初中数学 数学名师 狄利克雷

1 狄利克雷狄利克雷 狄利克雷 p g l dirichlet peter gustav lejeune 1805 年 2 月 13 日生于德国迪 伦 1859 年 5 月 5 日卒于格丁根 数学 狄利克雷生活的时代 德国的数学正经历着以 c p 高斯 gauss 为前导的 由落后 逐渐转为兴旺发达的时期 狄利克雷以其出色的数学教学才能 以及在数论 分析和数学 物理等领域的杰出成果 成为高斯之后与 c g j 雅可比 jacobi 齐名的德国数学界的 一位核心人物 狄利克雷出身于行政官员家庭 他父亲是一名邮政局长 狄利克雷少年时即表现出对 数学的浓厚兴趣 据说他在 12 岁前就自攒零用钱购买数学图书 1817 年入波恩的一所中 学 除数学外 他对近代史有特殊爱好 人们称道他是个能专心致志又品行优良的学 生 两年后 他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校 在那里曾从师物理学家 g 欧姆 ohm 学到了必要的物理学基础知识 16 岁通过中学毕业考试后 父母希望他攻读法律 但狄利克雷已选定数学为其终身职 业 当时的德国数学界 除高斯一人名噪欧洲外 普遍水平较低 又因高斯不喜好教学 于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学 那里有一批灿如明星的数学家 诸如 p s 拉 普拉斯 laplace a 勒让德 legendre j 傅里叶 fourier s 泊松 poisson s 拉克鲁瓦 lacroix j b 比奥 biot 等等 1822 年 5 月 狄利克雷到达巴黎 选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读 其间因患轻 度天花影响了听课 幸好时间不长 1823 年夏 他被选中担任 m 法伊 fay 将军的孩子们 的家庭教师 法伊是拿破仑时代的英雄 时任国民议会反对派的领袖 狄利克雷担任此职 不仅收入颇丰 而且受到视如家人的善待 还结识了许多法国知识界的名流 其中 他对 数学家傅里叶尤为尊敬 受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深 另一方面 狄 利克雷从未放弃对高斯 1801 年出版的数论名著 算术研究 dispui sitiones arithmeticae 的钻研 据传他即使在旅途中也总是随身携带此书 形影不离 当时还没有 其他数学家能完全理解高斯的这部书 狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人 可以说 高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈 1825 年 狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文 题为 某些五次不定方程 的不可解 m moire sur l impossibilite de quelques quations ind termin es du cinquieme degr 他利用代数数论方法讨论形如 x5 y5 a z5 的方程 几周后 勒让德利 用该文中的方法证明了 xn yn zn 当 n 5 时无整数解 狄利克雷本人不久也独立证明出同一 结论 后来狄利克雷再次研究费马大定理时 证明 n 14 时该方程无整数解 1825 年 11 月 法伊将军去世 1826 年 狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走 的 a 洪堡 von humboldt 的影响下 返回德国 在布雷斯劳大学获讲师资格 他在法国未 攻读博士学位 而由科隆大学授予他荣誉博士头衔 这是获讲师资格的必要条件 后升任 编外教授 extraordinary professor 为介于正式教授和讲师之间的职称 1828 年 狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林 任教于柏林军事学 院 同年 他又被聘为柏林大学编外教授 后升为正式教授 开始了他在柏林长达 27 年的 教学与研究生涯 由于他讲课清晰 思想深邃 为人谦逊 谆谆善诱 培养了一批优秀数 学家 对德国在 19 世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响 1831 年 狄利 克雷成为柏林科学院院士 同年 他和哲学家 m 门德尔松 mende1ssohn 的外孙女丽贝卡 门德尔松 巴托尔特 rebecca mendelssohn bartholdy 结婚 1855 年高斯去世 狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教 与在柏林繁重 的教学任务相比 