（新课标）高中数学《2.1.1合情推理》导学案 新人教A版选修2-2

2 1 1 2 1 1 合情推理 合情推理 1 1 学习目标 1 结合已学过的数学实例 了解归纳推理的含义 2 能利用归纳进行简单的推理 体会并 认识归纳推理在数学发现中的作用 学习过程 一 课前准备 预习教材P28 P30 找出疑惑之处 在日常生活中我们常常遇到这样的现象 1 看到天空乌云密布 燕子低飞 蚂蚁搬家 推断天要下雨 2 八月十五云遮月 来年正月十五雪打灯 以上例子可以得出推理是 的思维过程 二 新课导学 学习探究 探究任务 归纳推理归纳推理 问题 1 哥德巴赫猜想 观察 6 3 3 8 5 3 10 5 5 12 5 7 12 7 7 16 13 3 18 11 7 20 13 7 50 13 37 100 3 97 猜想 问题 2 由铜 铁 铝 金等金属能导电 归纳出 新知 归纳推理就是由某些事物的 推出该类事物的 的推理 或者由 的推理 简言之 归纳推理是由 的推理 典型例题典型例题 例 1 观察下列等式 1 3 4 2 2 1 3 5 9 2 3 1 3 5 7 16 2 4 1 3 5 7 9 25 2 5 你能猜想到一个怎样的结论 变式 观察下列等式 1 1 1 8 9 1 8 27 36 1 8 27 64 100 你能猜想到一个怎样的结论 例 2 已知数列的第一项 且 试归纳出这个数列的 n a 1 1a n n n a a a 1 1 1 2 3 n 通项公式 变式 在数列 中 试猜想这个数列的通项公式 n a 11 2 nn n aa a 2n 动手试试 练 1 应用归纳推理猜测的结果 11112222 练 2 在数列 中 试猜想这个数列的通项公式 n a 1 1a 1 2 2 n n n a a a nN 三 总结提升 学习小结 1 归纳推理的定义 2 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同 性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 知识拓展 1 费马猜想 法国业余数学家之王 费马 1601 1665 在 1640 年通过对 0 2 0 213F 的观察 发现其结 1 2 1 215F 2 2 2 2117F 3 2 3 21257F 4 2 4 2165 537F 果都是素数 提出猜想 对所有的自然数 任何形如的数都是素数 后来瑞士n 2 21 n n F 数学家欧拉发现不是素数 推翻费马猜想 5 2 5 214 294 967 297641 6 700 417F 2 四色猜想 1852 年 毕业于英国伦敦大学的弗南西斯 格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时 发现了一种有趣的现象 每幅地图都可以用四种颜色着色 使得有共同边界的 国家着上不同的颜色 四色猜想成了世界数学界关注的问题 1976 年 美国数学家阿佩尔 与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上 用 1200 个小时 作了 100 亿逻辑 判断 完成证明 学习评价 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 下列关于归纳推理的说法错误的是 A 归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B 归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C 归纳推理得出的结论具有或然性 不一定正确 D 归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2 若 下列说法中正确的是 2 41 f nnnnN A 可以为偶数 B 一定为奇数 f n f n C 一定为质数 D 必为合数 f n f n 3 已知 猜想的表达式为 2 1 1 1 2 f x f xf f x xN f x A B 4 22 x f x 2 1 f x x C D 1 1 f x x 2 21 f x x 4 经计算得 111 1 23 f nnN n 猜测当时 有 357 2 4 2 8 16 3 32 222 fffff 2n 5 从中得出的一般性结论是 222 11 2343 345675 课后作业 1 对于任意正整数 n 猜想与的大小关系 21 n 2 1 n 2 已知数列 的前n项和 满足 计算并 n a n S 1 2 3 a 1 2 2 nn n Sa n S 1234 S SS S 猜想的表达式 n S 2 