那么 22 22 1 xy ab 22 1 259 xy 双曲线的焦点坐标为 渐近线方程为 解析解析 双曲线焦点即为椭圆焦点 不难算出焦点坐标为 又双曲线离心率为 4 0 2 即 故 渐近线为2 4 c c a 2 2 3ab 3 b yxx a 例例 2 2 某城市缺水问题比较突出 为了制定节水管 理办法 对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查 其中 4 位居民的月均用水量分别为 单位 吨 根据图 2 所示的程序框图 若分 别为 1 1 5 1 5 2 则输出的结果s为 解析解析 第一 1 i 步 110 11 i xss 第二 2 i 步 5 25 11 11 i xss 第三 3 i 步 45 15 2 11 i xss 第四 4 i 步 624 11 i xss 2 3 6 4 1 s 第五 5 i 步 45 i 输出 2 3 s 方法二方法二 特殊化法 特殊化法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时 可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值 特殊函数 特殊角 特殊数列 特殊位置 特殊点 特殊方程 特殊模型等 进行处理 从而得出探求 用心 爱心 专心 2 的结论 这样可以大大地简化推理 论证的过程 此种方法也称为 完美法 其根本特点 是取一个比较 完美 的特例 把一般问题特殊化 已达到快速解答 为保证答案的正确性 在利用此方法时 一般应多取几个特例 例例 3 3 已知定义在上的奇函数满足 且在区间 0 2 上是增函R f x 4 f xf x 数 若方程 在区间上有四个不同的根 则 f xm 0m 8 8 1234 xxxx 1234 xxxx 例例 4 4 在 中 角所对的边分别为 如果成等差数列 ABC A B C a b c a b c 则 coscos 1 coscos AC AC 解析解析 取特殊值 则 3 4 5abc 4 cos cos0 5 AC coscos4 1 coscos5 AC AC 或取 则 代入也可得 也可利用正弦定理边化1 1 1abc 1 coscoscos60 2 AC 角及三角函数和差化积直接求解 方法三方法三 数形结合法 数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题 若能根据题目条件的特点 作出符合题意的图形 做 用心 爱心 专心 3 到数中思形 以形助数 并通过对图形的直观分析 判断 则往往可以简捷地得出正确的结 果 例例 5 5 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延长线交于FCBBFC 点 且 则的离心率为 D2BFFD C 解析解析 如图所示 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy 2BFFD 所以 即 由椭圆的第二定义 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 3 2 D c x 又由 得 整理得 两边 22 33 22 acc FDea ca 2 BFFD 2 3 2 c aa a 22 3ac 都除以 得 2 a 3 3 e 例例 6 6 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为 过 0 2 6cosyx 5tanyx P 点作 轴于点 直线与的图像交于点 则线段的长为 P 1 PPx 1 P 1 PPsinyx 2 P 1 P 2 P 解析解析 线段的长即为的值 且其中的满足 解得 1 P 2 Psin xx6cosx5tan x 用心 爱心 专心 4 即线段的长为 sin x 2 3 1 P 2 P 2 3 特别提醒特别提醒 考虑通过求出点 的纵坐标来求线段长度 没有想到线段长度的意义 1 P 2 P 忽略数形结合 导致思路受阻 方法法四方法法四 特征分析法 特征分析法 例例 7 7 已知函数满足 f x 则 1 1 4 f 4 f x f yf xyf xyx yR 2010 f 特别提醒特别提醒 忽略自变量是一个数值较大的正整数 没有考虑函数值的周期性规律或数列与 函数的联系 一味考虑直接求而导致思路受阻 2010 f 例例 8 8 