导数单元测试题及答案(理科)

导数及其应用导数及其应用 单元测试题 理科 单元测试题 理科 1 函数的导数是 2 2 xxf A B C D xxf 4 xxf 2 4 xxf 2 8 xxf 16 2 函数的一个单调递增区间是 x exxf A B C D 0 1 8 2 2 1 2 0 3 已知对任意实数 有 且时 则时 x fxf xgxg x 0 x 0 0fxg x 0 x A B 0 0fxg x 0 0fxg x C D 0 0fxg x 0 0fxg x 4 dx xxx 111 32 2 1 A B C D 8 7 2ln 8 7 2ln 4 5 2ln 8 1 2ln 5 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 1 2 e x y 2 4e 2 9 e 2 2 4e 2 2e 2 e 6 设是函数的导函数 将和的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 fx f x yf x yfx 7 已知二次函数的导数为 对于任意实数都有 则的最小 2 f xaxbxc fx 0 0f x 0f x 1 0 f f 值为 A B C D 3 5 2 2 3 2 8 设在内单调递增 则是的 2 eln21 x p f xxxmx 0 5q m pq 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 二 填空题 本大题共 6 小题 共 30 分 9 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为 2 1 则该长方体的长 宽 高各 为 时 其体积最大 10 将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体 2 2 x y 1 yy 的体积等于 11 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为 则 3 128f xxx 3 3 M mMm 12 对正整数 n 设曲线在 x 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 则数列的前 n 项和的公式 1 xxy n n a 1 n a n 是 13 点 P 在曲线上移动 设在点 P 处的切线的倾斜角为为 则的取值范围是 3 2 3 xxy 14 已知函数 1 若函数在总是单调函数 则的取值范围是 2 若函5 3 1 23 axxxy a 数在上总是单调函数 则的取值范围 1 a 3 若函数在区间 在区间 3 1 上单调递减 上单调递减 则实数的取值范围是 a 三 解答题 本大题共 6 小题 共 12 12 14 14 14 14 80 分 15 设函数 ee xx f x 1 证明 的导数 f x 2fx 2 若对所有都有 求的取值范围 0 x f xax a 16 设函数 3 32f xxx 分别在 12 xx 处取得极小值 极大值 xoy平面上点AB 的坐标分别为 11 x f x 22 xf x 该平面上动点P满足 4PA PB 点Q是点P关于直线2 4 yx 的对称点 求 1 求点AB 的坐标 2 求动点Q的轨迹方程 17 已知函数 x 0 在 x 1 处取得极值 3 c 其中 a b c 为常数 cbxxaxxf 44 ln 1 试确定 a b 的值 2 讨论函数 f x 的单调区间 3 若对任意 x 0 不等式恒成立 求 c 的取值范围 2 2 cxf 18 已知 Raxxa ax xf 14 1 3 2 3 1 当时 求函数的单调区间 1 a 2 当时 讨论函数的单调增区间 Ra 3 是否存在负实数负实数 使 函数有最小值 3 a 0 1 x 19 已知函数 3 3 f xxx 1 求曲线在点处的切线方程 yf x 2x 2 若过点可作曲线的三条切线 求实数的取值范围 1 2 Amm yf x m 20 已知函数 其中 2 a f xx x lng xxx 0a 1 若是函数的极值点 求实数的值 1x h xf xg x a 2 若对任意的 为自然对数的底数 都有 成立 求实数的取值范围 12 1x xe e 1 f x 2 g xa 理科测试解答 一 选择题 1 42 22 2 xxxf xxf 2 42 xxf 2 8 或 理科要求 复合函数求导 24222 xxxxfx 2 8 2 选 A x x e x exxf 2 1 x xx e exe xf 1 0 1 2 x e ex x x 或 1 0 0 1 11 xeexexexf xxxx 3 B 数形结合 4 D 5 D 6 D 7 C 8 B 二 填空题 9 2cm 1cm 1 5cm 设长方体的宽为 x m 则长为 2x m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长方体的体积为 2 3 0 m69 35 4 2 3322 xxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令 V x 0 解得 x 0 舍去 或 x 1 因此 x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 时 V x 0 3 2 故在 x 1 处 V x 取得极大值 并且这个极大值就是 V x 的最大值 从而最大体积 V V x 9 12 6 13 m3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 10 图略 dyxS 1 0 2 0 1 2 2 1 0 ydyy 11 32 12 令 x 0 求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 