高考数学 打破常规另辟蹊径――对xy=k(K大于0)图象的挖掘素材

用心 爱心 专心1 打破常规打破常规 另辟蹊径另辟蹊径 对对 0 xykk 图象的挖掘图象的挖掘 高中数学第二册 上 人教版 第 70 页有这样一道例题 摘录如下 点 M 与两条 互相垂直的直线的距离的积是常数 k k 0 求点 M 的轨迹方程 该题同样出现在人教 版的 平面解析几何 第 25 页上 这道题的常规解法 我们都很自然地以这两条互相 垂直的直线作为x轴 y轴 得到点 M 的轨迹方程为 0 xykk 但如果改成求点 的轨迹 我们能不能说出它是什么呢 由此引发我们的思考 笔者第三次讲授该例 题 体会较多 今一一列举 请同行指点 一 不妨换个角度建系 得到轨迹是双曲线一 不妨换个角度建系 得到轨迹是双曲线 如果我们简单从 0 xykk 入手考虑问题 可能时间耗尽却收效甚微 那么请 不妨换个角度 让建系来得不简单点吧 解 如图 1 分别以这两条互相垂直的直线的角平分线作为x轴 y轴 则 l1 x y 0 l2 x y 0 设动点 M x y 由题意可得 2 yx 2 yx k x2 y2 2k2 2 2 2k x 2 2 2k y 1 或 2 2 2k y 2 2 2k x 1 对于两条确定的直线l1和l2 点 M 的轨迹是确定的 由于建系的不同 我们求得 的轨迹方程形式上也不同 但这不会改变图象的形状 故课本中求得的曲线 xy k k 0 也是两条双曲线 而且是一对共轭双曲线 这里我的感触颇深 这种建 系方法一般我们不会考虑 但其实如此建系不也一般嘛 中间的运算量也不算大 最 主要地是轻松解决了我们的问题 这个 不简单 好啊 二 内容的引伸和难点的突破二 内容的引伸和难点的突破 发现了上述特点 接下来的思考便是顺理成章 耐人寻味 我们不难发现直线 l1 l2是求得的两条双曲线的渐近线 于是我们得到 与两条相交直线的距离的积是常数与两条相交直线的距离的积是常数k k k k 0 0 的点的轨迹是一对共轭双曲线 这 的点的轨迹是一对共轭双曲线 这 两条相交直线是它们的渐近线 两条相交直线是它们的渐近线 O x y 图 1 1 l 2 l 用心 爱心 专心2 证明 如图 2 以 AB CD 的交点为原点 以 AOD 角平分线所在的直线为x轴 建立平面直角坐标系 设动点 M x y AB y mx CD y mx m是常数 m 0 由题意可得 2 1 m yxm 2 1 m yxm k 化简得 2 2 2 1 m mk x 1 2 2 mk y 1 或 1 2 2 mk y 2 2 2 1 m mk x 1 这两条双曲线是共轭双曲线 且渐近线是y mx 求证结论成立 双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积是常数 双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积是常数 证明 如图 3 选择双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 a 0 b 0 研究双曲线这一几何性质 渐近线 bx ay 0 设 M x y 是双曲线 2 2 a x 2 2 b y 1 a 0 b 0 上任一点 则得 b2x2 a2y2 a2b2 点 M 到双曲线的两条渐近线的距离之积 22 ba aybx 22 ba aybx 22 2222 ba yaxb 22 22 ba ba 求证结论成立 综合 可得 与两条相交直线的距离的积是常数 与两条相交直线的距离的积是常数 k k k 0k 0 的点的轨迹是一对共轭双曲线 的点的轨迹是一对共轭双曲线 这两条相交直线是它们的渐近线 这两条相交直线是它们的渐近线 该结论可作为共轭双曲线的定义和双曲线渐近线的 定义 对教材中双曲线渐近线的描述性定义进行了突破 前者更可用于对曲线形状的 判断 双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积为常数 双曲线上的任一点到它的两条渐近线的距离之积为常数 这一关系反映了 双曲线的一个几何性质 也反映了双曲线和它的渐近线之间的紧密联系 三 联系函数内容 进行难点再突破三 联系函数内容 进行难点再突破 从函数 y x x 1 x 0 到函数 y x x b 再到一般函数 y ax x b x 0 其中 a 0 b 0 a b 是常数 我们在研究完它的单调性后 对其函数图象形状或者避而 图 2 O y A C B D x y 图 用心 爱心 专心3 不谈 或者直接通过函数的一些性质画草图 对图象的本质归属问题总是存在一定的 欠缺 通过 二 的两个结论的探讨 现在我们可以大声地说 函数的图象是双曲线 函 数 y ax x b 和 y ax x b a 0 b 0 a b 是常数 的图象是一对共轭双曲线 直线 y ax 和x 0 是它们的两条渐近线 证明 设 M x ax x b 是函数 y ax x b x 0 上任一点 点 M 到直线x 0 的距离 d1 x M 到直线 y ax的距离 d2 2 1 a x b 1 2 xa b 点 M 到直线x 0 和直线 y ax的距离之积 d1 d2 2 1 a b 为常数 同理可证 函数 y ax x b 也具有以上性质 由 二 的两个结论可知 函数 y ax x b 和 y ax x b a 0 b 0 a b 是常数 的图 象是一对共轭双曲线 直线 y ax和x 0 是它们的两条渐近线 突破了对以上两个函数 图象形状确定的难点 四 沟通解析几何与函数的关系四 沟通解析几何与函数的关系 平面解析几何是一门用代数方法研究几何问题的学科 代数式子与几何图形水乳 交融 合为一体 而函数在代数中扮演着十分重要的角色 函数与函数图象也是密切 联系 如影随形 数学的学习是一个从 特殊 一般 特殊 不断演变 不断发展的 过程 上述两者之间的关系可通过 函数解析法 y f x x A 的表示 与 曲线及其 方程概念的理解 来加以区别 从这一点上来看 我们可以说函数内容是平面解析几 何内容的特殊情况 形象地用韦恩图加以描述 如图 作为一线教师 笔者认为 无论是我们教师自身的学习还是指导 学生的学习应该源于课本 又高于课本 对于问题的思考不是浅尝辄止 拘泥于某些定性思维 而是倡导创新思维 敢于打破常