第二章 稳态热传导(导热理论基础).ppt

第二章稳态热传导 导热理论基础 一 概述二 傅里叶 J Fourier 定律三 导热系数四 导热微分方程五 导热微分方程的单值性条件六 解决一具体导热问题的一般步骤 主讲人 导热理论基础 一 概述 一般我们认为 导热是发生在物体中的宏观现象 故将物质看作是连续介质 导热基础理论的主要任务 1 找出物体内温度与时间 空间的关系式 即求解温度场 2 找出物体内温度分布与换热量的普遍联系式 即傅里叶定律 二 傅里叶 J Fourier 定律 1 基本概念 1 温度场 物体某一时刻其内各点的温度分布 t f x y z 上式为三维非稳态温度场 当 t 0时 称为三维稳态温度场 即 t f x y z 若温度场仅和二个或一个坐标有关时则为二维或一维稳态温度场 即t f x y 或 t f x 具有稳态温度场的导热过程我们常称之为稳态导热 具有非稳态温度场的导热过程我们常称之为非稳态导热 导热理论基础 a 等温面 同一时刻温度场中所有温度相同的点构成的面 b 等温线 不同的等温面与同一平面相交 在此平面上构成的一簇曲线 c 特点 不同的等温面 线 不可能相交 它们或者是完全封闭的曲面 线 或者终止于物体的边界上 沿等温面 线 无热量传递 等温面 线 的疏密可直观反映出不同区域温度梯度 或热流密度 的相对大小 二 傅里叶 J Fourier 定律 1 基本概念 2 等温面与等温线 温度场习惯上用等温面图或等温线图来表示 如图2 1 等温线 导热理论基础 二 傅里叶 J Fourier 定律 1 基本概念 3 温度梯度gradt 两等温面间的温差 t与其法线方向的距离 n比值的极限 在单位距离内温度沿法线方向上的变化值最大 最显著 此时的温度变化率称之为温度梯度 即 t t t t t t1 t3 t t2 4 温度梯度的方向 法线方向 指向温度升高的方向 5 热流密度向量 与温度梯度的方向相反 指向温度降低的方向 垂直于等温面 线 写成空间直角坐标系形式有 导热理论基础 二 傅里叶 J Fourier 定律 2 傅里叶 J Fourier 定律 在导热现象中 单位时间内通过给定面积的传热量 正比例于该处垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度 其数学表达式为 几点问题 1 负号表示热量传递指向温度降低的方向 与温度梯度方向相反 2 温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因 3 适用范围 傅里叶定律是一个实验定律 是导热现象经验的规律性总结 普遍适用各种导热现象 即不论是否变物性 a bt 有无内热源 是否非稳态 不论物体几何形状如何 也不论物质的形态 固 液 气 其都适用 4 现实意义 只要已知温度场 则可由傅里叶定律求出传热量 故求解导热问题的关键是求解物体中的温度分布 给求解温度场 导热理论基础 三 导热系数 1 定义表达式 q gradt2 物理意义 表征物质导热能力的大小 数值上等于单位温度降度单位时间单位面积的导热量 3 单位 通过量纲分析有 W m 4 由来 一般用实验方法测得 5 特性 是物性参数 它的大小起决于物质的种类和热力状态 一般工程中仅认为与温度呈线性关系 即 0 a bt 0为0 时导热系数6 隔热保温材料 热绝缘材料 室温条件下 20 时 值小于0 12W m 的材料 如 岩棉 膨胀珍珠岩等 特点是 a 多为多孔体或纤维体材料 b 间隙中多充满气体 c 严格讲不能视为连续介质 d 间隙的无限加大并不能提高保温能力 e 湿度的增加使其保温能力大大下降 7 20 时典型材料的 W m 铜399碳钢40水0 599干空气0 0259一般 金属材料的 最大 非金属固体材料次之 液体更次之 而气体最小 导热理论基础 1 目的 建立物体内温度与时间 空间的普遍联系式 2 原理 热力学第一定律与傳里叶定律 3 假定 a 物质为各向同性的连续介质 b 已知 cc 有内热源qv qv为单位体积单位时间内所产生的热量 单位为 W m34 推导 如图取任一微元体dv且dv dxdydz 则有 四 导热微分方程 dz dx dy x y z 