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为 1 第二位同学首次报出的数也为 1 之后每位同学所报出 的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的是为 3 的倍数 则报该数的同学需拍手一次 当第 30 个数被报出时 五位同学拍手的总次数为 用心 爱心 专心 5 方法五方法五 构造法 构造法 根据题设条件与结论的特殊性 构造出一些熟悉的数学模型 并借助于它认识和解决 问题的一种方法 例例 9 9 如图 在三棱锥中 三条棱 两两垂直 且 OABC OAOBOCOA OB 分别经过三条棱 作一个截面平分三棱锥的体积 截面面积依次为 OCOAOBOC 1 S 则 的大小关系为 2 S 3 S 1 S 2 S 3 S 解析解析 此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力 已知条件少 没有具体的线段长度 应根据三条棱两两垂直 的特点 以 为棱 补成一个长方体 OAOBOC 通过补形 借助长方体验证结论 特殊化 令边长 分别为 1 2 3 得 OAOBOC 321 SSS 例例 1010 已知实数满足 则 x y 55 35 40 xyxxy 4xy 解析解析 此题考查数学知识的运用能力 两个未知数一个方程 且方程次数较高 不能 直接求出 的值 应考虑将整体求出 注意方程的结构特点 构造函数xy4xy 则已知变为 即 根据 5 f ttt 55 3 3 xyxyxx 3 fxyf x 函数是奇函数且单调递增可得 于是 即 f t 3 fxy fx 3xyx 40 xy 题型六题型六 多选型多选型 给出若干个命题或结论 要求从中选出所有满足题意的命题或结论 这类题不论多选还 是少选都是不能得分的 相当于多项选择题 它的思维要求不同于一般的演绎推理 而是要 求从结论出发逆向探究条件 且结论不唯一 此类问题多涉及定理 概念 符号语言 图形 语言 因此 要求同学们有扎实的基本功 能够准确的阅读数学材料 读懂题意 根据新的 情景 探究使结论成立的充分条件 判断命题是真命题必须通过推理证明 而判断命题是假 命题 举反例是最有效的方法 例例 1111 一个几何体的正视图为一个三角形 则这个几何体可能是下列几何体中的 填入所有可能的几何体前的编号 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 用心 爱心 专心 6 例例 12 12 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以和表示由甲罐取出的球是红球 白球和 12 A A 3 A 黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以表示由乙罐取出的球是红球的事件 则下列结B 论中正确的是 写出所有正确结论的编号 事件与事件相互独立 2 5 P B 1 5 11 P B A B 1 A 是两两互斥的事件 的值不能确定 因为它与中哪一 123 A A A P B 123 A A A 个发生有关 解析解析 此题考查概率有关知识 涉及独立事件 互斥事件的概念 题型为多选型 应 根据题意及概念逐个判断 易见是两两互斥的事件 事件的发生受到事件的影 123 A A AB 1 A 响 所以这两事件不是相互独立的 而 123 5524349 10111011101122 P BP B AP B AP B A 所以答案 特别提醒特别提醒 容易忽略事件的发生受到事件的影响 在求事件发生的概B 123 A A AB 率时没有分情况考虑而导致求解错误 题型七题型七 探索型探索型 从问题给定的题设中探究其相应的结论 或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的 条件 常见有 规律探索 条件探索 问题探索 结论探索等几个类型 如果是条件探索型命 题 解题时要求学生要善于从所给的题断出发 逆向追索 逐步探寻 推理得出应具备的条 件 进而施行填空 如果是结论探索型命题 解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特 征进行大胆猜想 透彻分析 发现规律 获取结论 用心 爱心 专心 7 例例 13 13 观察下列等式 2 cos22cos1 42 cos48cos8cos1 642 cos632cos48cos18cos1 8642 