N为复合数的FFT算法.ppt

1 4 5N为复合数的FFT算法 2 4 6线性调频Z变换 Chirp Z变换 算法 FFT算法用于计算有限长序列的z变换X z 在z平面单位圆上N个等间隔抽样点zk上的采样值实际应用中在很多情况下并不一定需要计算全部频谱值 而仅需对某一频带内的信号频谱作较密集的分析另外 采样也不一定局限于单位圆上 而需要计算出某一螺旋线上的等角度间隔的采样值例如语音信号分析时 往往在靠近语音信号序列z变换的极点的螺旋线上进行采样 可以使语音信号的共振峰变得更尖锐 便于精确确定共振峰频率 3 4 6线性调频Z变换 Chirp Z变换 算法 线性调频z变换就是利用FFT快速计算螺旋线采样的算法 4 4 6 1算法基本原理 为适应z可以沿Z平面更一般的路径取值 沿Z平面上的一段螺线作等分角的采样 采样点zk为 设有限长序列x n 的Z变换为 式中 A和W都是任意复数 设 综合上式得到 5 zk参数的物理意义 螺线采样 A0 起始采样点z0的矢量半径 0 起始采样点z0的相角 0 两相邻采样点之间的角度差W0 表示螺线的伸展率 序列的DFT是Chirp Z变换的特例 6 0 k M 1 将zk AW k代入x n 的Z变换变换表达式中 得到 Chirp Z变换公式 Chirp Z变换的FFT算法 直接计算Chirp Z变换公式的计算量很大 但可以将其转换为卷积形式 从而利用FFT算法 提高运算速度 7 将公式中的nk做一变换 Chirp Z变换公式的卷积形式 0 k M 1 代入公式 整理后得到 卷积形式 与卷积公式比较 8 k 0 1 M 1 卷积形式的Chirp Z公式可采用FFT算法 从而提高运算速度 Chirp Z变换的计算框图如下 9 4 6 2Chirp Z变换的特点 输入序列和输出序列长度不需要相等 且二者均可为素数分析频率点zk的起始点z0及相邻两点的夹角 0是任意的 即频率分辨率是任意的 因此可从任意频率上开始 对输入数据进行窄带高分辨率的谱分析谱分析路径可以是螺旋形的Chirp Z变换在一定条件下就是序列的DFT 与标准DFT FFT 算法相比较 Chirp Z变换有以下特点 10 4 7利用FFT分析时域连续信号频谱 4 7 1基本步骤 时域连续信号离散傅里叶分析的处理步骤如下图示 频谱分析是指计算信号各个频率的幅值 相位和功率 处理过程分析 11 LPF 避免在模拟信号转换成序列时 可能出现的频谱混叠现象 A D 时域离散化 得到采样序列x n 其频谱用X ej 表示 12 w n 窗函数 为进行FFT 须对x n 加窗处理 即v n x n w n 13 对连续信号进行谱分析时 主要关心两个问题 即谱分析范围与频率分辨率 谱分析范围与频率分辨率 谱分析范围 所能分析的最高频率 受采样频率的限制频率分辨率用频率采样间隔F描述 表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量最小间隔 F较小时 称频率分辨率较高 14 有限长序列v n x n w n 的DFT相当于v n FT的等间隔采样 V k 是sc t 的离散频率函数 V k 的第k点对应的模拟频率为 谱分析范围与频率分辨率 显然 数字域频率间隔 2 N对应的模拟域谱线间距应为 fs为采样频率 谱线间距 即频谱分辨率 指可分辨两频率的最小间距 15 fs为采样频率 T为采样时间间隔 s fs为采样频率 Hz F为谱线间距 频谱分辨率 Hz tp为截取连续时间信号的样本长度 又称记录长度 s DFT对连续信号谱分析时 参数间的关系及选择原则 例时间序列v n 1 1 nR16 n 与16点的DFT的如下图所示 16 参数间的关系 参数的选择 T tp和N 实际应用中 根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求来确定三个参数 DFT对连续信号谱分析时 参数间的关系及选择原则 17 采样周期T的选择 为保证采样信号不失真应满足 fs 2fh 即周期T 