函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案(丁菁)[1]

1 课题 课题 函数函数 y Asin x 的图象的图象 授课教师 南京师范大学附属中学授课教师 南京师范大学附属中学 丁菁丁菁 教材 苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修教材 苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修 4 一 内容与内容解析一 内容与内容解析 1 本课地位和作用 三角函数是描述周期现象的数学模型 也是一种基本初等函数 在数学和其 他领域中具有重要的作用 函数 y Asin x 的图象 是三角函数的一个重要 内容 通过揭示参数 A 变化对函数 y Asin x 图象的影响 有助于进 一步深化对函数图象变换的理解和认识 同时也有助于体会三角函数是描述周期 现象的重要数学模型 2 本课内容剖析 函数 y Asin x 的图象 主要是探讨函数 y Asin x 的图象与函数 y sinx 的图象之间的关系 图象是由点构成的 图象变换的本质是图象上点的变 换 而点的位置变化对应着点的坐标变化 因此 欲研究函数图象的变换规律 只需研究图象上每个点的坐标变化规律 本节课教学设计是先分别探讨 A 对函数 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的变化规律 再探究 y sin 2x 1 的图象和函数 y sin2x 的图象之间的变化关系 其中 对 y sin x 的图象的变化规律的探 讨方法可以迁移到后续问题解决中去 本节课的重点是 分别探讨 A 对 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的变化规律 本节课的难点是 函数 y sin x 的图象与正弦曲线的关系 函数 y sin 2x 1 的图象与函数 y sin2x 的图象的关系 二 目标与目标解析二 目标与目标解析 1 探索并发现 对 y sin x 的图象的变化规律 A 对 y Asinx A 0 的图 象的变化规律 对 y sin x 0 的图象的变化规律 2 在理解 A 对 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的 变化规律的基础上 探究 y sin 2x 1 的图象和函数 y sin2x 的图象之间的变化 2 关系 3 学生在活动中经历观察 归纳 验证的过程 体会从简单到复杂 从具体 到抽象 由特殊到一般的思想 学生在问题的引导下 自主探究研究策略 从而 培养学生的认知策略 发展元认识 教学中 不急于把结论抛给学生 而是结合多个实例 增加供归纳的样本 让学生亲历从简单到复杂 具体到抽象 特殊到一般的探索过程 逐步概括图象 变换的规律 学生通过充分地思考和探究 发现函数图象之间的关系 并对结论 进行理性思考 从中学习解决问题的一般方法 三 教学问题诊断分析三 教学问题诊断分析 在此之前 学生已经学习了二次函数等一般函数图象的平移变换 又在三角 函数的图象和性质中对周期变换有所涉及 本节课是对一般函数图象变换内容的 延伸和拓展 1 参数 引起的平移变换 学生已有经验 左加右减 为什么如此呢 在 教学中引导学生理性思考 让新旧知识交汇 有利于提升学生对函数图象平移的 理解 2 参数 A 和 的取值 学生会忽视 0 A 1 和 0 1 情况 为此 在这 里注意引导 从而全面认识参数 A 和 的变化引起的图象变化 3 理解 y sin x 和 y sinx 的图象间关系是难点 教学中类比参数 A 对 图象影响的探讨思路 认识代数关系与几何关系后 回到图象上任意点的坐标变 换上进行理性分析 从而理解变换的实质 如从 y sinx 到 y sin2x 代数上是用 2x 代换 x 因此是将 y sinx 图象上坐标为 x0 y0 的点变换到坐标为 x0 y0 的点 1 2 所以是将 y sinx 图象上各点纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin2x 的 1 2 图象 4 从 y sin2x 的图象变换到 y sin 2x 1 的图象是本课又一难点 究竟是向 左平移 1 个单位还是 个单位 突破难点有二个途径 画图观察 从坐标变换 1 2 理性分析 3 四 教学支持条件分析四 教学支持条件分析 利用几何画板辅助教学 可以对图象上每个点进行分析 有利于学生突破本 节课的难点 该探讨方法可以迁移到其他一般函数的图象和性质中去 有利于学 生理解函数图象变换的数学本质 五 教学过程五 教学过程 1 创设情境 引出课题创设情境 引出课题 如图 摩天轮的半径为 A m A 0 摩天轮逆时针做 匀速转动 角速度为 rad min 0 如果当摩天轮上 点 P 从图中点 P0处开始计算时间 请在如图所示的坐标 系中 确定时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y 设计意图 函数 y Asin x 是刻画自然界周期现象的重要模型 具有丰富的自然背 景 借助于实际意义来理解函数 y Asin x 的图象性质是自然的 清楚的 明白的 师生活动 师生活动 先将点 P0置于 x 轴正半轴上 利用正弦函数的定义得到 y Asin x 再 将点 P0置于如图所示位置 得到在时刻 x min 时点 P 的纵坐标 y Asin x 小结 小结 形如 y Asin x 的函数在生活中经常可见 如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移满足 y Asin x 如图所示 再比如潮汐现象中水位 的高度 单摆中的摆角等也满足这个解析式 因此今 