2012一轮复习(三角函数)第4讲__简单的三角恒等变换

第第 4 4 讲讲 简单的三角恒等变换 知知 识识 梳理梳理 1 1 升降幂公式 1 cos 2 2cos 2 1 cos 2 2sin 2 2 2 同角正余弦化积公式 其中 22 sincossin axbxabx sin 22 b ab cos 22 a ab 问题问题 1 1 07 江苏 若 则 1 cos 5 3 cos 5 tantan A 点拨 已知条件中的角是 待求式中的角是 故只需将条件展开 再由 同角关系式来处理 由 5 1 sinsincoscos cos 5 3 sinsincoscos cos 求出 5 1 sinsin 5 2 coscos 2 1 coscos sinsin tantan 2 处理三角式的化简 求值和证明问题的基本原则是 见平方就降次 见切割就化弦见平方就降次 见切割就化弦 问题问题 2 2 已知 求和的值 5 tancot 2 4 2 且cos2 sin 2 4 由得 5 tancot 2 sincos5 cossin2 254 sin2 sin225 因为所以 4 2 2 2 2 3 cos21 sin 2 5 sin 2 sin2 coscos2 sin 444 42322 525210 考考 点点 题题 型型 探探 析析 考点考点 1 1 三角求值题的处理 题型题型 1 1 给角求值问题给角求值问题 例 1 不查表求值 2cos10sin20 cos20 解题思路 要注意到 然后用公式展开 103020 解析 原式 2cos 3020 sin203cos20 3 cos20cos20 新题导练 2 0 20 3sin70 2cos 10 A B C 2 D 1 2 2 2 3 2 解析解析 选 C 2 222 3sin703cos203 2cos 201 2 2cos 102cos 102cos 10 答案 C 题型题型 2 2 给式求值 例 2 惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题 已知 0 2 cos2 2 sin xx 1 求的值 xtan 2 求的值 xx x sin 4 cos 2 2cos 解题思路 第 1 问注意到 第 2 问对三角式化为的表达式 2 2 x x x 解析 1 由 0 2 cos2 2 sin xx 2 2 tan x 3 4 21 22 2 tan1 2 tan2 tan 2 2 x x x 2 原式 xxx xx sin sin 2 2 cos 2 2 2 sincos 22 xxx xxxx sin sin cos sin cossin cos x xx sin sincos 1cot x 31 1 44 例 3 设向量 若 cos sin cos sin ab 0 且 4 5 a b 求的值 4 tan 3 tan 4 coscossinsin 5 4 cos 5 0 34 tan tan7 43 tantan 34 1tan tan24 1 43 a b 又0 3 si n 5 3 t an 4 4 又t an 3 新题导练 1 已知函数f x 2sinxcosx cos2x 求f 的值 设 0 f 求 cos2的值 4 4 3 2 5 1 解析 f x sin2x cos2x f sin cos 1 4 2 2 f sin cos 1 sin2 sin2 2 5 1 25 1 25 24 cos2 0 2 cos2 0 25 7 4 3 2 3 故 cos2 25 7 2 已知向量a a 3sin cos b b 2sin 5sin 4cos 且a a b b 求 tan 的值 3 2 2 解 1 a a b b a a b b 0 而a a 3sin cos b b 2sin 5sin 4cos 故a a b b 6sin2 5sin cos 4cos2 0 由于 cos 0 6tan2 5tan 4 0 解之 得 tan 或 4 3 tan 1 2 tan 0 故 tan 舍去 tan 3 2 2 1 2 4 3 题型题型 3 3 给式求角 例 4 广东省揭阳市 2008 年第一次模拟考试 已知 向量 3 1 a sin2 bx 函数 若且 求的值 cos2 x f xa b 0f x 0 x x 解题思路 先由向量运算得出三角函数间的关系 再进一步处理 解析 f xa b 3sin2cos2xx 由得即 0f x 3sin2cos20 xx 3 tan2 3 x 或0 x 022x 2 6 x 7 2 6 x 或 12 x 7 12 例 5 2007 四川 已知 0 14 13 cos 7 1 cos且 2 求的值 求 2tan 解题思路 由同角关系求出再求 又结合角的范tan tan2 围定角 解析 由 得 1 cos 0 72 2 2 14 3 sin1 cos1 77 于是 sin4 37 tan4 3 cos71 22 2tan2 4 38 3 tan2 1tan47 14 3 由 得0 2 0 2 又 13 cos 14 2 2 133 3 sin1 cos1 1414 由得 coscos 所以 coscossinsin 1134 33 31 7147142 3 考点考点 2 2 三角式的化简与证明 题型题型 1 1 利用正 余弦定理和三角函数的恒等变换进行化简求值 例 1 化简 2 2 2cos1 2tan sin 44 解题思路 对三角函数式化简结果的一般要求 函数种类最少 项数最少 函数次数最低 能求值的求出值 尽量使分母不含三角函数 尽量使分母 不含根式 解析 原式 2 2 2cos1 2sin 4 cos 4 cos 4 2 2cos1 2sin cos 44 2 2cos1cos2 1 cos2c