数学思想方法

1 方程方程 的思想的思想 数学是研究事物的空间形式和数量关系的 初中最重要的数量关系是等量关系 其次 是不等量关系 最常见的等量关系就是 方程 比如等速运动中 路程 速度和时间三者 之间就有一种等量关系 可以建立一个相关等式 速度 时间 路程 在这样的等式中 一 般会有已知量 也有未知量 像这样含有未知量的等式就是 方程 而通过方程里的已知 量求出未知量的过程就是解方程 我们在小学就已经接触过简易方程 而初一则比较系统 地学习解一元一次方程 并总结出解一元一次方程的五个步骤 如果学会并掌握了这五个 步骤 任何一个一元一次方程都能顺利地解出来 初二和初三我们学习了解一元二次方程 二元二次方程组 简单的三角方程 到了高中我们还将学习指数方程 对数方程 线性方程 组 参数方程 极坐标方程等 解这些方程的思维几乎一致 都是通过一定的方法将它们 转化成一元一次方程或一元二次方程的形式 然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步 骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决 物理中的能量守恒 化学中的化学平衡式 现实中的大量实际应用 都需要建立方程 通过解方程来求出结果 因此 同学们一定要 将解一元一次方程和解一元二次方程学好 进而为学好其它形式的方程打好基础 所谓的 方程 思想就是对于数学问题 特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综 复杂的关系 善于用 方程 的观点去构建有关的方程 进而用解方程的方法去解决它 2 数形结合数形结合 的思想的思想 大千世界 数 与 形 无处不在 任何事物 剥去它的质的方面 只剩下形状和大小 这两个属性 就交给数学去研究了 初中数学的两个分支 代数和几何 代数是研究 数 的 几何是研究 形 的 但是 研究代数要借助 形 研究几何要借助 数 数形结合 是 一种趋势 越学下去 数 与 形 越密不可分 到了高中 就出现了专门用代数方法去研 究几何问题的一门课 叫做 解析几何 在初三 建立平面直角坐标系后 研究函数的问 题就离不开图象了 往往借助图象能使问题明朗化 比较容易找到问题的关键所在 从而 解决问题 在今后的数学学习中 要重视 数形结合 的思维训练 任何一道题 只要与 形 沾得上一点边 就应该根据题意画出草图来分析一番 这样做 不但直观 而且全面 整 体性强 容易找出切入点 对解题大有益处 尝到甜头的人慢慢会养成一种 数形结合 的 好习惯 3 对应对应 的思想的思想 对应 的思想由来已久 比如我们将一支铅笔 一本书 一栋房子对应一个抽象的数 1 将两只眼睛 一对耳环 双胞胎对应一个抽象的数 2 随着学习的深入 我们还将 对 应 扩展到对应一种形式 对应一种关系 等等 比如我们在化简求值计算中 将式子中有 关字母或某个整体的值 对应代入 直接算出原式的结果 又比如我们到初三综合学习了与 圆有关的角 圆心角 圆周角 弦切角的数量关系必须 对应 同一段弧才能成立 这就是 运用 对应 的思想和方法来解题 初二 初三我们还看到数轴上的点与实数之间的一一对 应 直角坐标平面上的点与一对有序实数之间的一一对应 函数与其图象之间的对应 总 之 对应 的思想在今后的学习中将会发挥越来越大的作用 4 转化转化 的思想的思想 解数学题最根本的途径是 化难为易 化繁为简 化未知为已知 也就是把复杂繁难 的数学问题通过一定的数学思维 方法和手段 逐渐将它转变成一个大家熟知的简单的数 学形式 然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决 比如 我们学校要扩大校园 需要向某村征地 而某村给了一块形状不规则的地 如 何丈量它的面积呢 首先 使用适当的测量工具 依据一定的比例 将实际地形绘制成纸上 图形 然后将纸上图形分割成若干块梯形 长方形 三角形 利用学过的面积计算方法 计算出这些图形的面积之和 也就得到了这块不规则地形的总面积 在这里 我们把无法 计算的不规则图形转化成了可以计算的规则图形 从而解决了土地丈量问题 另外 我们 前面提到的各种多元方程 高次方程 利用 消元 降次 等方法 最终都可以把它们转 化成一元一次方程或一元二次方程 然后用已知的步骤或公式把它们解决 转化和替代 的思想 是解题的最重要的思维习惯 面对难题 面对没有见过的题 首先就要想到 转化 也总是能够 转化 的 平时 要多留心老师是怎样解题的 是怎样 化难为易 化繁为简 化未知为已知 的 同学之间也应多交流交流 成功转化 的体会 深入理解 转化 的真正含义 切实掌握 转化 的思维和技巧 一 什么是数学思想方法 数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中 