数学分析中的反例问题

摘 要 数学分析是一门非常重要的基础课程 反例对理解数学分析有关定义和定理的内涵 和外延有着不可替代的作用 反例的地位在数学的学习中占有很重要的地位 对培养我们 的逆向思维至关重要 恰当的运用反例对我们数学能力的提高起着事半功倍的效果 我们 希望定理中的条件是最简的 在我们一步步削弱条件的时候 反例的作用就越来越明显 一 个特列不能说明一个命题是对的 但一个反例完全可以证明一个命题是错的 反例的作用 和构造也越来越受到重视 本文介绍了数列 函数 导数 积分 无穷积分 级数等中的一些典 型问题的反例 对一些逆命题的成立与否通过反例做了简单的论证 通过反例把一些看似 相关性很大的定义和定理的区别又做了进一步的比较和分析 对一些反例的构造过程和 思路做了详细介绍 回答了为什么这样构造的问题 可以让读者在错综复杂的关系里得到 清晰的逻辑和思路 关键词 命题 反例 构造 数学分析 体现 ABSTRACT Mathematical analysis is a very important basic course counterexample has an irreplaceable role in understanding mathematical analysis about definition and theorem of connotation and denotation counter example role has a extremely important position in learning mathematics occupies it is very important to educate our reverse thinking appropriate mathematical ability for us to use counterexample improve play a extremely important position we hope that the conditions of the theorem is one of the most simple when we weaken conditions step by step the counter example of the role is more and more obvious a special example does not justify a question is right but a counter example can prove that a theorem is wrong counterexample and structure is becoming more and more important According to the general mathematical analysis teaching material order this paper introduces the sequence function derivative and series of a reverse case of some typical problems such as for some of the establishment of the converse proposition seemingly through counterexamples correlation definition theorem of great difference and do a further comparison and analysis of the construction process of some counter example it also made a detailed introduction why and how structure counterexample get a answer in this paper reader can get a clear logic in this paper Key words proposition counter example structure mathematical analysis reflect 目 录 1 1 引言引言 1 1 2 2 反例在加深理解定义及相关概念中的体现反例在加深理解定义及相关概念中的体现 1 1 2 1 周期函数 1 2 2 复合函数 1 2 3 极值 2 2 4 一致连续 2 2 5 导数 3 3 3 反例在掌握定理的内涵与外延中的体现反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 3 3 3 1 柯西收敛准则 3 3 2 STOLZ公式 4 3 3 比式判别法 5 3 4 比较原则 5 3 5 阿贝尔判别法 6 3 6 莱布尼茨判别法 7 4 4 反例在辨析重要结论的逆命题中的体现反例在辨析重要结论的逆命题中的体现 7 7 5 5 反例在论证辩证关系中的体现反例在论证辩证关系中的体现 1010 5 1 lim x f x 和 lim x fx 的关系 10 5 2 原函数与可积函数之间的关系 10 5 3 a f x dx 收敛与lim x f x 0 的关系 11 5 4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 12 6 6 结论结论 1313 参参 考考 文文 献献 1414 致致 谢谢 1515 1 1 引言 数学分析在数学专业中占有重要的基础地位 反例在数学分析中的应用也越来越 