数列知识点归纳及习题总结

第 1 页 共 20 页 等差与等比数列知识与方法总结等差与等比数列知识与方法总结 一 知识结构与要点 定义 nnnnnn aaaadaa 1121 Nn 通项 等差中项 a b c 成等差dnaan 1 1 2 ca b 基本概念 推广 dmnaa mn 前 n 项和ndnna naa Sn 1 2 1 2 1 21 等差数列 当 d 0 0 时 为递增 减 数列 n a 当 d 0 时为常数 n a 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 1121 ininn aacaaaaNi qpnm aaaaqpnm 中共成等差则也成等差 n a k nnn 2 1nknn aaa 21 第 2 页 共 20 页 定义 n n n n n n a a a a q a a 1 1 2 1 Nn 通项 等比中项 a b c 成等比数列 1 1 n n qaaacb 2 基本概念 推广 mn mn qaa 前 n 项和 n S 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna n n 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 1121 ininn aaaaaa qpnm aaaaqpnm 成等比 若 成等差则 n a k nnn 21nkn aaa 21 成等比 基本性质 当 或 时 为递增数列 1 0 1 q a 10 0 1 q a n a 当 或 时 为递减数列 1 0 1 q a 10 0 1 q a n a 当 q 0 时 为摆动数列 n a 当 q 1 时 为常数数列 n a 二 等差数列 等比数列基础知识与方法概括二 等差数列 等比数列基础知识与方法概括 一 一 一般数列 一般数列 数列的定义及表示方法 数列的项与项数 有穷数列与无穷数列 递增 减 摆动 循环 数列 数列 an 的通项公式 an 数列的前 n 项和公式 Sn 一般数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系 2 1 1 11 nSS nSa a nn n 第 3 页 共 20 页 二 等差数列 二 等差数列 1 等差数列的概念 等差数列的概念 定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就 叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 即 成等比数列 0 0 2 1nnnn aqandaa 2 等差数列的判定方法 等差数列的判定方法 1 定义法 对于数列 若 常数 则数列是等差数列 n adaa nn 1 n a 2 等差中项法 对于数列 若 则数列是等差数列 n a 21 2 nnn aaa n a 3 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 如果等差数列的首项是 公差是 则等差数列的通项为 n a 1 addnaan 1 1 说明 该公式整理后是关于 n 的一次函数 4 等差数列的前 等差数列的前 n 项和项和 1 2 2 1n n aan S d nn naSn 2 1 1 说明 对于公式 2 整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 5 等差中项 等差中项 如果 成等差数列 那么叫做与的等差中项 即 或aAbAab 2 ba A baA 2 说明 在一个等差数列中 从第 2 项起 每一项 有穷等差数列的末项除外 都是它的前一 项与后一项的等差中项 事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 6 等差数列的性质 等差数列的性质 1 等差数列任意两项间的关系 如果是等差数列的第项 是等差数列的第 n an m a 项 且 公差为 则有mnm ddmnaa mn 2 对于等差数列 若 则 n aqpmn qpmn aaaa 也就是 如图所示 23121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 12321 3 若数列是等差数列 是其前 n 项的和 那么 n a n S Nk k S kk SS 2 成等差数列 如下图所示 kk SS 23 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 4 设数列是等差数列 是奇数项的和 是偶数项项的和 是前 n 项 n a 奇 S 偶 S n S 的和 则有如下性质 奇数项daaa2 531 成等差数列 公差为 偶数项daaa2 642 成等差数列 公差为 1 1 2 12 1 121 nan aa Sn n n 奇 项 则若有奇数项 第 4 页 共 20 页 nan aa S n n 1 22 2 偶 所以有 中偶奇 中偶奇 aaSS annaSS n n 1 1 12 12 n n1 S S 偶 奇 12 SS SS SS Sn n 偶奇 偶奇 偶奇 n n ann aa Sn 2 2 121 奇 项 则若有偶数项 1 22 2 n n ann aa S偶 所以有 ndaaaaaaSS nn 1223412奇偶 5 若等差数列的前项的和为 等差数列的前项的和为 n a12 n 12 n S n b12 n 则 12 n S 12 12 n n n n S S b a 三 三 等比数列 等比数列 1 等比数列的概念 等比数列的概念 定义 成等比数列 0 0 2 1 nn n n aqanq a a 等比中项等比中项 如果在与之间插入一个数 使 成等比数列 那么叫做与的等比中项等比中项 abGaGbGab 也就是 如果是的等比中项 那么 即 G b a G abG 2 2 等比数列的判定方法 等比数列的判定方法 1 定义法 对于数列 若 则数列是等比数列 n a 0 1 qq a a n n