经过思维活动而产生的一种结果 它 是数学中处理问题的基本观点 是对数学基础知识与基本方法本质的概括 是创造性地发展数学的指导方 针 数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象概括水平 后者比前者更具体更丰富 而前者比后者更 本质更深刻 数学方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段 途径和行为方式中所包含的可操作的规 则或模式 数学思想和数学方法两者既统一又有区别 例如 在初中代数中 解多元方程组 用的是 消 元法 解高次方程 用的是 降次法 解双二次方程 用的是 替换法 这里的 消元 降次 替换 都是具体的数学方法 但它们不是数学思想 这三种方法共同体现出 转化 这一数学思想 即 把复杂问题转化为简单问题的思想 具体的数学方法 不能冠以 思想 二字 如 配方法 就不能称 为数学思想 它的实质是恒等变形 体现了 变换 的数学思想 然而 每一种数学方法 都体现了一定的 数学思想 每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来 这里的手段就是数学方法 也就是 说 数学思想是理性认识 是相关的数学方法的精神实质和理论依据 数学方法是指向实践的 是工具性的 是实施有关思想的技术手段 因此 人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念 数学思想方法 一般 来说 数学思想方法具有三个层次 低层次的数学思想方法 如消元法 换元法 代人法等 较高层次的 数学思想方法 如分析 综合 归纳 演绎 概括 抽象 类比等 高层次的数学思想方法 如转化 分 类 数形结合等 较低层次的数学思想方法经抽象概括可上升为较高层次的数学思想方法 各层次间没 有明确的界限 二 为什么要研究初中数学思想方法 1 教学本身的需要初中数学教材体系包括两条主线 其一是数学知识 这是编写教材的一条明线 其二是 数学思想方法 这是编写教材的指导思想 它是大都不能明确写进教材的一条暗线 前者容易理解 后者 不易看明 前者是教材写什么 后者则明确为什么要这样写 只有理解后者才能真正从整体上 本质上理解 教材 九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲 明确指出 初中数学的基础知识主要是初中代 数 几何中的概念 法则 性质 公式 公理 定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法 这就要 求我们在数学知识教学的同时 必须注意数学思想方法的有机渗透和统帅作用 只有这样 才能有助于学 生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学知识结构 促进学生数学能力的发展 推动学生思维一般品质乃 至整个素质的全面提高 2 数学发展的需要翻开数学史 从算术到代数 从常量数学到变量数学 从偶然数学到必然数学 从 明 晰 数学到 模糊 数学 以及从手工证明到机器证明等 历史上的这几次重大转折 首先是数学思想方 法的转变 这种转变还表明了数学的发展不仅是量的发展 还有质的飞跃 随着数学的发展 数学思想方 法日益丰富 如果说历史上是数学思想方法推进了数学科学 那么在数学教学中 就是数学思想方法在传 导着数学的精神 在塑造着人的灵魂 在对一代人的数学素质实施着深刻 稳定而持久的影响 3 国民素质的需要当今世界 青少年只有具备很强的适应能力 才能参与社会竞争 对数学来说 就是具 备运用所学基础知识解决实际问题的能力 根据需要去自学新知识的能力 因此 数学思想方法的培养比 只教会学生几个数学公式更为重要 它将使学生获得自学数学 发展数学的本领 获得把数学思想方法迁 移为解决其它问题的能力 从而形成更什的智能结构 让学生终生受益 正如德闰学者冯 劳厄说的 教育 尤非是一切学过的东西都忘掉时所剩下的东西 这种使人终身受用的东西 数学教学中指数学思想方法 有资料表明 我国的中学生毕业后直接用到的数学知识并不多 更多的是受到数学思想方法的熏陶与启迪 4 教学改革的需要当前数学教学中 过于强调对定义 定理 法则 公式的灌输与记忆 不注意这些概念 知识的发生 发展 应用过程的揭示与解释 不善于将这一过程中丰富的思想方法进行抽象和概括 存在 着 掐头去尾烧中段 的状况 即使有应用过程 也只是在解题过程中 强调对问题一招一式 一题 解 一法一题的个别解决 定势套路的总结 而轻视思路分析 忽视解题的思维过程 不能将具体的知识和个 别的数学方法上升到数学思想的高度 揭示方法的实质和规律 长此以往 严重阻碍 r 学生创造力的培养 和发展 而数学思想方法的教学是把传统的知识型教学转化为能力型教学的关键 是培养创造性人才的良 