高考数学 考前最后一轮基础知识巩固之第七章 第1课 空间几何体

1 第第 1 1 课课 空间几何体空间几何体 考点导读 1 观察认识柱 锥 台 球及其简单组合体的结构特征 并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结构 2 能画出简单空间图形 长方体 球 圆柱 圆锥 棱柱等的简易组合 的三视图 能识 别上述的三视图所表示的立体模型 会用斜二侧法画出它们的直观图 3 通过观察用两种方法 平行投影与中心投影 画出的视图与直观图 了解空间图形的不 同表示形式 4 了解球 棱柱 棱锥 台的表面积和体积的计算公式 基础练习 1 一个凸多面体有 8 个顶点 如果它是棱锥 那么它有 14 条棱 8 个面 如果它是棱柱 那么它有 12 条棱 6 个面 2 2 是正的斜二测画法的水平放置图形的直观图 若的面积为 A B C ABC A B C 3 那么的面积为 ABC 2 6 3 1 如图 在正四面体 A BCD 中 E F G 分别是三角形 ADC ABD BCD 的中心 则 EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 2 如图 E F分别为正方体的面ADD1A1 面BCC1B1的中心 则四边形BFD1E在该正方体 的面上的射影可能是图的 要求 把可能的图的序号都填上 4 一个圆锥的侧面积是其底面积的 2 倍 则该圆锥的母线与底面所成的角为 60 5 两个完全相同的长方体的长 宽 高分别为 5cm 4cm 3cm 把它们重叠在一起组成一个 新长方体 在这些新长方体中 最长的对角线的长度是 5 5cm 范例导析 A BC D EF G 2 例例 1 1 1 下列结论中 正确的是 1 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 2 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥 3 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则该棱锥可能是六棱锥 4 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线 2 下列命题中 假命题是 1 3 选出所有可能的答案 1 有两个面互相平行 其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 2 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 3 有两个面互相平行 其余各面都是梯形的多面体是棱台 4 若一个几何体的三视图都是矩形 则这个几何体是长方体 分析 分析 准确理解几何体的定义 真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键 1 4 是正确的 1 中可以是把两个三棱锥叠放在一起构成的几何体 各面都是三角 形 但不是三棱锥 2 中要取决于三角形的形状 以及旋转方式 比如等腰直角三角形中 以直角边为旋转轴进行旋转就不是圆锥 3 中若棱锥的所有棱都相等 则底面多边形是正 六边形 由几何图形可知 若以正六边形为底面 侧棱长必然要大于底面边长 2 1 和 3 是错误的 1 中将两个斜棱柱对接在一起就是反例 3 中是不是棱 台还要看侧棱的延长线是否交于一点 点评 点评 对于概念判断的类型 举反例是非常有效的方法 例例 2 2 是正 ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图 若的面积为 CBA CBA 3 那么 ABC的面积为 解析 解析 62 点评 点评 该题属于斜二测画法的应用 解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对 应关系 特别底和高的对应关系 例例 3 3 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体的一个顶点 A 在平面 内 其余顶点在的同侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到的距离分别为 1 2 和 4 P 是正方体的其余四个顶点中的一个 则 P 到平面的距离可能是 3 4 5 6 7 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 解析 解析 如图 B D A1到平面的距离分别为 1 2 4 则 D A1的中 点到平面的距离为 3 所以 D1到平面的距离为 6 B A1的中点到 平面的距离为 所以 B1到平面的距离为 5 则 D B 的中点到 5 2 平面的距离为 所以 C 到平面的距离为 3 C A1的中点到平面 3 2 的距离为 所以 C1到平面的距离为 7 而 P 为 C C1 B1 D1 7 2 中的一点 所以选 点评 点评 该题将计算蕴涵于射影知识中 属于难得的综合题目 例例 4 4 1 画出下列几何体的三视图 A B C D A1B1 C1 D1 A1 2 3 2 某物体的三视图如下 试判断该几何体的形状 分析 分析 三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图 解析 解析 1 这两个几何体的三视图分别如下 2 该几何体为一个正四棱锥 点评 点评 画三视图之前 应把几何体的结构弄清楚 选择一个合适的主视方向 一般先画主视 图 其次画俯视图 最后画左视图 画的时候把轮廓线要画出来 被遮住的轮廓线要画成虚 线 物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律 主视图反映物体的主要形状特征 主要体现物体的长和高 不反映物体的宽 而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等 左 视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等 据此就不难得出该几何体的形状 例例 5 5 如图 在四面体 ABCD 中 截面 AEF 经过四面体的内切球 与四个面都相切的球 的球 心 O 且与 BC DC 分别交于 E F 如果截面将四面体分成体积相等的两部分 设四棱锥 