n a 2 等比中项 对于数列 若 则数列是等比数列 n a 2 12 nnn aaa 0 n a n a 3 等比数列的通项公式等比数列的通项公式 如果等比数列的首项是 公比是 则等比数列的通项为 n a 1 aq 1 1 n n qaa 4 等比数列的前等比数列的前 n 项和项和 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 5 等比数列的性质等比数列的性质 1 等比数列任意两项间的关系 如果是等比数列的第项 是等差数列的第项 n an m am 且 公比为 则有nm q mn mn qaa 2 对于等比数列 若 则 n avumn vumn aaaa 也就是 如图所示 23121nnn aaaaaa n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 12321 第 5 页 共 20 页 3 若数列是等比数列 是其前 n 项的和 那么 成 n a n S Nk k S kk SS 2kk SS 23 等比数列 如下图所示 k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 三 数列的通项求法数列的通项求法 1 等差 等比数列的通项 2 2 1 1 1 nSS na aS nn nn 3 迭加累加 迭乘累乘 2 1 nnfaa nn 若 1 ng a a n n 若 2 12 faa 则 2 1 2 g a a 则 3 23 faa 3 2 3 g a a 1 nfaa nn 1 ng a a n n 3 2 1 nfffaan 2 1 ngg a an 注 呢 若 1 1 ng a a nfaa n n nn 4 数列间的关系数列间的关系 1 成等比数列成等差数列 n a n ba BnAnSBAnaa nnn 2 成等差数列 2 成等比数列成等比数列 k nn aa 成等差数列成等比数列 nb a n aa n log 0 3 递推数列 递推数列 能根据递推公式写出数列的前 n 项 由 解题思路 利用 nnnn SaaSf 0 求 2 1 1 1 nSS na a nn n 变化 已知 已知0 11 nn aSf0 1 nnn SSSf 若一阶线性递归数列 an kan 1 b k 0 k 1 则总可以将其改写变形成如下形式 n 2 于是可依据等比数列的定义求出其通项公式 1 1 1 k b ak k b a nn 第 6 页 共 20 页 四 数列的求和方法 详细讲解见六 四 数列的求和方法 详细讲解见六 1 等差与等比数列求和公式 2 裂项相消法 如 an 1 n n 1 11 1 1 CAnBAnBCCAnBAn an 3 错位相减法 nnn cba 成等比数列成等差数列 n n cb nnnnn cbcbcbcbS 112211 1121 nnnnn cbcbcbqS则 所以有 13211 1 nnnn cbdccccbSq 如 an 2n 1 2n 4 倒序相加法 如已知函数求 1 42 x f xxR 12 m m Sfff mmm 5 通项分解法 如 an 2n 3n nnn cba 五 其它方面五 其它方面 1 在等差数列中 有关 S Sn n 的最值问题 常用邻项变号法求解 n a 1 当 d0 时 满足 的项数 m 使得取最小值 0 1 a 0 0 1m m a a 在解含绝对值的数列最值问题时 注意转化思想的应用 2 三个数成等差的设法 a d a a d 四个数成等差的设法 a 3d a d a d a 3d 3 三个数成等比的设法 a q a aq 四个数成等比的错误设法 a q3 a q aq aq3 为什么 4 求数列 an 的最大 最小项的方法 an 1 an 如 an 2n2 29n 3 0 0 0 an 0 如 an 1 1 1 1 n n a a n n n 10 1 9 an f n 研究函数 f n 的增减性 如 an 156 2 n n 六 专题讲座一六 专题讲座一 数列求和题的基本思路和常用方法数列求和题的基本思路和常用方法 一 利用常用求和公式求和一 利用常用求和公式求和 1 等差数列求和公式 d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 第 7 页 共 20 页 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3 4 1 2 1 1 nnkS n k n 12 1 6 1 1 2 nnnkS n k n 5 2 1 3 1 2 1 nnkS n k n 例例 1 已知数列 x 0 数列的前 n 项和 求 n nn aax n s n s 解 当 x 1 时 n sn 当 x 1 时 为等比数列 公比为 x n a 由等比数列求和公式得 利用常用公式 n n xxxxS 32 x xx n 1 1 巩固练习巩固练习 1 已知数列的通项公式为 为的前 n 项和 n a314 n an n s n a 1 求 2 求的前 20 项和 n s n a 解 二 错位相减法求和二 错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 2 求和 132 12 7531 n n xnxxxS0 x 当 x 1 时 2312 1 3 1 5 17 1 21 11 35 21 n n Snnn 第 8 页 共 20 页 当 x 1 时 132 12 7531 n n xnxxxS 两边同乘以 x 得 设 n xS 231 135 23 21 nn xxxnxnx 制错位 得 错位相减 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 再利用等比数列的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 巩固练习巩固练习 2 求数列前 n 项的和 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 