他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究 这一时期主要从事一 2 般力学的研究 可惜美景不长 1858 年夏他去瑞士蒙特勒开会 作纪念高斯的演讲 在 那里突发心脏病 狄利克雷虽平安返回了格丁根 但在病中遭夫人中风身亡的打击 病情 加重 于 1859 年春与世长辞 狄利克雷的主要科学工作如下 数论 狄利克雷在柏林的早期数论工作 集中在改进高斯在 算术研究 及其他数论文章中 的证明或表述方式 如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐 需对 8 种情形作分 别的处理 狄利克雷简化了这一证明 把全部情形归结为 2 种 其后 他在高斯的理论中 引入了一些更深入的问题和结果 如为解二元型理论中的某些困难问题 他开始讨论三元 型的课题 提出了一个富有成果的新领域 1837 年 7 月 27 日 狄利克雷在柏林科学院会 议上 提交了对勒让德的一个猜想的解答 他证明任一形如 an b n 0 1 2 的算术级数 若 a b 互素 则它含有无穷多个素数 即算术级数的素 是复数 和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法 成为解析数论的开创性工作 1842 年 狄利克雷开始研究具有高斯系数的型 首次运用了 盒子原理 若将多 于 n 个的物体放入 n 个盒子 则至少有一个盒子含有多于一个的物体 它在现代数论的许 多论证中起重要作用 1846 年 他在属于代数数论的单元理论的文章 复单元理论 zur theorie der plexen einheiten 中 获得了一个漂亮而完整的结果 现称 狄利克雷单元定理 对由一个不可约方程及其 r 个实根和 s 对复根定义的代数数域 k q 一切单元构成的阿贝尔群的秩为 r s 1 其有限阶元部分由域中单位根组成 1863 年 狄利克雷的 数论讲义 vorlesungen ber zahlen theorie 由他的学生 和朋友 r 戴德金 dedekind 编辑出版 这份讲义不仅是对高斯 算术研究 的最好注释 而且融进了他在数论方面的许多精心创造 之后多次再版 成为数论经典之一 分析狄利克雷是 19 世纪分析学严格化的倡导者之一 1829 年 他在克雷尔 crell 杂 志发表了他最著名的一篇文章 关于三角级数的收敛性 sur la convergence des s ries trigonom tri ques 该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的 讨论任意 函数展成形如 1 2a0 a1cosx b1sinx a2cos2x b2sin2x 的三角级数 现称傅里叶级数 及其收敛性 早在 18 世纪 d 伯努利 bernoulli 和 l 欧拉 euler 就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数 傅里叶在 19 世纪初用它讨论热 传导现象 但未虑及其收敛性 a l 柯西 cauchy 在 1823 年开始考虑它的收敛问题 狄 利克雷在文中指出柯西的推理不严格 其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数 他进 而考虑形式上对应于给定函数 f x 的三角级数的前 n 项的和 检验它跟 f x 的差是否趋于 零 后成为判断级数收敛的经典方法 狄利克雷证明 若 f x 是周期为 2 的周期函数 在 x dx 有限 则在 f x 所有的连续点处 其傅里叶级数收敛到 f x 在函数的跳 跃点处 它收敛于函数左右极限值的算术平均 这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数 收敛的充分条件 开始了三角级数理论的精密研究 1837 年 狄利克雷再次回到上述课题 发表题为 用正弦和余弦级 tionen durch sinus und cosinusreihen 的文章 其中扩展了当时普遍采用的函数概念 即由数学符号及 运算组成的表达式为函数的概念 引入了现代的函数概念 若变量 y 以如下方式与变量 x 相关联 即只要给 x 指定一个值 按一个规则可确定唯一的 y 值 则称 y 是独立变量 x 的 函数 为说明该规则具有完全任意的性质 狄利克雷举出了 性状极怪 的函数实例 当 x 为有理数时 y c 当 x 为无理数时 y d c 现称狄利克雷函数 但狄利克雷的连续函 数概念仍是直观的 并根据等距取函数值求和的方法定义其积分 在此基础上 狄利克雷 3 建立了傅里叶级数的理论 数学物理 1839 年 狄利克雷发表了 3 篇涉及力学的数学论文 讨论多重积分估值的方法 用于 确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力 开始了他对数学物理问题的研究 这方面最 重要的