选修1-2第二章：推理与证明答案

第二章第二章 推理与证明推理与证明 知识点 知识点 1 归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理 称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是归纳推理是由部分到整体 由特殊到一般由部分到整体 由特殊到一般的推理 的推理 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题 猜想 证明 视题目要求 可有可无 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为 类比推理 简称类比 简言之 类比推理是类比推理是由特殊到特殊由特殊到特殊的推理的推理 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜 想的推理 归纳推理和类比推理统称为合情推理 通俗地说 合情推理是指 合乎情理 的推理 4 演绎推理 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论 这种推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是演绎推理是由一般到特殊由一般到特殊的推理的推理 演绎推理的一般模式 三段论三段论 包括 大前提大前提 已知的一般原理 已知的一般原理 小前提小前提 所研究的特殊情况 所研究的特殊情况 结论结论 据一般原理 对特殊情况做出的判断 据一般原理 对特殊情况做出的判断 5 直接证明与间接证明 综合法 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结 论成立 要点 顺推证法 由因导果顺推证法 由因导果 分析法 从要证明的结论出发 逐步寻找使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 要点 逆推证法 执果索因逆推证法 执果索因 反证法 一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原 命题成立 的证明方法 它是一种间接的证明方法 反证法法证明一个命题的一般步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 2 推理 根据假设进行推理 直到导出矛盾为止 3 归谬 断言假设不成立 4 结论 肯定原命题的结论成立 2 1 1 合情推理合情推理 1 下面使用类比推理恰当的是 C A 若 a 3 b 3 则 a b 类推出 若 a 0 b 0 则 a b B a b c ac bc 类推出 a b c ac bc C a b c ac bc 类推出 c 0 a b c a c b c D ab n anbn 类推出 a b n an bn 解析 由实数运算的知识易得 C 项正确 2 根据给出的数塔猜测 123 456 9 7 等于 B 1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1 111 1 234 9 5 11 111 12 345 9 6 111 111 A 1 111 110 B 1 111 111 C 1 111 112 D 1 111 113 解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数 即 1 111 111 3 下图为一串白黑相间排列的珠子 按这种规律往下排起来 那么第 36 颗珠子应是什么颜色 A A 白色 B 黑色 C 白色可能性大 D 黑色可能性大 解析 由图知 三白二黑周而复始相继排列 36 5 7 余 1 第 36 颗珠子的颜色为白色 4 已知 a1 3 a2 6 且 an 2 an 1 an 则 a33为 A A 3 B 3 C 6 D 6 解析 a3 3 a4 3 a5 6 a6 3 a7 3 a8 6 故 an 是以 6 个项为周期循环出现的数列 a33 a3 3 5 已知 f1 x cos x f2 x f 1 x f3 x f2 x f4 x f 3 x fn x fn 1 x 则 f2 007 x 等于 D A sin x B sin x C cos x D cos x 由已知 有 f1 x cos x f2 x sin x f3 x cos x f4 x sin x f5 x cos x 可以归纳出 f4n x sin x f4n 1 x cos x f4n 2 x sin x f4n 3 x cos x n N f2 007 x f3 x cos x 6 下列推理正确的是 D A 把 a b c 与 loga x y 类比 则有 loga x y logax logay B 把 a b c 与 sin x y 类比 则有 sin x y sin x sin y