解 由题可知 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 的通项之积 n n 2 2 n 2 1 设 n n n S 2 2 2 6 2 4 2 2 32 设制错位 1 2 n S 231 242 1 2 2222 nn nn 得 错位相减 1432 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 nn n n S 11 2 2 2 1 2 nn n 1 2 2 4 n n n S 三 反序相加法求和三 反序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与原数列相加 就可以得到 n 个 1n aa 例例 3 求证 nn nnnn nCnCCC2 1 12 53 210 证明 设 n nnnnn CnCCCS 12 53 210 把 式右边倒转过来得 第 9 页 共 20 页 反序 011 3 12 12 nn n n n nn CCCnCnS 又由可得 mn n m n CC n n n nnnn CCCnCnS 110 3 12 12 得 反 nn n n nnnn nCCCCnS2 1 2 22 2 110 序相加 n n nS2 1 巩固练习巩固练习 3 求的值 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 解 设 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 S 将 式右边反序得 反序 1sin2sin3sin88sin89sin 22222 S 又因为 1cossin 90cos sin 22 xxxx 得 反序相加 89 89cos89 sin 2cos2 sin 1cos1 sin2 222222 S S 44 5 四 分组法求和四 分组法求和 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等 差 等比或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 形如 的形式 其中 an nn ab bn 是等差数列 等比数列或常见的数列 例例 4 求数列的前 n 项和 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 解 设 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa S n n 将其每一项拆开再重新组合得 分组 23741 111 1 12 n aaa S n n 当 a 1 时 分组求和 2 13 nn nSn 2 13 nn 第 10 页 共 20 页 当时 1 a 2 13 1 1 1 1 nn a a S n n 2 13 1 1 nn a aa n 巩固练习巩固练习 4 求数列 n n 1 2n 1 的前 n 项和 解 设kkkkkkak 23 32 12 1 n k n kkkS 1 12 1 32 23 1 kkk n k 将其每一项拆开再重新组合得 Sn 分组 kkk n k n k n k 1 2 1 3 1 32 21 21 3 21 2 222333 nnn 分组求和 2 1 2 12 1 2 1 22 nnnnnnn 2 2 1 2 nnn 五 裂项法求和五 裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项 如 1 2 1 nfnfan nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 3 4 1 11 1 1 nnnn an 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 5 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 nnnnnnn an 6 n n nnnn n n S nnnn nn nn n a 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 则 第 11 页 共 20 页 7 11 1 1 CAnBAnBCCAnBAn an 8 9 1 n n 1 n 1 1 n 1 1 1 n ann nn 例例 5 求数列的前 n 项和 1 1 32 1 21 1 nn 解 裂项 nn nn an 1 1 1 则 裂项求和 1 1 32 1 21 1 nn Sn 1 23 12 nn 11 n 巩固练习巩固练习 5 在数列 an 中 又 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 求数列 bn 的前 n 项的和 解 211 2 1 1n n n nn an 裂项 1 11 8 2 1 2 2 nn nn bn 数列 bn 的前 n 项和 裂项求和 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 8 nn Sn 1 1 1 8 n1 8 n n 求证 1sin 1cos 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 2 解 设 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 第 12 页 共 20 页 裂项 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 裂项求和 89cos88cos 1 2cos1cos 1 1cos0cos 1 S 88tan89 tan 2tan3 tan 1tan2 tan 0tan1 tan 1sin 1 原等式成立 0tan89 tan 1sin 1 1cot 1sin 1 1sin 1cos 2 求和 