说明 信号的谱分析范围fh与频率分辨率F存在矛盾关系 解释 如果保持采样点数N不变 而提高谱的分辨率 F减小 必须降低采样速率fs 从而引起谱分析范围fh减少解决方法 如维持fs不变 为提高分辨率 可以考虑增加采样点数N与观察时间Tp 18 N的选择 由频谱分辨率F和T确定 最小记录长度Tp的选择 由N T确定 19 例 一频谱分析器 其采样点数必须是2的整数幂 已知 频率分辨率 10Hz 信号最高频率 4kHz 试求 1 最小记录长度tp 2 最大采样间隔T 即最小采样频率 3 在一个记录中的最少点数N 解题思路 已知F 10Hz fh 4kHz 1 2 20 由信号的时域波形图估计最高频率最高频率 1 2 相邻峰谷间的最小距离 信号最高频率fh的估计 例 如下图示 21 4 7 2利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成的误差 1 频谱混叠失真 当时域采样频率不满足fs 2fh时 会产生频谱混叠失真 对于FFT 频率函数也要采样成离散序列 因此为兼顾fh与F 必要时需增加记录长度的点数N 一般取fs 2 5 3 0 fh 22 4 7 2利用FFT对连续信号进行傅里叶分析时可能造成的误差 2 栅栏效应 利用FFT计算频谱 只能得到有限点的频谱采样值 而采样点间的频谱函数是不知道的 这就像通过一个 栅栏 观看信号频谱 只能在离散点上看到信号频谱 称之为 栅栏效应 由于栅栏效应 有可能漏掉 挡住 大的频谱分量 23 减小栅栏效应的方法 增加频域采样点数N 通过在时域数据末端添加零点 使一个周期内的点数增加 但并不改变原有的记录数据 说明 补零不能提高频率分辨率 2 栅栏效应 24 cos n 4 频谱 3 由截断效应引起的频谱泄漏与谱间干扰 实际中的序列x n 有可能是无限长的 为进行DFT运算 x n 需要进行加窗处理变成有限长序列 截断后序列的频谱与原序列频谱必然有差别 主要表现为泄漏与谱间干扰 矩形窗函数的幅度谱 加矩形窗后的频谱 25 泄漏 截断后的序列不再是单一谱线 而是向附近展宽 泄漏使频谱变模糊 使谱分辨率降低谱间干扰 主谱线两边形成很多旁瓣 将引起不同频率分量间的干扰 特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线 26 加矩形窗后的频谱 减小两种影响的措施 cos n 4 频谱 增加窗的时域宽度N可使频域主瓣变窄采用其它缓变的窗代替矩阵窗 可使旁瓣能量更小 从而减少谱间干扰 N一定时 旁瓣越小的窗函数 其主瓣就越宽 因此只能以降低谱分辨率为代价 换取谱间干扰的减小 27 4 7 3频谱分析的应用 实信号x n 的频谱是共轭偶对称的 故只要求出k在0 1 N 2上的X k 即可 将X k 写成极坐标形式 式中 X k 称为幅频谱 arg X k 称为相频谱 频谱图 一个长度为N的时域离散序列x n 其DFT可表示为 由上式绘成的图形称为频谱图 从图中可以知道信号存在哪些频率分量 28 例用频谱分析下列时域信号的组成 fs 32Hz 对序列作32点DFT X k 如右图示 频率分辨率F fs N 1Hz 29 4 8FFT的其它应用 4 8 1线性卷积的FFT算法 快速卷积 1 FFT的快速卷积法 利用循环卷积的FFT计算线性卷积 FFT计算y n 的步骤 求H k DFT h n 求X k DFT x n 计算Y k X k H k 求y n IDFT Y k 30 设h n 的点数为M 长序列x n 可被分成为若干长度为L点的段 输入序列表示 2 重叠相加法 x n 和h n 的线性卷积等于 31 计算N点FFT H k DFT h n N 2m L M 1 计算N点FFT Xi k DFT xi n N 2m L M 1 相乘 Yi k Xi k H k 计算N点IFFT yi n IDFT Yi k 计算步骤 将各段yi n 包括重叠部分 相加 xi n 与yi n 序列长度不同 导致相邻两段输出有若干点重