受到重视 其实反例的作用不仅仅体现在数学分析中 像实变函数中的康托尔三分集就 是一个经典的例子 也可充当很多命题的反例 第一个无处可微的连续函数的例子是由 Weierstrass 用振动曲线 构造提出的 13 这使得人们对连续 cosyx 0 cos nn n bax 和可微之间的关系研究又提高到了另一个高度 是理性的结果 打破了长期以来的模糊的 错误的观点 从此以后 人们又仿效他做了适当的修改 构造出越来越多的反例 反例的作 用越来越得到人们的肯定和重视 由此可见 能构造出反例来推翻一个命题和证明一个命 题的正确性同等重要 构造反例关键在于巧妙 反例不是凭空想象的 而是根据要求和已 有的知识经过很严密的思考得出来的 在运用和构造反例的过程中可以让我们对知识点 理解的更加透彻 使我们的思路更加清晰 对提高我们的数学思想和数学能力有着很大 的帮助作用 2 反例在加深理解定义及相关概念中的体现 2 1 周期函数 并不是非常数的周期函数都有最小正周期 下面我们寻求一个没有最小正周期的非 常数的周期函数 可以证明非常数的连续周期函数必有最小正周期 5 所以我们构造的函 数一定是不连续的 如狄利克雷函数 1 0 x D x x 为有理数 为无理数 它的周期是全体有理数 因而没有最小正周期 2 2 复合函数 yf u ug x 已知 若的过程中始终保持有 0 0 lim xx g xu 0 lim uu f uA 0 xx g x 则复合函数的极限 12 注意这里的 容易忽略 但确实又 0 g xu 0 lim xx f g xA 0 g xu 是必不可少的 例如 1 0 0 0 u yf u u 及 0 x x ug x x 为无理点 为有理点 2 这时时 时 但复合后的极限不存在 因为0 x 0u 0u 1yf u 1 0 x f g x x 为无理点 为有理点 由此可知是不能去掉的 但是如果外层函数连续 则 0 g xu 00 lim lim xxxx f g xfg x 就不必假定在极限过程中了 0 g xu 2 3 极值 若连续函数在点有极大值 则在此点的某一领域内一定满足在此点的 f x 0 x f x 左侧递增右侧递减 这个命题初看很正常 感性认识是对的 但是事实并非如此 例如 2 1 2 2 sin 0 00 xx f xx x f x 在 0 取得极大值 2 而 0 x 11 cos2 2sin 0fxxx xx 在 0 的任意小的领域内都时正时负 故在 0 的左右两侧任意领域内都是震荡 0 x 0 x f x 的 2 4 一致连续 定义定义 1 1 设 f 为定义在区间 I 上的函数 若对任给的 存在 使得对0 0 任何 I 只要 就有 1 x 2 x 12 xx 12 f xf x 则称函数 f 在区间 I 上一致连续 由一致连续的定义可以证明 在有限开区间上一致连续的两个函数之积仍然是一致 连续函数 现在我们来看在有限开区间上一致连续的两个函数之商和在无穷区间上一致连续 的两个函数之积是否还是一致连续函数 通过反例我们可以知道这时就不一定成立了 如 1 与 x 在 0 1 上一致连续 但其 商在 0 1 上不一致连续 1 x x 与 x 在 0 上一致连续 但在 0 上不一致连续 2 x 3 2 5 导数 定义定义 2 1 设函数在的某邻域内有定义 若极限 yf x 0 x 0 0 0 lim xx f xf x xx 存在 则称函数在点处可导 f 0 x 由定义可知函数的可导是针对一点而言的 所以存在只在一点可导 在这一点的任何 领域内都不可导的函数 因为连续也是针对点而言的 我们知道存在只在单点连续的函数 在这一点的任何领域内都不连续 如黎曼函数 那么是否存在这样的函数 只在一点可导 在其他任一点都不连续 这样的函数是存在的 如 仅在点 0 处可导 在其 f x 2 x D x 0 x 他任意一点都不可导 且不连续 其中是狄利克雷函数 D x 2 可导函数在某点满足 但不能断定在的某领域内单调递增 如 f x 0 0fx f x 0 x 2 1 2sin 0 00 xxx f xx x 则 11 14 sin2cos 0 0 xx fxxx x 1 在 0 点 但在原点的任意领域内都取正值和负值 0 x 0 1 0 f fx 3 导函数不一定连续 例如 2 1 sin 0 0 xx f xx x 0 则 11 2 sincos 0 0 xx fxxx x 0 在点间断 并且是第二类间断点 其实这并不是偶然 因为导函数是没有第一类 fx0 x 间断点的 并且还可以证明导函数如果有第二类间断点一定是振荡型的第二类间断点 3 反例在掌握定理的内涵与外延中的体现 3 1 柯西收敛准则 定理定理 3 1 1 1 柯西收敛准则 数列 收敛的充要条件是 对任给的 存在 n a0 4 正整数 N 使得当 n mN 时有 nm aa 下面列出两个命题 1 数列收敛的充要条件是 5 对任给的 当时 对一切 n a0 N nN 都有1 2 3 p npn aa 2 数列收敛的充要条件是 对任给的 对 当时 有 n a0 1 2 3 p N nN npn aa 对于以上两个命题 再结合柯西收敛准则 我们很难一下子看清楚哪个是对的 看似他 们的表述很接近 貌似都对 实则不然 对于命题 2 虽然是任意的 但是是在选取前就pN 给定的 可能每一个都会对应着一个不同的 这样就会使得的选取和的取值有pNNp 关 从而找不到一个公共的使的对任何一个都成立 这就是命题 2 和命题 1 最本质的Np 区别 经过初步分析我们还不能断定命题 2 是错误的 如果能举一个反例推翻就可以了 而 这种反例是存在的 比如令 111 1 23 n a n 则 111 121 npn p aa nnnpn 