齐次弦振动方程的MATLAB解法

1 齐次弦振动方程的MATLAB解法 摘要 弦振动问题是一个典型的波动方程的建立与求解问题 本 文通过利用 MATLAB 特有的方程求解与画图功能 有效地构造和 求解了齐次弦振动方程 并通过图像 可以直观感受方程的解 从而加深对这一问题物理意义的理解 关键词 振动方程 MATLAB 求解 数学物理方法 正文 在细弦上任意取微元分析其受力情况 通过 Newton 定律 建立细弦振动的运动方程 可以求得弦振动的泛定方程为 2 ttxx ua u 要得出振动方程的解 除了泛定方程外 我们还需要知道 具体问题的初始条件与边界条件 在弦振动问题里 初始条件 2 可以从初始位移和初始速度考虑 即 0 0 t tt ux ux 边界条件是描述物理问题在边界上受约束的状态 在弦振动方 程里可以归结为三类边界问题 1 第一类边界问题 称为固定端 0 0 0 xx L uu 2 第二类边界问题 特别的 若 0 0 xxx L F t uu SY 0F t 称为自由端 0 xx L u xL 3 第三类边界问题 第一类和第二类边界问题的线性组合 一 一 两端固定的弦振动问题 两端固定的弦振动方程的定解问题可表示如下 2 0 00 0 0 0 0 ttxx xx L ttt ua uxL t uu ux ux 1 初始位移不为 0 初始速度为 0 3 不妨设 734 sin 77 0 ll xx xl otherwise 0 x 1 特征函数求解解 由 d Alembert 公式 1 2 u x txatxat 从而我们可以得到方程的级数解 n A 143 sin 7 sin 7 7 77 143 sin 7 sin 7 7 7 77 nn n nnn n 而我们知道 弦振动的泛定方程属于本征问题 0 0 0 0 xx L XX XX 它在两个边界上都有第一类其次边界条件 它的本征值与 本征函数为 22 2 sin 1 2 3 nn x n ll 将系数带入方程 级数中每一项都是一个驻波 定义子程 4 序 wfun m 计算不同 n 的求和各项 再用主程序 jxj 将它们加起 来 得到动画图形 MATLAB 代码见附录 1 1 2 差分方程求解 利用差分方程同样可以求出问题的解 令 将微分 xi x tj t 方程改写成差分方程 即有 11 1 1 2 1 i lilili ji j uc uuc uu 其中 2 2 2 t ca x 于是 初始条件可以表示为 1 21 11 1 1 1 2 1 2 i iiii u uc uuc u 作图时 先画出的图形 然后再用或代 x xat xat 替其中的 改变的值 就画出了不同时刻 xat xat 的图形 xat MATLAB 代码见附录 1 2 5 解得的动态图形如下 6 2 初始位移为 0 初始速度不为 0 设初始速度为 34 1 77 0 ll x x otherwise 1 特征函数求解 通过求本征函数与本征值的方法我们可以得到方程的解析 解 1 sinsin n n n an uBtx ll 其中系数 类似的 用函数计算级 22 234 coscos 77 n l Bnana na 数中的各项 再在主函数中调用便可得解 MATLAB 代码见附录 2 1 2 差分方程求解 类似于问题 1 我们还可以采用差分方程求解 不过需要 注意的是 题目中的初始条件应表示为 2i ut 7 MATLAB 代码见附录 2 2 解得的动画图形如下 8 总结 通过运用 MATLAB 构造和求解齐次弦振动方程 绘制了相 关图像 直观感受了方程解 加深了对其物理意义的理解 借 助于计算机来做计算和研究的过程涉及到建立模型 选择方法 语言编程和结果分析 通过此次问题的探究 培养和训练了自 学能力和操作能力 获益匪浅 参考文献 1 李明奇 田太心 数学物理方程 电子科技大学出版社 2010 2 彭芳麟 数学物理方程的 MATLAB 解法与可视化 清华 大学出版社 2004 9 3 彭芳麟 计算物理基础 高等教育出版社 2010 4 谢进 李大美 MATLAB 与计算方法实验 武汉大学出 版社 2009 附录 附录 1 1 function jxj N 50 t 0 0 005 2 0 x 0 0 001 1 ww wfun N 0 ymax max abs ww h plot x ww axis 0 1 ymax ymax sy for n 2 length t ww wfun N t n 10 set h ydata ww drawnow sy sy sum ww end function wtx wfun N t x 0 0 001 1 a 1 wtx 0 for I 1 N if I 7 wtx wtx sin pi 7 I 4 7 sin pi 7 I 3 7 7 I pi sin pi 7 I 4 7 sin pi 7 I 3 7 7 I pi cos I pi a t sin I pi x else wtx wtx 1 7 cos I pi a t sin I pi x end 11 end 2 N 4010 dx 0 0024 dt 0 0005 c dt dt dx dx x linspace 0 1 420 u 1 420 1 0 u 181 240 1 sin pi x 181 240 7 u 2 419 2 u 2 419 1 c 2 u 3 420 1 2 u 2 419 1 u 1 418 1 h plot x u 1 linewidth 2 axis 0 1 1 1 set h EraseMode xor MarkerSize 18 for k 2 N set h XData x YData u 2 drawnow pause 0 1 12 u 2 419 3 2 u 2 419 2 u 2 419 1 c u 3 420 2 2 u 2 419 2 u 1 418 2 u 2 419 1 u 2 419 2 u 2 419 2 u 2 419 3 end 附录 2 1 function psi N 50 t 0 0 005 2 0 x 0 0 001 1 ww psi1fun1 N 0 h plot x ww linewidth 2 axis 0 1 0 1 0 1 sy for n 2 length t ww psi1fun1 N t n 13 set h ydata ww drawnow pause 1 5 sy sy sum ww end function wtx psi1fun1 N t x 0 0 001 1 a 1 wtx 0 for k 1 N Bk 2 k k pi pi cos 3 k pi 7 cos 4 k pi 7 wtx wtx Bk sin k pi t sin k pi x end 2 clear N 4025 dx 0 0024 dt 0 0005 c dt dt dx dx 14 x linspace 0 1 420 u 1 420 1 0 u 180 240 2 dt 0 5 h plot x u 1 linewidth 2 axis 0 1 1 1 set h EraseMode xor MarkerSize 18 fo