天我们来探讨这个函数 为了探讨方便 这里 以问题为载体以问题为载体 以活动为主线以活动为主线 制定方案 分类探讨 层层递进 探究结论 回顾总结 反思提高 创设情境 引出课题 4 A 0 0 设问设问 1 按照我们以往的经验 一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢 按照我们以往的经验 一般我们通过什么方法探讨函数的性质呢 结论 图象 板书课题 函数 y Asin x A 0 0 的图象 设问设问 2 显然 参数 显然 参数 A 取不同实数 我们就得到不同的函数表达式 进而取不同实数 我们就得到不同的函数表达式 进而 函数图象就发生变化 在这个大家庭中 有你熟悉的函数吗 函数图象就发生变化 在这个大家庭中 有你熟悉的函数吗 结论 函数 y sinx 2 制定方案 分类探讨 制定方案 分类探讨 问题问题 1 如何由 如何由 y sinx 的图象得到的图象得到 y Asin x A 0 0 的图象 的图象 师生活动 师生活动 引导学生制定研究方案 教师板书方案 小结 小结 在比较讨论的基础上确定本节课的研究方案 即相对固定其中 2 个 仅一 个变动 先分别探讨 A 对函数 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的变化规律 再综合 设计意图 首先 强调面对一个问题 让学生去规划研究思路 重在引导学生思考解决 问题的方法 其次 面对多变量问题 学会通过控制变量的个数将复杂问题简单化 体会从简单到复杂的研究问题的一般方法 3 层层递进 探究结论 层层递进 探究结论 根据上面制定的计划 分别探讨 A 对 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的变化规律 问题问题 2 如何由 如何由 y sinx 的图象得到的图象得到 y sin x 1 的图象 的图象 师生活动师生活动 让学生们说一说 几何画板作图验证 追问学生 为什么 再 举几个例子如 y sin x 1 y sin x 抽象到一般 3 5 板书 y sinx y sin x 1 点 M x0 y0 点 N x0 1 y0 y sinx y sin x 点 M x0 y0 点 N x0 y0 设计意图 第一 人们总是借助具体的东西来理解抽象的东西 因此结合具体的实例说 增加供归纳的样本 具体的清楚了 抽象的就不难了 第二 引导学生说明为什 么 从形上说图象变换是图象上每点的位置变化 从数上讲是点的坐标变化 这 里找出是纵坐标相同的两点 从横坐标的变化关系解释变换 着重探讨清楚 对 y sin x 的图象的变化规律 学生可以将探讨方法迁移 到后续对 A 的探讨中去 问题问题 3 1 如何由如何由 y sinx 的图象得到函数的图象得到函数 y Asinx A 0 的图象 的图象 2 如何由如何由 y sinx 的图象得到函数的图象得到函数 y sin x 0 的图象 的图象 师生活动 师生活动 让学生类比之前的方法充分探讨 然后交流 y Asinx A 0 的图象可以看作是把 y sinx 图象上所有点在横坐标不变的情况 下纵坐标变为原来的 A 倍得到的 向左 0 或向右 0 点 M x0 y0 点 N x0 Ay0 y sin x 0 的图象可以看作是把 y sinx 图象上所有点在纵坐标不变的情况 下横坐标变为原来的 倍得到的 1 板书 y sinx y sin x 0 点 M x0 y0 点 N y0 x0 设计意图 类比前面的探讨方法 请学生独立探讨 A 对 y Asinx y sin x 的图象 有什么影响 此处与问题 2 的解决有所不同 更加突出代数角度分析 设问设问 3 刚才我们分别探讨了 刚才我们分别探讨了 A 对函数图象影响的变化规律 我们是怎样对函数图象影响的变化规律 我们是怎样 研究的呢 研究的呢 师生活动 师生活动 1 控制变量 2 作图比较 3 理性分析 探究 如何由函数探究 如何由函数 y sin2x 的图象得到的图象得到 y sin 2x 1 的图象呢 的图象呢 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍 1 7 师生活动 师生活动 学生讨论后交流 这里是向左平移 1 个单位还是向左平移 个单位 1 2 利用几何画板画图观察 从坐标关系理性分析 板书 y sin2x y sin 2x 1 点 M x0 y0 点 N x0 y0 1 2 小结 从中发现 横向变换只对 x 的变化而言 同理纵向变换仅对 y 的变化而 言 y sin2x 的图象向左平移个单位 得到的函数图象对应的解析式是 y sin2 x 1 2 而不是 y sin 2x 1 2 设计意图 探讨 y sin 2x 1 的图象与 y sin2x 的图象的关系 不仅是对本节课探讨的 深入 也为下一课时的探讨拉开序幕 为理解而学习 教学 是建构主义的核心 目标 4 回顾总结 反思提高 回顾总结 反思提高 小结 今天我们分别探讨了小结 今天我们分别探讨了 A 对函数对函数 y sin x y Asinx A 0 y sin x 0 的图象的变化规律 下面的图象的变化规律 下面 探讨什么呢 探讨什么呢 设计意图 培养学生反思的习惯 确定接下来的探讨内容和方法 布置作业 布置作业 1 阅读课本 系统回顾本节课学习内容 学习规范表达 2 书第 44 页第 2 题 六 教学设计说明六 教学设计说明 1 本节课通过实例引入有利于学生感受学习新知识的必要性 体会 y Asin x A 0 0 是刻画周期现象的重要数学模型 向左平移 个单位 1 2 8 2 本节课主要问题是认识 y Asin x A 0 0 的图象与 y sinx 的图象 的关系 因为这里参数 A 对函数图象都将产生影响 因此往往学生感到抽象 和难于解决 为了突破此难点 在教学中引导学生制