cos8128cos256cos160cos32cos1 可以推测 108642 cos10cos1280cos1120coscoscos1mnp mnp 解析解析 因为所以 观察可得 1 22 3 82 5 322 7 1282 9 2512m 400n 所以 50p 962mnp 例例 14 14 观察下列等式 根据上述规律 第五个等式为 332333233332 123 1 2 3 6 1 2 3 4 10 解析解析 方法一 所给等式左边的底数依次分别为 1 2 1 2 3 1 2 3 4 右边的 底数依次分别为 3 6 10 注意 这里 由底数内在规律可知 第1046 633 五个等式左边的底数为 右边的底数为 6 5 4 3 2 1216510 又左边为立方和 右边为平方的形式 故第五个等式为 2333333 21654321 方法二 易知第五个等式的左边为 且化简后等于 333333 654321 441 而 故易知第五个等式为 2 21441 2333333 21654321 题型吧题型吧 新定义型新定义型 定义新情景 给出一定容量的新信息 考生未见过 要求考生依据新信息进行解题 这 样必须紧扣新信息的意义 将所给信息转化成高中所学习的数学模型 然后再用学过的数学 模型求解 最后回到材料的问题中给出解答 此类问题多涉及给出新定义的运算 新的背景 知识 新的理论体系 要求同学有较强的分析转化能力 不过此类题的求解较为简单 例例 15 15 对于平面上的点集 如果连接中任意两点的线段必定包含于 则称为 用心 爱心 专心 8 平面上的凸集 给出平面上 4 个点集的图形如下 阴影区域及其边界 其中为凸 集的是 写出所有凸集相应图形的序号 解析解析 在各个图形中任选两点构成线段 看此线段是否包含于此图形 可以在边界上 故选 特别提醒特别提醒 忽略 是由两个圆构成一个整体图形 从两个圆上各取一点构成的线段不 包含于此图形 易误选 例例 16 16 若数列满足 对任意的 只有有限个正整数使得成立 记 n anN m m an 这样的的个数为 则得到一个新数列 例如 若数列是 m n a n a n a1 2 3 n 则数列是 已知对任意的 则 n a0 1 2 1 n Nn 2 n an 5 a n a 题型九题型九 组合型组合型 给出若干个论断要求学生将其重新组合 使其构成符合题意的命题 解这类题 就要求 学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握 通过对题目的阅读 理解 分析 比较 综合 抽象和概括 用归纳 演绎 类比等推理方法准确地阐述自己的观点 理清思路 进 用心 爱心 专心 9 而完成组合顺序 例例 17 17 是两个不同的平面 是平面及之外的两条不同直线 给出下列四 m n 个论断 1 1 2 2 3 3 4 4 若以其中三个论断作为条件 mn n m 余下一个论断为结论 写出你认为正确的一个命题 解 解 通过线面关系 不难得出正确的命题有 1 1 2 2 m n mn m n mn 所以可以填 或 m n mn m n mn 专题训练 1 已知等差数列 an 的公差d 0 且a1 a3 a9成等比数列 则 a1 a3 a9 a2 a4 a10 解析 由已知得a a1a9 a1 2d 2 a1 a1 8d 2 3 a1 d a1 a3 a9 a2 a4 a10 3a1 10d 3a1 13d 13 16 答案 13 16 2 cos 2 cos 2 120 cos 2 240 的值为 解析 本题的隐含条件是式子的值为定值 即与 2 无关 故可令 0 计算得上 式值为 0 答案 0 3 如果不等式 a 1 x的解集为A 且A x 0 x 2 那么实数a的取值范围 4x x2 是 用心 爱心 专心 10 4 设f x Error Error 若方程f x x有且仅有两个实数解 则实数a 的取值范围是 解析 先给a一个特殊值 令a 0 可画出x 0 时的图象 当 00 时的图象 其图象呈周期变化 然后再由参数a的意 义使图象作平移变换 由此确定 a的取值范围 最后求出a的取值范围 答案 2 5 直线y kx 3k 2 与直线y x 1 的交点在第一象限 则k的取值范围是 1 4 解析 因为y kx 3k 2 即y k x 3 2 故直线过定点P 3 2 而定直 线y x 1 在两坐标轴上的交点分别为A 4 0 B 0 1 如图所示 求得 k 1 1 4 2 7 答案 k0 的焦点 并且与x轴垂直 若l被抛物线截得的 线 段长为 4 则a 高 考 资 源