1 1 合情推理 2 学习目标 1 结合已学过的数学实例 了解类比推理的含义 2 能利用类比进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 学习过程 一 课前准备 预习教材 找出疑惑之处 1 已知 考察下列式子 0 1 2 i ain 1 1 1 1i a a 12 12 11 4iiaa aa 我们可以归纳出 对也成立的类似不等式为 123 123 111 9iiiaaa aaa 12 n a aa 2 猜想数列的通项公式是 1111 1 33 5 5779 二 新课导学 学习探究 鲁班由带齿的草发明锯 人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇 地球上有生命 火 星与地球有许多相似点 如都是绕太阳运行 绕轴自转的行星 有大气层 也有季节变更 温度也适合生物生存 科学家猜测 火星上有生命存在 以上都是类比思维 即类比推理 新知 类比推理就是由两类对象具有 和其中 推出另一类对象也具有这些特征的推理 简言之 类比推理是由 到 的推理 典型例题典型例题 例 1 类比实数的加法和乘法 列出它们相似的运算性质 类比 角度 实数的加法实数的乘法 运算 结果 运算律 逆运算 单位元 变式 找出圆与球的相似之处 并用圆的性质类比球的有关性质 圆的概念和性质球的类似概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦 非直径 中点的连线垂直于 弦 与圆心距离相等的弦长相等 与圆心距 离不等的两弦不等 距圆心较近的弦较长 以点为圆心 r为半径的圆的方 00 xy 程为 222 00 xxyyr 例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 变式 用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质 三角形四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一 半 三角形的面积为 r为 1 2 Sabc r 三角形内切圆的半径 新知新知 和 都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再 进行 然后提出 的推理 我们把它们统称为合情推理 一般说合情推理 所获得的结论 仅仅是一种猜想 未必可靠 动手试试 练 1 如图 若射线OM ON上分别存在点与点 则三角形面积之比 12 M M 12 N N 若不在同一平面内的射线OP OQ上分别存在点 点和点 11 22 11 22 OM N OM N S OMON SOMON 12 P P 12 Q Q 则类似的结论是什么 12 R R 练 2 在中 不等式成立 在四边形ABCD中 不等式ABC 1119 ABC 成立 在五边形ABCDE中 不等式成立 猜想 111116 2ABCD 1111125 3ABCDE 在n边形中 有怎样的不等式成立 12n A AA 三 总结提升 学习小结 1 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性 质去推测另一类事物的性质得出一个命题 猜想 3 合情推理仅是 合乎情理 的推理 它得到的结论不一定真 但合情推理常常帮我 们猜测和发现新的规律 为我们提供证明的思路和方法 知识拓展 试一试下列题目 1 南京 江苏 A 石家庄 河北 B 渤海 中国 C 泰州 江苏 D 秦岭 淮河 2 成功 失败 A 勤奋 成功 B 懒惰 失败 C 艰苦 简陋 D 简单 复杂 3 面条 食物 A 苹果 水果 B 手指 身体 C 菜肴 萝卜 D 食品 巧克力 学习评价 当堂检测当堂检测 时量 5 分钟 满分 10 分 计分 1 下列说法中正确的是 A 合情推理是正确的推理 B 合情推理就是归纳推理 C 归纳推理是从一般到特殊的推理 D 类比推理是从特殊到特殊的推理 2 下面使用类比推理正确的是 A 若 则 类推出 若 则 33ab ab 00ab ab B 若 类推出 ab cacbc a b cac bc C 若 类推出 c 0 ab cacbc abab ccc D 类推出 nn aa b n b nn aab n b 3 设 sin 010 xfxfxxf n N 则 21 fxfx 1 nn fxfx 2007 fx A B sin xsin x C D cosxcosx 4 一同学在电脑中打出如下若干个圆 若将此若干个圆按此规律继续 下去 得到一系列的圆 那么在前 2006 个圆中有 个黑圆 5 在数列 1 1 2 3 5 8 13 x 3