数学建模公司运动鞋生产调度问题

乐山师范学院乐山师范学院 20122012 年年 数学建模竞赛论文数学建模竞赛论文 选选 题 题 A A 题题 论文名称 论文名称 运动鞋生产调度问题运动鞋生产调度问题 学学 院 院 数信学院数信学院 参赛组别 参赛组别 本科组本科组 组组 员 员 郭郭 敏敏 10 10 级级 王王 杨杨 10 10 级级 丁向东丁向东 10 10 级级 电电 话 话 电子邮箱 电子邮箱 提交日期 提交日期 2012 5 212012 5 21 运动鞋生产调度问题运动鞋生产调度问题 摘要摘要 企业内部的生产计划有各种不同的情况 生产环节多 协作关系复杂 生产 连续性强 情况变化快 加强生产调度工作 对于及时了解 掌握生产进度有非 常重要的作用 实际生产中除了要考虑成本 库存等与产量有关的费用 还要考 虑生产这种产品所需要的时间 生产设备的检修等因素 针对鞋厂生产计划问题 本 文全面分析了题目所给的信息和数据 并建立了动态优化模型 整数线性规划 模型 以每月的正常生产量和加班生产量为决策变量 以市场最大需求量 库存 生产能力 即工时 的限制为约束条件 合理安排生产从而达到本季度利润最大 的目标 因此 我们在解决问题一时建立了整数线性规划模型 模型 即问题一通过在 LINGO 软件中编程求出了最优解 如下表 针对问题二 首先考虑一种运动鞋的生产库存费用 再考虑 m 种运动鞋的生 产库存费用 考虑一种运动鞋时生产库存费用的求法在第一问中已解决 只需将 第一问中 4 个月改为 n 个月即可 根据每个月的运动鞋需求量和生产能力建立约 束条件 所以就可求出生产库存费用的目标函数 根据目标函数和约束条件可建 立模型 如模型 I I 问题三在第二问的基础上 算法有相似之处 只是在计算库存费用时 在 n 取 2 m 取 2 的基础上 将不考虑发货的库存费用改为生产的鞋应付的库存费用 加上最初已有的鞋应付的库存费用 通过 LINGO 软件编程求出最优解 如下表 型号 月份 第一型号运动鞋第二型号运动鞋 正常工 作 双 加班工 作 双 正常工作 双 加班工作 双 生产库存 费用 元 一月 8004090 二月 8070050 18000 由于模型 和模型 都是整数线性规划模型 用 LINDO 软件求解非常方便 对实际问题来说 还有很多的因素没有考虑 比如原料的供应 原料的成本 生 产的产品是不是都符合标准等 模型还有待改进 这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性 对其它的工厂 或企业 的生产也适用 只要给出的数据真实 充足 精确 并且运动鞋生产 调度实际模型合理 模型得出的最优解将具有很强的实际意义 关键字关键字 运动鞋生产调度 优化模型 LINGO 软件 月份 工作计划 一月二月三月四月 正常工作 双 380400390350 加班工作 双 1501701600 生产库存费用 元 90310 一 问题的提出一 问题的提出 现代工业 企业 生产环节多 协作关系复杂 生产连续性强 情况变化快 加强生产调度工作 对于及时了解 掌握生产进度有非常重要的作用 每个鞋业 公司都有若干种生产计划 采用最佳方案 即把生产数量与市场需求量的对应关 系 进行生产 提高公司盈利 公司正常和加班的生产能力 生产成本的差异 以及市场需求的条件下 公司的调度起到了举足轻重的作用 如何使公司在4个 月内生产1种运动鞋的生产库存费用达到最低 如何使公司的生产计划推广到n个 月生产m种运动鞋的调度问题 又如何通过数学软件实现公司的最优生产计划 在得到了公司最优生产数学模型与标定值之后 为保证模型的正确性和标定 值的可靠性 需对模型进行检验和标定值进行验证 根据公司的实际情况 即不 同时间的库存费用 正常生产和加班生产能力 生产成本的不同 如何通过数 学模型与LINGO软件进行数据检验 如何改进和加强公司的生产调度方案 设计 出公司的最优生产方案 二 问题的分析二 问题的分析 由于这是一道与生产库存密切相关的建模题目 所以我们在建模和求解的过 程中都需要对数据进行分析 根据生产库存建立一些基本关系式 再通过线性规 划求最优解的方法建立和求解模型 问题一要制定未来 4 个月内生产一种运动鞋的生产计划 使生产库存费用最 低 实际上就是找出生产库存费用与生产能力 单双生产费用和单双库存费用的 关系 它就是求解最低生产库存费用的依据 生产库存费用等于生产费用加上库 存费用 生产费用是 4 个月正常工作的生产费用加上加班工作的生产费用 也就 是 