222 1 33 5 21 21 n s nn 六 合并法求和六 合并法求和 针对一些特殊的数列 将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质 因此 在求数列的和 时 可将这些项放在一起先求和 然后再求 Sn 例例 6 求 cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 的值 解 设 Sn cos1 cos2 cos3 cos178 cos179 找特殊性质项 cos 180 cosnn Sn cos1 cos179 cos2 cos178 cos3 cos177 cos89 cos91 cos9 合并求和 0 巩固练习巩固练习 6 在各项均为正数的等比数列中 若 的值 103231365 logloglog 9aaaaa 求 解 设 1032313 logloglogaaaSn 由等比数列的性质 找特殊性质项 qpnm aaaaqpnm 和对数的运算性质 得NMNM aaa logloglog 合并求和 log log log log log log 6353932310313 aaaaaaSn 第 13 页 共 20 页 log log log 6539231013 aaaaaa 109log9log9log 333 七 利用数列的通项求和七 利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析 找出数列的通项及其特征 然后再利用数列的通项揭 示的规律来求数列的前 n 项和 是一个重要的方法 例例 7 求之和 1 1111111111 个n 解 由于 找通项及特征 110 9 1 9999 9 1 1111 11 k kk 个个 1 1111111111 个n 分组求和 110 9 1 110 9 1 110 9 1 110 9 1 321 n 1111 9 1 10101010 9 1 1 321 个n n 9110 110 10 9 1n n 91010 81 1 1 n n 巩固练习巩固练习 7 已知数列 an 的值 1 1 8 1 1 3 n nnn k anaa nn 求 解 找通项及特征 4 2 1 3 1 1 1 8 1 1 nnnn naan nn 设制分组 4 3 1 4 2 1 8 nnnn 裂项 4 1 3 1 8 4 1 2 1 4 nnnn 分组 裂项求和 1 111 1111 1 4 8 2434 nnn nn kkk naa nnnn 第 14 页 共 20 页 高考递推数列题型分类归纳解析高考递推数列题型分类归纳解析 类型类型 1 1 nfaa nn 解法 把原递推公式转化为 利用累加法累加法 逐差相加法逐差相加法 求解 1 nfaa nn 例例 1 已知数列满足 求 n a 2 1 1 a nn aa nn 2 1 1 n a 变式变式 已知数列 且 a2k a2k 1 1 K a2k 1 a2k 3k 其中 k 1 2 3 1 1 aan中 I 求 a3 a5 II 求 an 的通项公式 类型类型 2 nn anfa 1 解法 把原递推公式转化为 利用累乘法累乘法 逐商相乘法逐商相乘法 求解 1 nf a a n n 例例 1 已知数列满足 求 n a 3 2 1 a nn a n n a 1 1 n a 例例 2 已知 求 3 1 a nn a n n a 23 13 1 1 n n a 变式变式 2004 全国 I 理 15 已知数列 an 满足 a1 1 n 2 则 an 的通项 1321 1 32 nn anaaaa 1 n a 1 2 n n 类型类型 3 其中 p q 均为常数 qpaa nn 1 0 1 ppq 解法 待定系数法 把原递推公式转化为 其中 再利用换换 1 tapta nn p q t 1 元法元法转化为等比数列求解 例例 已知数列中 求 n a1 1 a32 1 nn aa n a 变式变式 2006 重庆 文 14 在数列中 若 则该数列的通项 n a 11 1 23 1 nn aaan n a 变式变式 2006 福建 理 22 本小题满分 14 分 第 15 页 共 20 页 已知数列满足 n a 11 1 21 nn aaanN I 求数列的通项公式 n a II 若数列 bn 滿足证明 数列 bn 是等差数列 12 111 444 1 nn bbbb n anN 证明 12 231 1 232 n n aaann nN aaa 类型类型 4 其中 p q 均为常数 或 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 其中 p q r 均为常数 1 n nn aparq 解法 一般地 要先在原递推公式两边同除同除以 得 引入辅助数列引入辅助数列 1 n q qq a q p q a n n n n 1 1 1 其中 得 再待定系数法定系数法解决 n b n n n q a b q b q p b nn 1 1 例例 已知数列中 求 n a 6 5 1 a 1 1 2 1 3 1 n nn aa n a 变式变式 2006 全国 I 理 22 本小题满分 12 分 设数列的前项的和 n an 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n A A A 求首项与通项 设 证明 1 a n a 2n n n T S 1 2 3 n A A A 1 3 2 n i i T 类型类型 5 递推公式为 其中 p q 均为常数 nnn qapaa 12 解法一 待定系数法 先把原递推公式转化为 112nnnn saatsaa 其中 s t 满足 qst pts 解法二 特征根法 对于由递推公式 给出的数列 nnn qapaa 12 21 aa n a 方程 叫做数列的特征方程 若是特征方程的两个根 当0 2 qpxx n a 21 x x 第 16 页 共 20 页 时 数列的通项为 其中 A B 由决定 即 21 xx n a 1 2 1 1 nn n BxAxa 