高一数学典型例题分析 数列的求和

专心 爱心 用心 1 专题研究 数列的求和专题研究 数列的求和 例题解析例题解析 例例 1 1 求下列数列的前 n 项和 Sn 1 2 1 3 3 1111 1 1 2 2 1 4 3 1 8 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 23456212 1 n n nn n 解解 1 S 1 1 2 123n n 2 1 4 3 1 8 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2 n n n n n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 n n n n 2 S 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 n 32n 1242n 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 234212 nn 1 3 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 3 5 8 1 1 3 2 2 22 2 2 nn n 3 先对通项求和 a 1 S 222 1 1 4 1 2 n nn 1 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 11 nn 2n 1 1 4 1 2 2n2 n 1 1 2 1 2 1n 专心 爱心 用心 2 例例 2 2 求和 1 1 1 1 23 1 34 2 1 1 3 1 2 2 1 1 5 1 37 1 59 1 21 23 5 1 58 1 811 1 31 32 n n nn nn 解解 1 1 n n 1 11 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 nn S nn n 1 1 1 1 n n n 2 1 2n1 2n 3 S n 1 4 1 21 1 23 1 4 1 1 5 1 3 1 7 1 5 1 9 1 23 1 21 1 21 1 23 nn n nnn 1 4 1 1 3 1 21 1 23 45 3 21 23 nn nn nn 3 1 3n1 3n 2 S 1 3 n 1 3 1 31 1 32 1 2 1 5 1 5 1 8 1 8 1 11 1 31 1 32 nn nn 1 3 1 2 1 32 64 n n n 例例 3 3 求下面数列的前 n 项和 1147 3n2 111 21 aaa n 专心 爱心 用心 3 分分析析 将数列中的每一项拆成两个数 一个数组成以为公比的等 1 a 比数列 另一个数组成以 3n 2 为通项的等差数列 分别求和后再合并 解解 设数列的通项为 an 前 n 项和为 Sn 则 a 1 a 3n2 S 147 3n2 nn 1 n 1 111 21 aaa n 当时 当 时 a 1S n a1S 1 1 a 1 1 a n n n 132 2 3 2 132 2 131 2 2 1 nnnn nna aa nn n nn 说明说明 等比数列的求和问题 分 q 1 与 q 1 两种情况讨论 例例4 4 a k kN aaa k 设 则数列 12 357 222 123 的前 n 项之和是 ABCD 6 1 3 1 6161 2 n n n n n n n n 解解 b b n n 设数列 的通项为 则 357 21 123 aaa n an 又 a 12n n n1 2n1 b 6 n n 1 6 1 n 1 n 1 n 222 n 1 6 数列 bn 的前 n 项和 Sn b1 b2 bn 6 6 6n n 1 A 1 1 2 1 3 11 2 1 3 11 1 1 1 1 选 nnn n 例例 5 5 求在区间 a b b a a b N 上分母是 3 的不可约分数之和 专心 爱心 用心 4 解解法法一一 ab 3 a1a2b1 区间 上分母为 的所有分数是 它是以 为首项 以为公差的等差数列 3 3 31 3 32 3 34 3 35 3 32 3 31 3 3 3 3 3 1 3 aaa aabbb a 项数为 其和 3b3a1S 1 2 3b3a1 ab 其中 可约分数是 a a 1 a 2 b 其和 S 1 2 ba1 ab 故不可约分数之和为 SS 1 2 ab 3b3a1 ba1 b2 a2 解法二解法二 S 3a 1 3 3a 2 3 3a 4 3 3a 5 3 3b2 3 3b1 3 而又有 S a a a a b b S b b b b a a 1 3 2 3 4 3 5 3 2 3 1 3 1 3 2 3 4 3 5 3 2 3 1 3 两式相加 2S a b a b a b 其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约分数个数 即 3 b a 1 b a 1 2 b a 2S 2 b a a b S b2 a2 例例 6 6 求下列数列的前 n 项和 Sn 1 a 2a2 3a3 nan a 0 1 2 1 4 9 n2 3 1 3x 5x2 2n 1 xn 1 x 1 4 1 2 2 4 3 82 n n 解解 1 Sn a 2a2 3a3 nan 专心 爱心 用心 5 a 0 aSn a2 2a3 3a4 n 1 an nan 1 Sn aSn a a2 a3 an nan 1 a 1 1 1 1 1 11 1 2 1 a S aa a na S aa a na a n n n n nn 2 Sn 1 4 9 n2 a 1 3 a3 3a2 3a 1 23 13 3 12 3 1 1 33 23 3 22 3 2 1 43 33 3 32 3 3 1 n3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1 n 1 3 n3 3n2 3n 1 把上列几个等式的左右两边分别相加 得 n 1 3 13 3 12 22 n2 3 1 2 n n 3 123n n 2222 31 2 n n 12 22 32 n2 n1 1n n3n3nn 3 32 1 3 31 2 1 3 31 2 n n n n n 2n3n1 n n1 2n1 2 1 6 1 6 3 Sn 1 3x 5x2 7x3 2n 1 xn 1 专心 爱心 用心 6 xSn x 3x2 5x3 2n 3 xn 1 2n 1 xn 两式相减 得 1 x Sn 1 2x 1 x x2 xn 2 2n 1 xn 1 2n1 x 2n1 x S 2n1 x n n 1 n n 1 21 1 211 1 211 1 1 2 x x x nxx x nxx x n n n 4 S 1 2 n 2 2 3 22 1 2 1 2 2 2 3 22 23 2341 n S n n nn 两式相减 得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 1 2 1 1 2 2 231 1 S n n nnn n n 1 1 22 1 22 1 1 nn nn n n S 2 n 说明说明 求形如 an bn 的数列的前 n 项和 若其中 an 成等差数列 bn 成等 比数列 则可采用推导等比数列求和公式的方法 即错位相减法 此方法体现了化 归思想 例例7 7 a nSS nnn 设等差数列的前 项和为 且 an 1 2 2 n N 若 bn 1 n Sn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 分析分析 求 bn 的前 n 项和 应从通项 bn入手 关键在于求 an 的前 n 项和 Sn 而由已知只需求 an 的通项 an即可 解解法法一一 a S n 1a a 2 a 1 nn 1 12 1 是等差数列 当时 解得 an 1 2 1 2 专心 爱心 用心 7 当时 解得或 当时 由 解得或 n 2aa a a 3a 1 n 3aaa a a 3a 5a 12 22 22 123 32 233 1 2 1 2 3 由 a2 1 解得 a3 1 又 舍S 0 a 1a 3a 1 n233 an 1 2 2 即 a1 1 a2 3 a3 5 d 2 an 1 2 n 1 2n 1 Sn 1 3 5 2n 1 n2 bn 1 n Sn 1 n n2 Tn 12 22 32 42 1 n n2 当 n 为偶数时 即 n 2k k N Tn 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 3 7 4k 1 3 4k1 k 2 2k1 k n n 1 2 当 n 为奇数时 即 n 2k 1 k N Tn 12 22 32 42 2k 1 2 12 22 32 42 2k 1 2 2k 2 2k 2 2k 1 k 2k 2 k 2k 1 T 1 nN nS a a n 2 a n n n 1n n 也可利用等差数列的前 项和公式 求 n n n n 1 2 1 2 专心 爱心 用心 8 解解法法二二 n 1a a a 1 S