C 把 ab n与 a b n类比 则有 x y n xn yn D 把 a b c 与 xy z 类比 则有 xy z x yz A 错误 因为 logax logay logaxy x 0 y 0 B 错误 因为 sin x y sin xcos y cos xsin y 对于 C 则 有 x y n C xn C xn 1 y C xn r yr C yn D 正确 为加乘法的结合律 0 n1 nr nn n 7 如果数列 an 的前 n 项和 Sn an 3 那这个数列的通项公式是 D 3 2 A an 2 n2 n 1 B an 3 2n C an 3n 1 D an 2 3n 当 n 1 时 a1 a1 3 a1 6 由 Sn an 3 当 n 2 时 Sn 1 an 1 3 当 n 2 时 an Sn Sn 1 3 2 3 2 3 2 an an 1 an 3an 1 a1 6 a2 3 6 a3 32 6 猜想 an 6 3n 1 2 3n 3 2 3 2 8 设 f x x1 1 xn f xn 1 n 2 则 x2 x3 x4分别为 猜想 xn 2x x 2 2 3 2 4 2 5 2 n 1 解析 x2 f x1 x3 f x2 x4 f x3 xn 2 1 2 2 3 1 2 2 4 2 1 2 1 2 2 2 5 2 n 1 9 观察下列各式 9 1 8 16 4 12 25 9 16 36 16 20 这些等式反映了自然数间的某种规律 设 n 表示自然数 用关于 n 的等式表示为 n 2 2 n2 4n 4 解析 由已知四个式子可分析规律 n 2 2 n2 4n 4 10 把 1 3 6 10 15 21 这些数叫做三角形数 这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形 如图 试求第七个三角形数是 28 解析 观察知第 n 个三角形数为 1 2 3 n 当 n 7 时 28 n n 1 2 7 7 1 2 11 平面内正三角形有很多性质 如三条边相等 类似地写出空间中正四面体的两个性质 性质 六条棱长相等 性质 四个面都全等 12 若数列 an 的通项公式 an 记 f n 1 a1 1 a2 1 an 试通过计算 f 1 f 2 f 3 的值 1 n 1 2 推测出 f n 的值 解 f 1 1 a1 1 f 2 1 a1 1 a2 f 1 1 4 3 4 1 1 9 3 4 8 9 2 3 4 6 f 3 1 a1 1 a2 1 a3 f 2 由此猜想 f n 1 1 16 2 3 15 16 5 8 n 2 2 n 1 2 1 2 演绎推理演绎推理 1 下面几种推理过程是演绎推理的是 A A 两条直线平行 同旁内角互补 如果 A 与 B 是两条平行直线的同旁内角 则 A B 180 B 某校高三 1 班有 55 人 2 班有 54 人 3 班有 52 人 由此得高三所有班人数超过 50 人 C 由平面三角形的性质 推测空间四面体的性质 D 在数列 an 中 a1 1 an n 2 由此归纳出 an 的通项公式 1 2 an 1 1 an 1 解析 C 是类比推理 B 与 D 均为归纳推理 2 三段论 只有船准时起航 才能准时到达目的港 这艘船是准时到达目的港的 这艘船是准时起航 的 中的 小前提 是 D A B C D 解析 大前提为 小前提为 结论为 3 因对数函数 y logax 是增函数 大前提 而 y x 是对数函数 小前提 所以 y x 是增函数 结论 上面推理错误的是 A A 大前提错导致结论错 B 小前提错导致结论错 C 推理形式错导致结论错 D 大前提和小前提都错导致结论错 解析 y logax 当 a 1 时 函数是增函数 当 0 a b2 c2 填 或 解析 由 cos A 0 知 b2 c2 a2b2 c2 b2 c2 a2 2bc 6 在推理 因为 y sin x 是上的增函数 所以 sin sin 中 大前提为 y sin x 是上的增函数 0 2 3 7 2 5 0 2 小前提为 且 结论为 sin sin 3 7 2 5 0 2 3 7 2 5 3 7 2 5 7 已知三条不重合的直线 m n l 两个不重合的平面 有下列命题 若 m n n 则 m 若 l m 且 l m 则 若 m n m n 则 若 m n n m 则 n 其中正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 B 中 m 还可能在平面 内 错误 正确 中 m 与 n 相交时才成立 错误 正确 8 函数 y 2x 5 的图象是一条直线 用三段论表示为 大前提 一次函数的图象是一条直线 小前提 函数 y 2x 5 是一次函数 结论 函数 y 2x 5 的图象是一条直线 9 如图 在 ABC 中 AC BC CD 是 AB 边上的高 求证 ACD BCD 证明 在 ABC 中 因为 CD AB AC BC 所以 AD BD 于是 ACD