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第七章 空间问题的基本理论 ArchitectureEngineeringDepartmentofXiangtanUniversity 7 1平衡微分方程 differentialequationsofequilibrium 基本思路过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体 单元体 并把内应力连同体积力 外力 一起作用在该单元体上 考虑其平衡 列出其力的平衡条件 这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式 平衡微分方程 方程推导图示单元体受力情况属于空间一般力系 由 X 0 Y 0 Z 0 mx 0 my 0 mz 0 可得 Nevier方程 7 1 以及 7 2物体内任一点的应力状态 当平面ABC趋近P点时 平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力 令n的方向余弦为 得斜面上的应力为 7 2 若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解 则成为 7 3 以上各式用矩阵可以写成 或者 7 2a 7 3a 其中 称为一点处的应力张量 stresstensor 它是对称于主对角线的 即为对称张量 应力张量实质上是该点三个互相垂直微面上应力分量关系总的特征 应力张量是反映该点应力状态的特征力学量 当上述斜面ABC是弹性体的边界面时 7 2 则成为弹性体的边界条件 7 4 7 3主应力 主方向的确定 应力张量 也可以把它看成应力矩阵 而对于矩阵 按线性代数理论 它存在特征矩阵和特征方程 特征矩阵为 7 6 特征方程为 7 5 其中I1 I2 I3分别称为应力张量的第一 二 三不变量 是与应力张量对应的行列式的一 二 三阶主子式之和 即为 例题已知物体某点的应力分量为 x 50a y 80a z 70a xy 20a yz 60a zx 0 试计算主应力值 并求出主方向 解 首先求出应力不变量为 得特征值为 相应的方向余弦为 7 4几何方程物理方程Geometricalequations Physicalequations 7 7 Cauchy方程 记为张量形式则有 7 7 其中脚标中的逗号表示对坐标的微分 体积应变 volumestrain 设有微小正平行六面体 起棱边长为 x y z 变形前体积为 x y z 变形后体积成为 其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为 忽略二阶以上微量 则有 此即为体积应变 7 8 Lam 形式 广义虎克定律 7 8 其中 写成张量形式则有 Kronecker d Young Poisson形式 7 9 其中 写成张量形式则有 Lam 弹性常数 弹性空间问题位移解法 将Cauchy方程代入物理方程 得到用位移分量表示的应力分量 而后用此应力分量代入Navier方程即可 而解析形式为 其中Laplace微分算子在直角坐标系下的形式为 弹性空间问题应力解法 将 7 8 代入变形协调条件 整理后得到 对于空间问题 共有15个未知函数 6个应力分量 x y z yz zy zx xz xy yx6个应变分量 x y z yz z
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