4 个月正常的生产能力乘以单双正常生产费用加上加班的生产能力乘以单双加 班生产费用 库存费用是 4 个月存放鞋的费用 也就是不考虑发货情况下的库存 费用减去发货部分多算的库存费用 不考虑发货的库存费用是每个月生产的运动 鞋 4 个月后应付的库存费用之和 发货部分多算的库存费用就是每个月发货部分 4 个月后多算的库存费用之和 根据每个月的运动鞋需求量和生产能力建立约束 条件 生产库存费用就是生产能力 单双生产费用和单双库存费用的目标函数 据此目标函数以及约束条件利用 LINGO 软件解出最优解 通过题目中的条件对结 果进行检验 针对问题二 首先考虑一种运动鞋的生产库存费用 这种生产库存费用的算 法已在第一问中解决 将一问中的 4 个月改为 n 个月 再考虑 m 种运动鞋的生产 库存费用 根据每个月的运动鞋需求量和生产能力建立约束条件 求出生产库存 费用的目标函数 根据目标函数和约束条件可建立模型 针对问题三 运动鞋生产库存费用的算法问题二中已解决 在 n 取 2 m 取 2 的基础上 将不考虑发货的库存费用改为生产的鞋应付的库存费用加上最初已有 的鞋应付的库存费用 再计算根据每个月的运动鞋需求量和生产能力建立约束条 件 所以就可求出生产库存费用的目标函数 根据目标函数和约束条件可建立模 型 通过 LINGO 软件求出最优解 通过题给出条件对结果进行检验 三 模型假设三 模型假设 1 假设同种型号的运动鞋每双生产的时间相同 2 假设每月同种型号运动鞋的生产能力 单双生产费用和库存费用保持不变 3 假设收到的账单都不出现退单情况 4 假设不出现临时增单情况 5 假设生产的运动鞋没有质量问题 6 假设生产的运动鞋都能正常供出 四 符号说明四 符号说明 表示第i月正常工作情况下生产第 j 种运动鞋的数量 1ij x 表示第i月加班工作情况下生产第 j 种运动鞋的数量 2ij x 表示第i月第j种鞋正常工作的生产费用 1ij y 表示第i月第j种鞋加班工作的生产费用 2ij y 表示第i月运动鞋的库存费用费用 0i y 表示第i月正常工作情况下第j种运动鞋的生产能力 1ij 表示第i月加班工作情况下第j种运动鞋的生产能力 2ij 表示第i月第j种运动鞋的需求量 ij l 表示生产库存费用 z 表示不考虑发货情况下的生产库存 1 z 表示发货部分多算的部分 2 z 表示生产费用 3 z 五 模型的建立与求解五 模型的建立与求解 运动鞋生产调度问题 是在公司正常生产能力 加班生产能力 生产费用 库存费用和市场需求等因素的基础上 给出一种优化生产方案 其目的是使公司 获取最大盈利 这是一个典型的最优化问题 采用最优化方法处理问题 合理可 行 于是建立模型如下 5 15 1 模型的建立模型的建立 5 1 1 考虑 4 个月 1 种型号运动鞋的生产库存费用 以生产能力 生产费用和库存 费用为变量 生产库存费用为目标函数 运动鞋需求量和生产能力为约束条件 建立模型 4 个月的生产库存费用等于生产费用加库存费用 生产费用是 4 个月正常工 作的生产费用加上加班工作的生产费用 也就是 4 个月正常的生产能力乘以单双 正常生产费用加上加班的生产能力乘以单双加班生产费用 库 4 3 40412411 4 3 0312311 4 2 0 4 1 21221101121111 ii i i i i i yxxyxxyxxyxxz 存费用是 4 个月存放鞋的费用 也就是不考虑发货情况下的库存费用减去发货部 分多算的库存费用 不考虑发货的库存费用是每个月生产的运动鞋 4 个月后应付 的库存费用之和 即 发货部分多算的库存费用就 4031 4 3 021 4 2 0112 ylylylz i i i i 是每个月发货部分 4 个月后多算的库存费用之和 即 根 4 1 212 4 1 1113 i ii i ii yxyxz 据每个月的运动鞋需求量和生产能力建立约束条件 生产库存费用就是生产能力 单双生产费用和单双库存费用的目标函数 12 4 1 121 4 1 11 3 1 4 1 10 4 1 4 01211 min i i iji i i kki ki kki ikk yxyxlyyxxz 11121 11 1111 1212 1 2 3 4 ii kkk kk ii ii xxl st xi x 表 1 运动鞋的生产能力 生产费用和库存费用 生产能力 双生产费用 元 双 月份 正常加班正常加班 库存费用 元 双 月 138015040451 240017042482 339020043503 