11 2 22 222 2 nnn x ynynx 切线方程为 所以 则数列的前 n 项和 0 1 2nyn 2 1 n n a n 1 n a n 1 2 1 2 22 1 2 n n n S 13 4 3 2 0 14 1 3 3 3 2 1 aaa 三 解答题 15 解 1 的导数 f x ee xx fx 由于 故 ee2 e e2 x xxx A 2fx 当且仅当时 等号成立 0 x 2 令 则 g xf xax ee xx g xfxaa 若 当时 2a 0 x ee20 xx g xaa 故在上为增函数 g x 0 所以 时 即 0 x 0 g xg f xax 若 方程的正根为 2a 0g x 2 1 4 ln 2 aa x 此时 若 则 故在该区间为减函数 1 0 xx 0g x g x 所以 时 即 与题设相矛盾 1 0 xx 0 0g xg f xax f xax 综上 满足条件的的取值范围是 a 2 16 解 1 由题意知 因此 从而 1 3fc 3bcc 3b 又对求导得 f x 343 1 4ln4fxaxxaxbx x A 3 4 ln 4 xaxab 由题意 因此 解得 1 0 f 40ab 12a 2 由 I 知 令 解得 3 48lnfxxx 0 x 0fx 1x 当时 此时为减函数 01x 0fx f x 当时 此时为增函数 1x 0fx f x 因此的单调递减区间为 而的单调递增区间为 f x 01 f x 1 3 由 II 知 在处取得极小值 此极小值也是最小值 要使 恒 f x1x 1 3fc 2 2f xc 0 x 成立 只需 2 32cc 即 从而 2 230cc 23 1 0cc 解得或 3 2 c 1c 所以的取值范围为c 3 1 2 17 解 1 令解得033 23 23 xxxxf11 xx或 当时 当时 当时 1 x0 x f11 x0 x f1 x0 x f 所以 函数在处取得极小值 在取得极大值 故 1 x1 x1 1 21 xx4 1 0 1 ff 所以 点 A B 的坐标为 4 1 0 1 BA 2 设 nmp yxQ 4414 1 1 22 nnmnmnmPBPA 所以 又 PQ 的中点在上 所以 2 1 PQ k 2 1 mx ny 4 2 xy 4 2 2 2 mxny 消去得 nm 928 22 yx 另法 点 P 的轨迹方程为其轨迹为以 0 2 为圆心 半径为 3 的圆 设点 0 2 关于 y 2 x 4 92 2 2 nm 的对称点为 a b 则点 Q 的轨迹为以 a b 为圆心 半径为 3 的圆 由 得 a 8 b 2 2 1 0 2 a b 4 2 0 2 2 2ab 18 1 或递减 递增 2 1 当 2 x 2 x xf 2 2 x xf 0 a 递增 2 当递增 3 当或递增 当 2 x xf 0 a 2 2 a x xf 10 a 2 x 2 a x xf 1 a 递增 当或递增 3 因由 分两类 依据 单调性 极小值 x xf 1 a 2 a x 2 x xf 0 a 点是否在区间 1 0 上是分类 契机 1 当 递增 解得 2 1 2 a a 2 2 0 1 a x xf3 1 min fxf 2 4 3 a 2 当由单调性知 化简得 解得 2 1 2 a a 3 2 min a fxf0133 2 aa 不合要求 综上 4 3 a 为所求 2 6 213 a 19 解 1 2 分 23 33 2 9 2 23 22fxxff 曲线在处的切线方程为 即 4 分 yf x 2x 29 2 yx 9160 xy 2 过点向曲线作切线 设切点为 1 Am yf x 00 xy 则 32 00000 3 33 yxx kfxx 则切线方程为 6 分 32 0000 3 33 yxxxxx 整理得 32 00 2330 xxm 过点可作曲线的三条切线 1 2 Amm yf x 方程 有三个不同实数根 记 322 233 666 1 g xxxmg xxxx x 令或 1 10 分 0 0g xx 则的变化情况如下表 x g x g x x 0 0 0 1 1 1 g x 0 0 g x A 极大A极小A 当有极大值有极小值 12 分0 xg x 3 1 mxg x 2m 由的简图知 当且仅当 g x 0 0 1 0 g g 即时 30 32 20 m m m 函数有三个不同零点 过点可作三条不同切线 g xA 所以若过点可作曲线的三条不同切线 的范围是 14 分A yf x m 3 2 20 1 解法解法1 1 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 是函数的极值点 即 1x h x 10 h 2 30a 0a 3a 经检验当时 是函数的极值点 3a 1x h x 3a 解法解法2 2 其定义域为 2 2ln a h xxx x 0 2 2 1 2 a h x xx 令 即 整理 得 0h x 2 2 1 20 a xx 22 20 xxa 2 1 80a 的两个实根 舍去 0h x 2 1 11 8 4 a x 2 2 11 8 4 a x 当变化时 的变化情况如下表 x h x h x x 2 0 x 2 x 2 x h x 0 h xA极小值A 依题意 即 2 11 8 1 4 a 2 3a 0a 3a 2 解 解 对任意的都有 成立等价于对任意的都有 12 1x xe 1 f x 2 g x 12 1x xe min f x max g x 当 1 时 x e 1 10gx x 函数在上是增函数 lng xxx 1e max 1g xg ee 且 2 22 1 xaxaa fx xx 1 xe 0a 当且 1 时 01a x e 2 0 xaxa fx x 函数在 1 上是增函数 2 a f xx x e 2 min 11f xfa 由 得 2 1a 1e ae 又 不合题意 01a a 当1 时