A BEFD 与三棱锥 A EFC 的表面积分别是 S1 S2 则 S1 S2的大小关系是 S1 S2 解析 解析 连 OA OB OC OD 则 VA BEFD VO ABD VO ABE VO BEFD VA EFC VO ADC VO AEC VO EFC 又 VA BEFD VA EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径 故 SABD SABE SBEFD SADC SAEC SEFC 又面 AEF 公共 故选 C 点评 点评 该题通过复合平面图形的分割过程 增加了题目处理的难度 求解棱锥的体积 表面 积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系 备用题 备用题 1 1 如图所示 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB 5 AD 4 AA1 3 AB AD A1AB A1AD 3 1 求证 顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在 BAD 的平分线上 2 求这个平行六面体的体积 D O C E F B A 4 图 1 正视图侧视图 俯视图 图 2 俯视图 A A B B C C 2 3 图 3 图 2 解析 1 如图 2 连结 A1O 则 A1O 底面 ABCD 作 OM AB 交 AB 于 M 作 ON AD 交 AD 于 N 连结 A1M A1N 易得 A1M AB A1N AD A1AM A1AN Rt A1NA Rt A1MA A1M A1N 从而 OM ON 点 O 在 BAD 的平分线上 2 AM AA1cos 3 AO 3 2 1 2 3 4 cos AM 2 2 3 又在 Rt AOA1中 A1O2 AA12 AO2 9 2 9 2 9 A1O 平行六面体的体积为 2 23 2 23 45 V230 2 2 如图 1 是一个几何体的三视图 想象它的几何结构特征 并说出它的名称 变式题变式题 1 1 如图 2 是一个几何体的三视图 单位 cm 画出这个几何体的直观图 不要求写画法 求这个几何体的表面积及体积 设异面直线与所成的角为 求 AA BC cos 解 这个几何体的直观图如图 3 所示 这个几何体是直三棱柱 由于底面的高为 1 所以 ABC 22 112AB 故所求全面积22 ABCBB C CABB A SSSS 正视图侧视图 A B B A B C A B C A B C 1 23 1 1 3 A 5 1 22 1 3 22 3286 2 2 2 cm 这个几何体的体积 1 2 1 33 2 ABC VSBB 3 cm 因为 所以与所成的角是 AABB AA BC B BC 在中 Rt BB C 2222 3213BCBBB C 故 33 cos13 1313 BB BC 反馈演练 1 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形 这个圆柱的全面积与侧面积的比是 2 21 2 如图 一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水 若放入一个半径为r的实心铁球 水面高度恰好升高r 则 r R 3 32 解析 水面高度升高r 则圆柱体积增加 R2 r 恰好是半径为r的实心铁球的体积 因此 有 r3 R2r 故 答案为 3 4 3 32 r R 3 32 点评 本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析 解决问题的能力 3 在 ABC中 AB 2 BC 1 5 ABC 120 如图所示 若将 ABC绕直线BC旋转 一周 则所形成的旋转体的体积是 2 3 4 如图所示 OA是圆锥底面中心O到母线的垂线 OA绕轴旋转一周所得曲 面将圆锥分成相等的两部分 则母线与轴的夹角的余弦值为 4 2 1 5 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等 则该棱锥一定不是 六棱锥 6 正四棱柱的底面边长为 高为 一蚂蚁从顶点出发 沿正四棱柱的表面爬a bab A 6 到顶点 那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 1 C 22 4ba 7 空间四边形中 分别是边上ABCD8 AC12 BDHGFE DACDBCAB 的点 且为平行四边形 则四边形的周长的取值范围是EFGHEFGH 24 16 8 设棱长为 4 的平行六面体的体积为 分别是棱 1111 DCBAABCD VGFE 1 AAADAB 上的点 且 则三棱锥的体积 321 AGAFAE EFGA V 64 V 9 一个透明密闭的正方体容器中 恰好盛有该容器一半容积的水 任意转动这个正方体 则水面在容器中的形状可以是 1 三角形 2 菱形 3 矩形 4 正方形 5 正六边 形 其中正确的结论是 2 3 4 5 把你认为正确的序号都填 上 10 三棱锥中 其余棱长均为 1 ABCP xPC 1 求证 ABPC 2 求三棱锥的体积的最大值 ABCP 解 1 取中点 与均为正三角形 ABM PAB CAB CMABPMAB 平面 ABPCM PCAB 2 当平面时 三棱锥的高为 PMABCPM 此时 8 1 2 3 4 3 3 1 3 1 max PMSV ABC 11 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆 它被过底面中心 O1且平行于母线 AB 的平面所截 若截面与圆锥侧面的交线是焦参数 焦点到准线的距离 为 p 的抛物线 1 求圆锥的母线与底面所成的角 2 求圆锥的全面积 解解 1 设圆锥的底面半径为 R 母线长为l 由题意得 Rl 2 即 2 1 cos 1 l R ACO 所以母线和底面所成的角为 600 2 设截面与圆锥侧面的交线为 MON 其中 O 为截面与 AC 的交点 则 OO1 AB 且 2 1 1 ABOO 在截面 MON 内 以 OO1所在有向直线为 y 轴 O 为原点 建立坐标系 则 O 为抛物线的顶点 所以抛物线方程为 x2 2py 点 N 的坐标为 R R 代入方程得 R2 2p R 得 R 2p l 2R 4p 圆锥的全面积为 2222 1248pppRRl