（江苏专用）2013年高考数学二轮复习学案（热点命题探究）专题2应用问题学案

专题专题 2 2 应应 用用 问问 题题 回顾 2008 2012 年的考题 2008 年第 17 题考查了三角函数解决简单的实际问题 2009 年第 19 题 考查了函数的实际应用 2010 年第 14 题考查了导数的实际应用 2011 年第 17 题考查了函数的实际应用 2012 年第 17 题考查了实际问题中的二次方程的应用 预测在 2013 年的高考题中 依然可能考查函数的实际应用 利用导数或基本不等式研究最值 也可能考查分类讨论的思想 1 某种细菌在培养过程中 每 20 分钟分裂一次 一个分裂为两个 经过 3 小时 这种细菌由 1 个 可繁殖成 个 解析 细菌数构成以 1 为首项 2 为公比的等比数列 an 由等比数列的通项公式可知 a10 210 1 512 答案 512 2 两个完全相同的长方体的长 宽 高分别为 5 cm 4 cm 3 cm 把它们重叠在一起组成一个新长 方体 在这些新长方体中 最长的对角线的长度是 解析 重叠为长 宽 高分别为 5 4 6 时 l 长 宽 高分别为 5 8 3 时 25 16 3677 l 长 宽 高分别为 10 4 3 时 l 5 故最长为 5 cm 25 64 998100 16 955 答案 5 cm 5 3 国家规定某行业收入所得税如下 年收入在 280 万元以及以下的税率是P 超过 280 万元的部分 按 P 2 征税 有一公司的实际缴税比例为 P 0 25 则该公司的年收入是 万元 解析 设年收入为x万元 则 280 P x 280 P 2 x P 0 25 即 1 75x 560 解得x 320 答案 320 4 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买x吨 运费为 4 万元 次 一年的总存储费用为 4x 万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x 吨 解析 某公司一年购买某种货物 400 吨 每次都购买x吨 则需要购买次 运费为 4 万元 次 400 x 一年的总存储费用为 4x万元 一年的总运费与总存储费用之和为 4 4x万元 4 4x 160 400 x 400 x 当且仅当 4x即x 20 吨时 一年的总运费与总存储费用之和最小 1 600 x 答案 20 5 2012 淮阴联考 将一个长宽分别是a b 0 b a 的铁皮的四角切去相同的正方形 然后折成一 个无盖的长方体的盒子 若这个长方体的外接球的体积存在最小值 则 的取值范围是 a b 解析 设减去的正方形边长为x 则长方体的长 宽 高分别为a 2x b 2x x其外接球直径的平 方 4R2 a 2x 2 b 2x 2 x2 9x2 4 a b x a2 b2 0 x 由题意得 0 a b b 2 2 9 b 2 解得 1 a b 5 4 答案 1 5 4 典例1 2012 常州检测 如图是一幅招贴画的示意图 其中ABCD是边长为2a的正方 形 周围是四个全等的弓形 已知O为正方形的中心 G为AD的中点 点P在直线 OG上 弧 AD是以P为圆心 PA为半径的圆的一部分 OG的延长线交弧AD于点H 设弧AD的长 为l APH 4 3 4 1 求l关于 的函数关系式 2 定义比值为招贴画的优美系数 当优美系数最大时 招贴画最优美 证明 当角 满足 OP l tan时 招贴画最优美 4 解 1 当 时 点P在线段OG上 AP 当 时 点P在线段 4 2 a sin 2 3 4 GH上 AP 当 时 AP a a sin a sin 2 综上所述 AP a sin 4 3 4 所以弧AD的长l AP 2 故所求函数关系式为l 2a sin 2a sin 4 3 4 2 当 时 OP OG PG a a 当 时 4 2 a tan acos sin 2 3 4 OP OG PG a a a 当 时 OP a a tan a tan acos sin 2 所以OP a acos sin 4 3 4 从而 OP l sin cos 2 记f sin cos 2 4 3 4 则f cos sin sin cos 2 2 令f 0 得 cos sin sin cos 因为 所以 cos sin 0 4 3 4 从而 sin cos cos sin 显然 所以 tan 2 sin cos cos sin tan 1 tan 1 4 记满足 tan的 0 下面证明 0是函数f 的极值点 4 设g cos sin sin cos 4 3 4 则g cos sin 0 即f 0 f 在上单调递增 4 0 4 0 当 时 g 0 即f 0 f 在上单调递减 0 3 4 0 3 4 故f 在 0处取得极大值 也是最大值 所以当 满足 tan时 函数f 即取得最大值 此时招贴画最优美 4 OP l 本题的难度不在于函数模型的建立 而是在于利用导数解决函数的最值问题 求解时要注意极值点 是否在所研究的范围内 演练1 2012 南通二模 如图 矩形ABCD中 AB 3 AD 2 一质点从AB边上的点P0出发 沿与AB的夹 角为 的方向射到边BC上点P1后 依次反射 入射角与反射角相等 到边CD DA和AB上的P2 P3 P4 处 1 若P4与P0重合 求 tan 的值 2 若P4落在A P0两点之间 且AP0 2 设 tan t 将五边形P0P1P2P3P4的面积S表示为t的函 数 并求S的最大值 解 1 