435016040561 5 1 2 考虑 n 个月 m 种运动鞋的生产库存费用 与问题一有相同的变量 目标函 数和约束条件 建立模型 首先考虑一种运动鞋的生产库存费用 这种生产库存费用的算法已在问题一 中已解决 只需将一问中的 4 个月改为 n 个月 再考虑 m 种运动鞋的生产库存费 用 以生产库存费用为目标函数建立模型 不考虑发货情况下的生产库存为 发货部分多算的部分为 生产费用为 1 z 2 z 3 z 如下 1 2 1 10 020 1 22 1 1202010 1 21 1 111 m j nj m j njn n m j j m j jn m j j m j j xxy yyxxyyyxxz m j njn m j nj m j nj ylyylyyylz 1 0 1 1 0302 1 0302012 n i m j n i m j ijijijij yxyxz 1111 22113 目标函数 1 12001122 1111111111 min nmmnnmnnmnm kjkjkkjiijijijij kjji kkji kijij zxxylyx yx y 12 11 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ii khkhkh kk m ij j ij m ij j ij xxl x stin hm x 5 1 35 1 3 考虑 2 个月 2 种运动鞋的生产库存费用 与问题二有相同的变量 以生产 库存费用为目标函数 运动鞋需求量和生产能力为约束条件建立模型 不考虑发货情况下的生产库存为 发货部分多算的部分为 生产费用为 1 z 2 z 3 z 如下 2 1 2212202010 2 1 21111 40 j jj j jj xxyyyxxz 2 1 1102 j j lyz 2 1 2 1 22113 ij ijijijij yxyxz 目标函数 2 1 2 1 2211 2 1 110 2 1 2212202010 2 1 2111 40min ij ijijijij j i j jj j jj yxyx lyxxyyyxxz 2 11 1 222 111 2 1 1 1 2 2 1 2 20 20 1 2 1 2 1 1 hkh k ihkih iki gj j gj gj j gj xl xl stgh x x 表 2 运动鞋的生产能力 生产费用和库存费用 运动鞋的生产能力 生产费用和库存费用 生产能力 双生产费用 元 双 月 份正常加班正常加班 需求 量 库存费 用 元 双 月 型号 1 型号 2 型号 1 型号 2 型号 1 型号 2 型号 1 型号 2 型号 1 型号 2 11201201201202030404010080 28050505020304040150120 10 5 2 5 2 模型的求解模型的求解 5 2 15 2 1 将模型 的目标函数与约束条件输入 LINGO 求解模型 I 可以得到最 优解 程序以及结果见附录一 表 3 模型 I I 的最优生产计划 月份 工作计划 一月二月三月四月 正常工作 双 380400390350 加班工作 双 1501701600 生产库存费用 元 90310 5 2 25 2 2 将模型 的目标函数与约束条件输入 LINGO 求解模型 可以得到最 优解 程序以及结果见附录二 表 4 模型 的最优生产计划 型号 月份 第一型号运动鞋第二型号运动鞋 正常工作 双 加班工 作 双 正常工 作 双 加班工作 双 生产库存 费用 元 一月 8004090 二月 8070050 18000 六 结果分析与模型检验六 结果分析与模型检验 6 16 1 模型模型 的结果分析与模型检验的结果分析与模型检验 模型 在给定数据的情况下 把数据代入模型 通过 LINGO 软件求解 分析 结果 满足题意 可知模型是正确的 得出一个最优的生产计划方案 6 26 2 模型模型 的结果分析与模型检验的结果分析与模型检验 模型 是在没有给定数据的情况下建立的模型 在模型 I 的基础上通过设定 未知量 建立通用模型 每给定一组数据就得到一组最优方案 为了检验模型的 准确性 在已建立模型的基础上 假设两组数据 代入模型求解 对得出的结果 分析 验证 可知模型的正确性 6 36 3 模型模型 的结果分析与模型检验的结果分析与模型检验 模型 是在模型 的基础上建立起来的模型 利用题目给出的数据 带入模 型 通过 LINGO 软件求解 分析结果 满足题意 可知模型是正确的 