21 aa 把和 代入 得到关于 A B 的方程组 当 2121 xxaa2 1 n 1 2 1 1 nn n BxAxa 时 数列的通项为 其中 A B 由决定 即把 21 xx n a 1 1 n n xBnAa 21 aa 和 代入 得到关于 A B 的方程组 2121 xxaa2 1 n 1 1 n n xBnAa 解法一 待定系数解法一 待定系数 迭加法 迭加法 数列 求数列的通项公 n a 0 0253 12 Nnnaaa nnn baaa 21 n a 式 例例 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 变式变式 1 已知数列满足 n a 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN I 证明 数列是等比数列 II 求数列的通项公式 1nn aa n a III 若数列满足证明是等差数列 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n b 12 111 44 4 1 nn bbbb n anN n b 2 已知数列中 求 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 3 已知数列中 是其前项和 并且 n a n Sn 11 42 1 2 1 nn Sana 设数列 求证 数列是等比数列 2 1 2 1 naab nnn n b 设数列 求证 数列是等差数列 求数列的通项公式及前项和 2 1 2 n a c n n n n c n an 类型类型 6 递推公式为与的关系式 或 n S n a nn Sf a 解法 这种类型一般利用与 2 1 1 1 nSS nS a nn n 消去 或与消去进行 11 nnnnn afafSSa n S 2 n 1 nnn SSfS 2 n n a 求解 第 17 页 共 20 页 例 例 已知数列前 n 项和 n a 2 2 1 4 n nn aS 1 求与的关系 2 求通项公式 1 n a n a n a 2 应用类型 4 其中 p q 均为常数 的方法 n nn qpaa 1 0 1 1 qppq 上式两边同乘以得 1 2 n 222 1 1 n n n n aa 由 于是数列是以 2 为首项 2 为公差的等差数列 所1 2 1 4 1 21 111 aaSa n na 2 以nnan n 2 1 222 1 2 n n n a 变式变式 2006 陕西 理 20 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头本小题满分 12 分 已知正项数列 an 其前 n 项和 Sn满足 10Sn an2 5an 6 且 a1 a3 a15成等比数列 求数列 an 的 通项 an 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 变式变式 2005 江西 文 22 本小题满分 14 分 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 2 3求数列 an 的 2 3 1 3 2 1 21 1 SSn n 且 通项公式 类型类型 7 banpaa nn 1 001 a p 解法 这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列 即令 1 1 yxnapynxa nn 与已知递推式比较 解出 从而转化为是公比为的等比数列 yx yxnan p 例例 设数列 求 n a 2 123 4 11 nnaaa nnn a 变式变式 2006 山东 文 22 本小题满分 14 分 已知数列 中 在直线 y x 上 其中 n 1 2 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 n a 11 1 2 2 nn anaa 点 令 求数列 是等比数列 求证数列 nnnn baab 3 1 的通项 n a 设的前 n 项和 是否存在实数 使得数列为分别为数列 nn TS n a n b nn ST n 等差数列 若存在试求出 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不存在 则说明理由 类型类型 8 r nn paa 1 0 0 n ap 解法解法 这种类型一般是等式两边取对数两边取对数后转化为 再利用待定系数法待定系数法求解 qpaa nn 1 第 18 页 共 20 页 例 已知数列 中 求数列 n a 2 11 1 1 nn a a aa 0 a 的通项公式 n a 变式变式 2005 江西 理 21 本小题满分 12 分 已知数列 且满足的各项都是正数 n a 4 2 1 1 10 Nnaaaa nnn 1 证明 2 求数列的通项公式 an 2 1 Nnaa nn n a 变式变式 2006 山东 理 22 本小题满分 14 分 已知 a1 2 点 an an 1 在函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 记 bn 求 bn 数列的前项和 Sn 并证明 Sn 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 11 nn aa13 2 n T 类型类型 9 解法 这种类型一般是等式两边取倒数两边取倒数后换元换元转化为 1 nhang anf a n n n qpaa nn 1 例例 已知数列 an 满足 求数列 an 的通项公式 1 13 1 1 1 a a a a n n n 变式变式 2006 江西 理 22 本大题满分 14 分 1 已知数列 an 满足 a1 且 an 3 2 n1 n1 3na n2nN 2an1 1 求数列 an 的通项公式 2 证明 对于一切正整数 n 不等式 a1 a2 an 2 n 2 若数列的递推公式为 则求这个数列的通项公式 1