设P0B x0 则P1B x0tan P1C 2 x0tan P2C x0 P1C tan 2 x0tan tan 2 tan P2D 3 x0 2 tan P3D 3 x0 tan 2 P3A 4 3 x0 tan AP4 3 x0 4 tan 由于P4与P0重合 AP4 P0B 3 所以 6 4 tan 即 tan 2 3 2 由 1 知 可知AP4 4 4 tan 因为P4落在A P0两点之间 所以 tan 1 2 3 即 t 1 2 3 S S四边形ABCD S P0BP1 S P1CP2 S P2DP3 S P3AP4 6 tan 2 tan 4tan 2 4 4tan 1 2 1 2 2 tan 1 1 2 4 2 tan 1 2 4 tan 4 32 32 17tan 12 tan 17t 12 t 由于 t0 12 v 2 y 30cv 2 2 2 2 12 12 v 30cv 12 v10c 当且仅当 30cv 即v 时取等号 12 v 2 5c 当 5 即c 时 v 时 y的最小值为 2 12 2 5c 2 125 2 5c10c 当 5 即c 时 y 30c 0 2 5c 2 125 12 v2 30cv2 12 v2 因此函数y 30cv 2 在 0 5 上为减函数 12 v 所以当v 5 时 y的最小值为 150c 22 5 综上 当c 时 下潜速度为时 用氧量最小为 2 12 2 125 2 5c10c 当 0 c 时 下潜速度为 5 时 用氧量最小为 150c 2 125 22 5 典例3 2012 淮阴中学 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后 发现一天中环 境综合放射性污染指数f x 与时刻x 时 的关系为f x 2a x 0 24 其中a是与 x x2 1 a 2 3 气象有关的参数 且a 若用每天f x 的最大值为当天的综合放射性污染指数 并记作M a 0 1 2 1 令t x 0 24 求t的取值范围 x x2 1 2 省政府规定 每天的综合放射性污染指数不得超过 2 试问目前市中心的综合放射性污染指数是 否超标 解 1 当x 0 时 t 0 当 0 x 24 时 x 2 当x 1 时取等号 1 x t x x2 1 1 x 1 x 0 1 2 即t的取值范围是 0 1 2 2 当a 时 记g t t a 2a 0 1 2 2 3 则g t Error Error g t 在 0 a 上单调递减 在上单调递增 a 1 2 且g 0 3a g a g 0 g 2 2 3 1 2 7 6 1 2 a 1 4 令M a Error Error 即M a Error Error 当且仅当a 时 M a 2 4 9 故当 0 a 时不超标 当 a 时超标 4 9 4 9 1 2 本题主要考查分段函数的概念 考查数学建模能力 数学阅读能力及解决实际问题的能力 演练3 如图 在半径为 30 cm 的半圆形 O为圆心 铝皮上截取一块矩形材料ABCD 其中点A B在直径上 点C D在圆周上 1 怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大 并求最大面积 2 若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面 不计剪裁和拼接损耗 应怎样截取 才能使做出的圆柱形罐子的体积最大 并求最大体积 解 1 连结OC 设BC x 矩形ABCD的面积为S 则AB 2 900 x2 其中 0 x 30 所以S 2x 2 900 x2x2 900 x2 x2 900 x2 900 当且仅当x2 900 x2 即x 15时 2 S取最大值为 900 所以当取BC为 15 cm 时 2 矩形ABCD的面积最大 最大值为 900 cm2 2 设圆柱底面半径为r 高为x 体积为V 由AB 2 2 r 得r 900 x2 900 x2 所以V r2h 900 x x3 其中 0 x 30 1 令V 900 3x2 0 得x 10 1 3 由此V 900 x x3 在 0 10 上是增函数 在 10 30 上是减函数 1 33 所以当x 10时 V的最大值为 3 60003 所以取BC为 10 cm 时 做出的圆柱形罐子体积最大 最大值为 cm3 3 60003 专题技法归纳 求解数学应用题的突破口在于阅读与转译 我们可以从四个方面入手 1 划分题目的层次 应用题题目篇幅长 信息容量大 涉及知识点多 划分好层次是审题的关键 2 领会关键词语 领会定义的内涵和外延是解决问题的关键 3 重视条件转译 准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤 也是分步解应用题采点得 分原则的具体体现 注意将条件公式化 符号化 使条件和结论相互靠拢 与图形有关的应用题注意数 形结合 4 弄清题图联系 分清题目条件与图形元素间的对应关系 也是审题过程中不可缺少的环节 1 将长度为 1 的铁丝分成两段 分别围成一个正方形和一个圆形 要使正方形与圆的面积之和最小 正方形的周长应为 解析 设正方形的周长为x 0 x 1 则圆的周长为 1 x 则S 2 2 x2 x 4 1 x 2 1 16 1 4 x 当x 时 S取最小值 1 2 1 4 1 2 2 1 16 1 4 4 4 答案 4 4 2 某企业 2012 年 12 月份的利润是这年 1 月份利润的p倍 则该企业 2012 年年度利润的月平均增 