福建省2012届高三数学考前适应性训练试卷9 理

用心 爱心 专心 1 福建省福建省 20122012 届高三考前适应性训练数学试卷理科届高三考前适应性训练数学试卷理科 9 9 第第 I I 卷 选择题卷 选择题 共共 5050 分 分 一 选择题 本大题有一 选择题 本大题有 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一个选项是符合题目要求的 一个选项是符合题目要求的 1 若复数 2 1ia 为虚数单位 是纯虚数 则实数 a A 1 B 1 C 0 D 2 已知集合 2 1 Pxxx R Qx x N则PQ 等于 A 1 3B 1 2 C 2 3 D 1 2 3 3 已知定义在 R 上的函数满足 且时 xf 1 xfxf 1 1 x 则 10 1 01 1 x x xf 3 f A 1 B 0 C 1 D 1 或 0 4 在 ABC 中 若 B C 的对边边长分别为b c 4 3 45 2 2 3 Bcb 则C等于 A 30 B 60 C 120 D 60 或120 5 已知为非零向量 则 函数 为偶函数 是 的 a b 2 f xaxb ab A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知 A B 是两个不同的点 是两条不重合的直线 是两个不重合的平面 nm 则 m AmAAnm A BmB m 其中真命题为 m m n nm A B C D 7 若连掷两次骰子 得到的点数分别为 记向量与向量的夹mn mn a 11 b 角为 则的概率是 0 A B C D 7 12 1 2 5 12 5 6 8 已知在函数 的图象上有一点 该函数的图象与 x轴 直线 yx 1 1 x P t t 用心 爱心 专心 2 x 1 及 x t围成图形 如图阴影部分 的面积为S 则S与t的函数关系图可表示为 9 己知双曲线的方程为 2 2 1 3 y x 直线m的方程为 1 2 x 过双曲线的右焦点的直线与F 双曲线的右支相交于P Q 以PQ为直径的圆与直线m相交于M N 记劣弧AMN的长 度为n 则 n PQ 的值为 A B C D 6 4 3 2 10 若在曲线 0f x y 或 yf x 上两个不同点处的切线重合 则称这条切线为曲线 0f x y 或 yf x 的自公切线 下列方程的曲线 22 1xy 3sin4cosyxx 2 yxx 2 14xy 存在自公切线的是 A B C D 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 100100 分 分 二 填空题 本大题有二 填空题 本大题有 5 5 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 2020 分分 把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置 11 在二项式的展开式中 的系数是 6 2 x 2 x 12 若等比数列 的首项为 且 则公比等于 n a 2 3 4 4 1 12 ax dx 13 运行右图示的程序框图 当输入时的输出结果为 4m n 若变量满足 则目标函数的 x y 3 1 xy xy yn 2zxy 最大值为 用心 爱心 专心 3 14 若函数在xxxf 3 3 1 在 2 10aa 上有最大值 则实数a的取值范围为 15 如图 坐标纸上的每个单元格的边长为 1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6 的横纵坐标分别对应数列 n anN 的前 12 项 如下表所示 按如此规律下去 则 200920102011 aaa 三 解答题三 解答题 本大题有本大题有 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本题满分 13 分 设函数的最大值为 最小正周期为 cossin322cos Rxxxxxf MT 求 MT 若有 10 个互不相等的正数满足 i x 10 2 1 10 ixMxf ii 且 求的值 1210 xxx 17 本题满分 13 分 在如图的多面体中 平面 EFAEBAEEB ADEF EFBC 是的中点 24BCAD 3EF 2AEBE GBC 求证 平面 ABDEG 求二面角的余弦值 CDFE 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3 y 4 x 4 y 5 x 5 y 6 x 6 y 第第 13 题图题图 用心 爱心 专心 4 18 本题满分 13 分 投掷四枚不同的金属硬币 假定两枚正面向上的概率均为 1 2 另ABCD AB 两枚为非均匀硬币 正面向上的概率均为 把这四枚硬币各投掷一CD 01 aa 次 设表示正面向上的枚数 若出现一枚正面向上一枚反面向上与出现两枚正面均向上的概率相等 