好手段和渠道 三 初中数学思想方法主要有哪些 根据 大纲 精神 初中数学的基本思想主要指转化 分类 数形结合等基本方法主要指待定系数法 消儿法 配方法 换元法 图象法等由于数学方法在教材中大都有具体陈述 而数学思想却是隐含在知识 系统之中 这为强化数学思想方法带来了一定困难 为此 下面谈谈转化 分类讨论 数形结合等在初中数 学中的表现 1 转化思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方 式转化思想是数学思想方法的核心 其它数学思想方法都是转化的手段或策略 初中数学中运用转化思想 具体表现在以下三个方面 l 把新问题转化为原来研究过的问题如有理数减法转化为加法 除法转化为乘 法等 助把复杂的问题转化为简单的问题 新问题用已有的方法不能或难以解决时 建立新的研究方式如 引进负数 建立数轴 变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程 等等 2 分类讨论思想所 谓分类讨论是指对于复杂的对象 为了研究的需要 根据对象本质属性的相同点和差异性 将对象区分为 不同种类 通过研究各类对象的性质 从而认识整体的性质的思想方式 在分类讨论中要注意标准的同一 性 即划分始终是同一个标准 这个标准必须是科学合理的 分域的互斥性 即所分成的各类既要互不包含 义要使各类总和等于讨论的全集 分域的逐级性 有的问题分类后还可在每 类中丙继续分类 运用分类 讨论思想指导数学教学 有利于学生归纳 总结所学的数学知识 使之系统化 条理化 并逐步形成一个 完整的知识结构网络 这有利于学生严密 清晰 合理地探索解题思路 提高数学思维能力 在初中数学 中需要分类讨沦的问题主要表现个方而 扮有的数学概念 定理的论证包含多种情况 这类问题需要分类 讨论 如平面儿何中二角形的分类 四边形的分类 角的分类 圆周角定理 圆幂定理 弦切角定理等的 证明 都涉及到分类 i 寸论 约解含字毋参数或绝对值符号的为一程 不等式 讨论算术根 正比例和反 比例的数中二次项系数 与图象的开 L 方向等 由于这些参数的取位不同或要去掉绝对值符号就有不 同的结果 这类问题需要分类讨论 3 有的数学问题 虽结论惟一但导致这结论的前提不尽相同 这类问题也 要分类讨论 3 一效形结合思想所谓数形结合是指抽象的数学语言与形象直观的图形结合起来 从而实现由 抽象向具体转化的一种思维方式 华罗庚说过 数缺形时不直观 形少数时难人微 有些数最关系 借助于图形的性质 可以使许多抽象的 概念和复杂的关系直观化 形象化 简单化 而图形的一些性质 借助于数量的计算和分析 得以严谨化 在初中阶段 数形结合的 形 可以是数轴 函数的图象和几何图形等等 它们都具有形象化的特点数形 结合思想在初中数学中主要表现在以下两个方面 l 以形助数 帮助学生深刻理解数学概念如教师可以用 数轴上点和实数之间的对应关系来讲清相反数 绝对值的概念以及比较两个数大小的方法 运用函数图象 的性质讨沦一元三次方程的根以及讨论一 7 乙一次小等式等等 2 以数助形 帮助学生简化解题方法 初 中数学中还渗透了类比 归纳 联想等数学思想方法这些思想力一法之间 是相互渗透 互相促进的 在 数学教学中要有机地结合起来 四 如何加强初中数学思想方法的渗透 1 把握数学思想方法的层次性根据 大纲 精神 在初中要求 了解 的数学思想有转化 分类讨论 数形结合 类比等要求 了解 的方法有分类法 类比垮 反证法 要求 理解 或 会应用 的方法有 待定系数法 消兀法 降次法 配方法 换元法 图象法 这吸 了解 理解 会运用 是教学 要求的具体尺子 随便提高或降低都会给这一基础知识的教学带来灾难 2 加强知识的发生过程 适时渗透数学思想方法莱布尼兹有一句名言 没有什 么比看到发明的源泉 过 程 比发明本身吏重要了 数学教学不应是数学活动结果的教学 而应是数学活动 思维活动 过程的教 学数学知识的发生过程 实际上也是数学思想方法的发生过程 我们在教学中不仅要告诉学且有哪些数学 思想和力一法 它们各有什么用 而且更重要的是向学生展现概念的形成过程 结论的推导过程 方法的思 考过程 问题的被发现过程 思路的探索过程 规律的被揭示过程等 否则学生遇到新问题时 尽管头脑 中也知道要在数学思想方法的指导下解决 但仍然不知从何处人手 3 既要突出重点 又要逐步渗透在教学过程的不同阶段 对数学思想方法的教学的侧重点应有所不同 在 低年级介绍较低层次 在高年级介绍较高层次 新授课阶段介绍低层次的 复习巩固阶段介绍较高层次的 下面以二元一次方程组的解法的教学为例加以说明 开始讲代入消元法和加减消元法 让学生明确两者虽 然不同 但作用却是一致的 都把二元一次方程组化为一元一次方程 两者统一称为消元法 消元的思想 是解二元一次方程组的基本思想 在复习阶段则让学生理解消元思想实施的结果是化二元为一元