长率是 解析 设月平均增长率为x 则 1 x 11 p x 1 11 p 答案 1 11 p 3 某商场对顾客实行购物优惠活动 规定一次购物付款总额 1 如果不超过 200 元 则不予优惠 2 如果超过 200 元但不超过 500 元 则按标价给予 9 折优惠 3 如果超过 500 元 其 500 元按第 2 条 给予优惠 超过 500 元的部分给予 7 折优惠 某人两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 假设他只去 一次购买上述同样的商品 则应付款是 解析 所买商品实际总价格为 168 168 470 638 元 一次购买上述商品应付款 423 0 9 500 0 9 138 0 7 546 6 元 答案 546 6 元 4 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为L1 5 06x 0 15x2和L2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售 15 辆车 则能获得的最大利润为 解析 设在甲地销售x辆 x N N x 15 则总利润y 5 06x 0 15x2 2 15 x x2 x 30 图象的对称轴x 所以当甲地销 10 辆 乙地销售 5 辆时 获得最大利润为 3 20 153 50 51 5 5 06 10 0 15 100 2 5 45 6 万元 答案 45 6 万元 5 现有水平截面如图 1 的一个家具 已知 B C E F BAF CDE CD DE 2 m BA AF 家具在水平状态下 通过如图 2 2 5 6 的走道搬入空间足够大的房间 搬运过程中不准拆卸家具 也不准破坏墙壁 则走道的宽度a必须大于 m 解析 由题意可知 CD BA DE AF 连结CE 则过A点作AH CE于点 H 其中AH必过点D 当走道的宽度大于家具中AH的长即可通过 根据家具的对 称性 在 Rt CDH中 CD 2 CDH 5 12 HD CD cos 作DK AB于点K 在 Rt ADK中 DK 0 5 DAK 5 12 6 2 2 5 12 则AD 其中AH AD DH 故走道的宽度a必 DK sin 5 12 6 2 2 6 2 2 6 2 262 须大于 m 62 答案 62 6 某实验室需购某种化工原料 106 千克 现在市场上该原料有两种包装 一种是每袋 35 千克 价 格为 140 元 另一种是每袋 24 千克 价格为 120 元 在满足需要的条件下 最少要花费 元 解析 从单价上考虑 每袋 35 千克的单价要低于每袋 24 千克的单价 故应优先考虑购买每袋 35 千 克的包装 设每袋 35 千克的包装购买x袋 每袋 24 千克的包装购买y袋 则有 当x 4 时 y 0 这时共购进化工原料 140 千克 需要花费 140 4 560 元 当x 3 时 y 1 这时共购进化工原料 129 千克 需要花费 540 元 当x 2 时 y 2 这时共购进化工原料 118 千克 需要花费 520 元 当x 1 时 y 3 这时共购进化工原料 107 千克 需要花费 500 元 综上 在满足需要的条件下 最少要花费 500 元 答案 500 7 一个球从 100 米高处自由落下 每次着地后又跳回到原高度的一半再落下 当它第 5 次落在地面 上时 经过了 米 解析 小球经过的路程为 s 100 2 100 2 100 2 3 100 2 4 100 1 2 1 4 1 2 1 2 287 5 米 答案 287 5 8 某旅店共有客床 100 张 每床每晚收费 10 元时可全部客满 若每床每晚收费提高 2 元 便减少 10 张客床租出 再提高 2 元 则又减少 10 张客床租出 依此变化 为了减少投入 多获利 每床每晚收 费应提高 元 解析 设每床每晚收费增加x元 则总收入y与x之间的关系为y 10 x 100 5x 5 x2 10 x 200 2 4 6 所以当x 4 或 6 时y取最大值 即每床每晚收费提高 4 元或 6 元时 获利相等且最大 考虑到投入较少 即出租的床位较少又获利最大 取x 6 元 答案 6 9 一只小船以 10 m s 的速度由南向北匀速驶过湖面 在离湖面高 20 m 的桥上 一辆汽车由西向东 以 20 m s 的速度前进 如图 现在小船在水平面P点以南的 40 m 处 汽车在桥上以西Q点 30 m 处 其 中PQ 水面 则小船与汽车间的最短距离为 不考虑汽车与小船本身的大小 解析 设经过时间t汽车在A点 船在B点 如图 则 AQ 30 20t BP 40 10t PQ 20 且有AQ BP PQ AQ PQ PB 设小船所在平面为 AQ QP确 定平面为 记 l 由AQ AQ 得AQ l 又AQ PQ 得PQ l 又PQ PB 及 l PB P得PQ 作AC PQ 则AC 连CB 则AC CB 进而AQ BP CP AQ得CP BP AB2 AC2 BC2 PQ2 PB2 PC2 202 40 10t 2 30 20t 2 100 5 t 2 2 9 t 2 时AB最短 最短距离为 30 m 答案 30 m 10 某人用 10 万元买了一辆小汽车用来跑出租 已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用 第n年 的保养维修费为 2 000 n 1 元 使用它直到 报废最合算 所谓 报废最合算 是指使用的这辆汽车 的年平均耗资最