AB CD 求的值 a 求的分布列及数学期望 用表示 a 若出现 2 枚硬币正面向上的概率都不小于出现 1 枚和 3 枚硬币正面向上的概率 求 的取值范围 a 19 本题满分 13 分 一个截面为抛物线形的旧河道 如图 1 河口宽米 河深 2 米 现要将其截面改4AB 造为等腰梯形 如图 2 要求河道深度不变 而且施工时只能挖土 不准向河道填土 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧的标准方程 AB 试求当截面梯形的下底 较长的底边 长为多少米时 才能使挖出的土最少 20 本题满分 14 分 已知函数 0 2 1 ln 2 abxaxxgxxf 用心 爱心 专心 5 若时 函数在其定义域上是增函数 求b的取值范围 2 a h xf xg x 在 的结论下 设函数的最小值 2ln 0 2 xxbeex xx 求函数 设函数的图象C1与函数的图象C2交于P Q 过线段PQ的中点R作x轴 xf xg 的垂线分别交C1 C2于点M N 问是否存在点R 使C1在 M 处的切线与C2在N处 的切线平行 若存在 求出R的横坐标 若不存在 请说明理由 21 本题有 1 2 3 三个选答题 每题 7 分 请考生任选 2 题作答 满分 14 分 如果多作 则 按所做的前两题计分 作答时 先用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 并将 选题号填入括号中 1 本小题满分 7 分 选修选修 4 4 一一 2 2 矩阵与变换矩阵与变换 设矩阵所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍 纵坐标伸长到 3M 倍的伸缩变换 求矩阵的特征值及相应的特征向量 M 求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程 1 M 22 1 49 xy 1 M 2 本小题满分 7 分 选修选修 4 4 一一 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 已知直线 t为参数 为参数 1 1cos sin xt C yt 2 cos sin x C y 当时 求与的交点坐标 3 1 C 2 C 过坐标原点做的垂线 垂足为 为中点 当变化时 求点O 1 CAPOA P 的轨迹的参数方程 3 本小题满分 7 分 选修选修 4 4 一一 5 5 不等式选讲不等式选讲 已知均为正实数 且 a b c1abc 求的最大值 414141abc 用心 爱心 专心 6 参考答案参考答案 一 选择题 本大题有 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 本题主要考查基础知识和基本运 算 1 A 2 D 3 A 4 D 5 C 6 A 7 A 8 B 9 C 10 C 二 本大题共 5 个小题 每小题 4 分 共 20 分 本题主要考查基础知识和基本运算 11 60 12 3 13 5 14 15 1005 2 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 解 4 分 3sin2cos22sin 2 6 f xxxx M 2 T 6 分 2 2 即 9 分 2 2 6 2 2 kxxf ii 6 Zkkxi 又 11 分9 1 0 100 kxi 13 分 1210 129 10 6 xxx 140 3 17 解 证明 ADEF EFBC ADBC 又 是的中点 2BCAD GBC ADBG 四边形是平行四边形 ADGB ABDG 平面 平面 平面AB DEGDG DEG AB 6 分DEG 平面 平面 平面EF AEBAE AEBBE AEB EFAE EFBE 又 两两垂直 7 分AEEB EB EF EA 以点E为坐标原点 分别为轴建立如图的空间 EB EF EA x y z 直角坐标系 由已知得 0 0 2 2 0 0 AB 2 4 0 0 3 0 0 2 2 CFD 用心 爱心 专心 7 2 2 0 8 分G 由已知得是平面的法向量 9 分 2 0 0 EB EFDA 设平面的法向量为 DCF x y z n 0 1 2 2 1 0 FDFC 即 令 得 11 分 0 0 FD n FC n 20 20 yz xy 1z 1 2 1 n 设二面角的大小为 CDFE 则 二面角的余弦值为 26 coscos 62 6 EB nCDFE 6 6 13 分 18 解 由题意 得 2 112 21 222 aa 3 分 0 1 2 3 4 4 分 02022 22 11 0 1 1 1 24 pCCaa 5 分 6 分 102021 2222 1111 1 1 1 1 1 1 2222 pCCaCC aaa 2202110222 222222 1111 2 1 1 1 