内热源qv z dz z x x dx y y dy 导热理论基础 四 导热微分方程对此微元体应用热力学第一定律 导入微元体的热量 导出微元体的热量 内热源发热量 A B 热力学能增量 A部 C 沿x轴方向 x截面 x qx dydzx dx截面 x dx qx dx dydz因qx是x的函数 且在x至x dx区间内连续可微 据泰勒级数有 忽略高阶无穷小量 仅取级数前两项有 代入x dx截面有 x dx qx dydz qx x dxdydz 故沿x轴方向微元体导热的净热流量为 x x dx qx x dxdydz同理 导热理论基础 四 导热微分方程 沿y轴方向导入微元体的净热量为 y y dy qy y dxdydz 沿z轴方向导入微元体的净热量为 z z dz qz z dxdydz故A部 即微元体导热的净热量 为 A qx x qy y qz z dxdydz据傳里叶定律有 qx t xqy t yqz t z代入上式有 B部 B qvdxdydz C部 C c t dxdydz 导热理论基础 四 导热微分方程据A B C 整理消去dxdydz有 上式即为一般的导热微分方程式 若材料为常物性 即 c均为常数 且令 c有 或写成 式中 2为拉普拉斯运算符 上式即常用的导热微分方程 物性参数为常数且温度场稳态时 温度场稳态且无内热源时 另外可通过坐标变换 将导热微分方程写成圆柱坐标或球坐标形式 请见式2 12 13 物性参数为常数且无内热源时 导热理论基础 四 导热微分方程5 导温系数 热扩散率 定义 物体被加热或冷却时 物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力 表达式 c 单位 m2 s 物理意义讲析 常温常压下 水 0 599w m 空 0 0259w m 水 空 23而 水 1 43 10 7m2 s 空 2 14 10 5m2 s 空 水 160 5 4 3 2 1 导热理论基础 五 导热微分方程的单值性条件 定解条件 使导热微分方程有唯一解的条件即为单值性条件 1 时间条件 又称初始条件 稳态导热 过程与时间无关 即 t 0 无此条件 非稳态导热 即已知初始时刻物体内温度场 常写作 t 0 f x y z 若初始时各点温度相等 则有 t 0 t0 常数2 边界条件 反映了导热物体边界上的温度或与边界周围环境发生热过程的情况 往往是发生导热现象的直接原因 常被分为第一 二 三等3类条件 导热理论基础 五 导热微分方程的单值性条件2 边界条件 第一类边界条件 已知物体边界上的温度值 即t s twa 稳态时 tw不随时间改变 tw Constor tw f x y z 且 x y z sb 非稳态时 tw随时间改变 tw f x y z 且 x y z s例如 一维稳态无限大平壁有 t x 0 tw1t x tw2对于二 三维稳态温度场 因其边界面不止两个 此时应给出各个边界面的温度值 tw1 tw2 t x o 导热理论基础 五 导热微分方程的单值性条件2 边界条件 第二类边界条件 已知任何时刻边界面上的热流密度值 即已知边界上的温度变化率 但并不已知温度分布 即 q s qwor t n s qw a 稳态时 qw 常数b 非稳态时 qw t n s f 例如 肋片根部的边界情况即x 0处 其热流通量具有稳定值q0 即 t x x 0 q0 肋片顶部 当x l 时 可忽略顶端与周围流体的换热量 而认为此处绝热 即ql 0 此时即相于已知此处第二类边界条件 t x x l 0 q0 t x x 0 导热理论基础 五 导热微分方程的单值性条件2 边界条件 第三类边界条件 已知物体边界处与周围流体的换热系数h以及流体的温度tf 即 t n s h t s tf 其中 对于稳态导热时 h tf将不随时间变化 对于非稳态导热时 h tf可以是时间的函数 即 h f1 tf f2 如上图当肋片顶端与周围流体的对流换热量不能忽略时 此边界条件即为第三类边界条件 可写成 t x x l h t x l tf 第三类边界条件与第一 二类边界条件区别是 t n s t s均未知 但知道其两者间的函数关系式 导热理论基础 五 导热微分方程的单值性条件综上所述 要