BCD 则在上面证明的过程中错误的是 只填序号 解析 由 AD BD 得到 ACD BCD 的推理的大前提应是 在同一三角形中 大边对大角 小前提是 AD BD 而 AD 与 BD 不在同一三角形中 故 错误 10 用三段论证明 直角三角形两锐角之和为 90 证明 因为任意三角形内角之和为 180 大前提 而直角三角形是三角形 小前提 所以直角三角形内角之 和为 180 结论 设直角三角形两个锐角分别为 A B 则有 A B 90 180 因为等量减等量差相等 大前提 A B 90 90 180 90 小前提 所以 A B 90 结论 11 已知函数 f x 对任意 x y R 都有 f x y f x f y 且 x 0 时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 为奇函数 2 求 f x 在 3 3 上的最大值和最小值 1 证明 x y R 时 f x y f x f y 令 x y 0 得 f 0 2f 0 f 0 0 令 y x 则 f x x f x f x 0 f x f x f x 为奇函数 2 解 设 x1 x2 R 且 x10 时 f x 0 f x2 x1 0 即 f x2 f x1 x 0 且 x y 1 那么 D A x y 2xy B 2xy x y C x 2xy y D x 2xy x 0 且 x y 1 设 y x 则 2xy x 2xy B 是 sin A sin B 的 C A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 由正弦定理 又 A B 为三角形的内角 sin A 0 sin B 0 sin A sin B 2Rsin A 2Rsin a sin A b sin B B a b A B 4 已知 a 0 且 a 1 P loga a3 1 Q loga a2 1 则 P Q 的大小关系是 A A P Q B P Q C P1 时 a3 1 a2 1 所以 P Q 当 0 a 1 时 a3 1Q 5 已知函数 f x lg 若 f a b 则 f a b 1 x 1 x 解析 f x lg 可分析 f x 为奇函数 f a f a b 1 x 1 x 6 要证明 2 可选择的方法有很多 最合理的应为 分析法 375 7 如图所示 在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中 当底面四边形 ABCD 满足条件 对角线互相垂直 时 有 A1C B1D1 注 填上你认为正确的一个条件即可 不必考虑所有可能的情形 解析 本题答案不唯一 要证 A1C B1D1 只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1 因为该四棱柱为直 四棱柱 所以 B1D1 CC1 故只需证 B1D1 A1C1即可 8 若平面内有 0 且 则 P1P2P3一定是 等边 形状 三角 OP1 OP2 OP3 OP1 OP2 OP3 形 解析 可结合图形 利用向量的几何意义加以解决 9 设 a b 0 且 a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明 法一 分析法 要证 a3 b3 a2b ab2成立 只需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 又因 a b 0 只需证 a2 ab b2 ab 成立 只需证 a2 2ab b2 0 成立 即需证 a b 2 0 成立 而依题 设 a b 则 a b 2 0 显然成立 由此命题得证 法二 综合法 a b a b 0 a b 2 0 a2 2ab b2 0 a2 ab b2 ab 注意到 a b R a b 0 由上式即得 a b a2 ab b2 ab a b a3 b3 a2b ab2 10 在 ABC 中 三个内角 A B C 对应的边分别为 a b c 且 A B C 成等差数列 a b c 成等比数列 求证 ABC 为等边三角形 证明 由 A B C 成等差数列 有 2B A C 因为 A B C 为 ABC 的内角 所以 A B C 由 得 B 3 由 a b c 成等比数列 有 b2 ac 由余弦定理及 可得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac 再由 得 a2 c2 ac ac 即 a c 2 0 因此 a c 从而有 A C 由 得 A B C 所以 ABC 为等边三角形 3 2 2 2 反证法反证法 1 实数 a b c 不全为 0 等价于 D A a b c 均不为 0 B a b c 中至多有一个为 0 C a b c 中至少有一个为 0 D a b c 中至少有一个不为 0 解析 不全为 0 即至少有一个不为 0 故选 D 2 下列命题错误的是 D A 三角形中至少有一