2222 1 pCCaCC aaCC a 2 1 122 4 aa 7 分 221122 2222 111 3 1 1 2222 a pCCaCC aa 8 分 22222 22 11 4 24 pCC aa 9 分 得的分布列为 01234 p2 1 1 4 a 1 1 2 a 2 1 122 4 aa 2 a 2 1 4 a 的数学期望为 22 111 1 1 2 122 3421 2424 a Eaaaaa 10 分 22 111 2 1 122 1 241 424 ppaaaaa 由 0 22 11 2 3 122 21 424 a ppaaa 且 0 12 分 2 2 2410 222 22 210 aa a a 得解得 用心 爱心 专心 8 222 22 a 即的取值范围是 13 分 19 解 1 如图 以抛物线的顶点为原点 中垂线为轴建立直角坐标系 1 分ABy 则 2 分 2 2 2 2 AB 设抛物线的方程为 将点代入得 3 分 2 2 0 xpy p 2 2 B1p 所以抛物线弧 AB 方程为 4 分 2 2xy 22x 2 解法一 设等腰梯形的腰与抛物线相切于 2 1 2 P tt 0 t 不妨 则过的切线的斜率为 2 1 2 P tt x t yt 所以切线的方程为 即 2 2 t yt xt 2 2 t ytx 令 得 令 得 0y 2 t x 2y 2 2 t x t 所以梯形面积 10 分 122 2 222 4 2 222 tt St tt 当仅当 即时 成立 2 t t 2t 此时下底边长为 12 分 22 2 3 2 22 答 当梯形的下底边长等于米时 挖出的土最少 13 分3 2 解法二 设等腰梯形的腰与抛物线相切于 2 1 2 P tt 0 t 不妨 则过的切线的斜率为 2 1 2 P tt x t yt 所以切线的方程为 即 2 2 t yt xt 2 2 t ytx 运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积 10 分 22222 2 22 02 2 2 2 2222 tt t t xxtt Sdxtxdxtxdx 222222 22 222 022 22 2 2 2222 ttt tt tt xxtt dxdxtxdxdxtxdx 用心 爱心 专心 9 2222 2 22 02 2 22 22 tt tt t xt dxdxtxdx 222 2 4222 22 2 3222222 42 2 tttttt ttt ttt 28 2 3 t t 16 4 2 3 当仅当 即时 成立 此时下底边长为 2 t t 2t 22 2 3 2 22 12 分 答 当梯形的下底边长等于米时 挖出的土最少 13 分3 2 解法三 设等腰梯形上底 较短的边 长为米 则一腰过点 可设此腰所2a 0 0 aa 在直线方程为 联立 得 0 yk xak 2 1 2 yk xa yx 2 220 xkxka 令 得 或 舍 2 480kka 2ka 0k 故此腰所在直线方程为 2 ya xa 令 得 2y 1 xa a 故等腰梯形的面积 10 分 111 2 22 2 4 2 2 Saaa aa 当且仅当 即时 有 1 2a a 2 2 a min 4 2S 此时 下底边长 12 分 122 2 2 3 2 22 a a 答 当梯形的下底边长等于米时 挖出的土最少 13 分3 2 20 解 1 依题意 ln 2 bxxxxh 上是增函数 0 在xh 恒成立 2 分 0 02 1 xbx x xh对 用心 爱心 专心 10 b 的取值范围为 4 分 2 1 x x b 222 1 0 x x x则 22 2 设 即 5 分 2 1 2 tbttyet x 则函数化为 2 2 24 bb yt 1 2 t 当上为增函数 当 t 1 时 2 1 222 1 2 在函数时即yb b 6 分 1 min by 当 7 分 2 24 2 2 1时当时即 b tb b 4 2 min b y 当上为减函数 当 t 2 时 2 4 1 2 2 b by 即时函数在 8 分 min 42 yb 综上所述 当 1 222 bxb的最小值为时 当 2 24 2 b xb 的最小值为时 bxb24 4 的最小值为时当 9 分 3 设点 P Q 的坐标是则点 M N 的横坐标为 0 212211 xxyxyx 且 2 21 xx x C1在 M 处的切线斜率为 C2在点 N 处的切线斜率 2 21 1 xx k 2 21 2 b xxa k 假设 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线平行 则 21 kk 即 2 2 21 21 b xxa xx 则 2 2 12 2 1 2 2 21 12 xxb xxa xx xx 2 2 1 2 12 2 2 bxx a bxx a 12 分 12 yy 12 lnlnxx 1 2 ln x x