得出一个 最优的生产计划方案 七 模型的评价及推广七 模型的评价及推广 7 1 模型的优点模型的优点 1 模型是建立在线性规划的基础上 理论依据充足 得到的理论数学模型比 较精确 2 建模理念恰当合理 由于运动鞋生产调度问题数据多 建立线性不等式方 程组 通过行列式变换 再利用熟悉的线性规划知识加以解决 使模型更普通 3 模型的建立过程中给出了图表帮助理解 建模思路清晰明了 4 通过结果分析不断校正模型 使之更加精准 具有实际价值 5 模型具有普遍性和可推广性 对生产其它产品也可以使用 只要给出的数 据真实 充足 精确 并且运动鞋生产调度实际模型合理 得到的模型具有很强 的实际意义 7 2 7 2 模型的缺点模型的缺点 1 模型具有局限性 是在一种理想环境中实现的 在实际生产调度中还有客 户需求量 机器设备 生产效率等很多不确定因素 此时模型就只是一种理论模 型 并不一定适用 2 该模型只能在生产同种单双鞋花费的时间相同才适用 7 3 模型的推广模型的推广 1 此模型最终得到的是运动鞋生产能力 市场需求 生产费用 库存费用之 间的关系 公司相关部门可以根据此模型制定出最优生产计划 2 根据此模型可以建立 n 个月内生产 m 种运动鞋的生产调度计划 从而制定 出最优生产方案 减少公司不必要的损失 3 该模型具有广泛的实用价值 不仅适用于运动鞋公司的生产调度问题 也 可以用于其它根据市场需求制定生产方案的公司 在该模型中增加一些约束条件 就可得到不同型号的产品 在不同时间 不同成本的最优生产计划 4 对于公司的实际生产调度问题 也可以根据此模型得到一个较完善的计算 模型 八 参考文献八 参考文献 1 谢金星 薛毅 优化建模与 LINDO LINGO 软件 清华大学出版社 2005 2 孙文瑜 徐成贤 朱德通 最优化方法 高等教育出版社 2006 3 姜启源 谢金星 叶俊 数学建模 高等出版社 2003 九 附录清单九 附录清单 附录一 模型 的程序为 model sets shuliang 1 8 x r e yueshu 1 4 y f links yueshu shuliang c endsets data r 47 52 48 54 47 54 41 57 f 400 1000 1250 2000 c 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 e 380 150 400 170 390 200 350 160 enddata min sum shuliang i x i r i 5050 for yueshu j sum shuliang i c j i x i f j for shuliang i gin x i for shuliang i x i 0 for shuliang i x i e j for shuliang i gin x i for yueshu j sum shuliang i d j i x i 0 for shuliang i x i 0 End 运行结果为 Global optimal solution found Objective value 18000 00 Extended solver steps 0 Total solver iterations 7 Variable Value Reduced Cost X 1 80 00000 40 00000 X 2 0 60 00000 X 3 40 00000 50 00000 X 4 90 00000 60 00000 X 5 80 00000 30 00000 X 6 70 00000 50 00000 X 7 0 40 00000 X 8 50 00000 50 00000 R 1 40 00000 0 R 2 60 00000 0 R 3 50 00000 0 R 4 60 00000 0 R 5 30 00000 0 R 6 50 00000 0 R 7 40 00000 0 R 8 50 00000 0 Y 1 0 0 Y 2 0 0 Y 3 0 0 Y 4 0 0 E 1 80 00000 0 E 2 230 0000 0 E 3 60 00000 0 E 4 180 0000 0 F 1 120 0000 0 F 2 120 0000 0 F 3 400 0000 0 F 4 50 00000 0 C 1 1 1 0 C 1 2 1 0 C 1 3 0 0 C 1 4 0 0 C 1 5 0 0 C 1 6