对任意给定的 当充分大时成立 所以pn 111 1 23 n a n 是满足命题 2 的要求的 但是我们知道是发散的 所以命题 2 是不对 111 1 23 n a n 的 通过这个反例可以看出反例在加深理解定理中的作用是不言而喻的 3 2 stolz 公式 定理定理 3 3 1 2 5 型 Stolz 公式 若严格递增且 则 n ylim n n y 1 1 lim nn n nn xx l yy 是有限数 或 1 1 limlim nnn nn nnn xxx l yyy l 型 Stolz 公式 5 若严格递减且 则 n ylim0 n n y lim0 n n x 1 1 lim nn n nn xx l yy 是有限数 或 1 1 limlim nnn nn nnn xxx l yyy l 注意上面的 可以是有限数 也可以是或 但是l 1 1 lim nn n nn xx yy 一般推不出 例如令lim n n n x y n n x 222 0 2 0 4 0 6 n y 这时虽然 但是 即 1 1 lim nn n nn xx yy n n y x 0 2 0 4 0 6 lim n n n x y 要特别注意的是 Stolz 公式的逆命题是不成立的 现以型 Stolz 公式为例 即使严格递增且 但是推不出 n ylim n n a lim n n n x l y 1 1 lim nn n nn xx l yy 如我们用 Stolz 公式很容易知道如果 则lim n n aa 12 lim n n aaa a n 但是由此等式反过来我们是推不出的 例如 令 显然lim n n aa n a 1 n 12 lim0 n n aaa n 但是 lim0 n n a 针对上例我们还可以得到推不出是因为的极限不存在 如果存在的话 lim n n aa n a 一定成立 所以加上单调这个条件就可以确定成立 因为如果lim n n aa n alim n n aa 单调就可以保证的极限是存在的 要么是有限数 要么是或 而这三种情 n a n a 况恰好在 Stolz 公式的使用范围内 这也是我们构造的反例一定不能是单调数列的原因 3 3 比式判别法 设为正项级数 且 但不一定收敛 例如 1 n n a 1 1 n n a a 1 n n a 1 1 n n 上例对理解比式判别法有重要作用 我们知道 如果为正项级数 且存在某正整 1 n n a 数及常数 q 0 q 成立不等式 则级数收敛 这说 0 N 0 N 1 q n n a a 1 n n a 6 明了 0 q 1 的重要性以及对理解0 b 对 b 充分大时 有 0 1 x 2 x 1 n nN 1 12 f xf x f 1 n 0 故非一致连续 f x 4 若在内可导 并且 则 f x a lim A x fx 9 lim A x f x x 这由推广的洛必达法则很容易得到 但是此命题的逆命题不真 如 sinf xx xa 0 sin lim x x x 9 但是 lim lim cos xx fxx 不存在 5 若可积 则在一定有界 5 反之不真 例如狄利克雷函数 0 b a f x dx f x a b 1 1 x f x x 为有理数 为无理数 在内有界 但是是不可积的 a b D x 6 若可积 则 和都可积 11 但逆命题不真 例如 f x f x 2 fx 1 1 x f x x 为有理数 为无理数 在内都可积 但是在内是不可积的 f x 2 fx a b f x a b 7 我们知道如果收敛 0 且单调递减 则 1 n n a n a n a 3 lim0 n n na 即递减的正项级数如果收敛 其通项一定是比高阶的无穷小量 我们考察此命题的逆命 1 n 题正确与否 即如果 0 且单调递减 是否一定有收敛 lim0 n n na n a n a 1 n n a 下面给出反例的构造过程 是比高阶的无穷小量 如果只是单纯的构造比高阶的无 n a 1 n 1 n 穷小量 i 1 则一定收敛 所以不妥 我们要找一个比任何 i 0 增长 n a i 1 n 1 n n a i n 速度要慢的函数 这样才有可能构造出恰当的反例 自然会想到 lnn 即令 则 n a 1 lnnn 满足 0 且单调递减 但是 n alim0 n n na n a n a 2 n n a 2 1 ln n nn 却是发散的 令 t 2 1 ln dx xx ln2 1dt t ln x 注意 还可以用反例说明此命题中单调递减是必不可少的 即存在 0 且收敛 n a n a 1 n n a 但是 即不是高阶的无穷小量 例如 lim0 n n na n a 1 n 10 2 1 1 n n n a n 为整数平方时 其他 1 n n a 2222222 111111111 1 2345678910 2222222 1 2 1 111111111 1 2345678910 1 2 n nk k n k Sa k 所以收敛 但是显然 1 n n a n a 1 n 5 反例在论证辩证关系中的体现 5 1和的关系lim x f x lim x fx 由推广的洛必达法则我们还可以知道 设在内可导 若 f x a lim x f x lim x fx 都存在 则 0 lim x fx 现在我们来进一步探讨在在内可导的前提下 和之间的 f x a lim x f x lim x fx 关系 下面的两个反例告诉我们他们是无关条件 即在内有界可导 且有 f x a 存在 但不一定存在 例如lim x f x lim x fx 2 sin x f x x 0 x 则 2 2 2 sin 2cos x fxx x 显然但是不存在 lim 0 x f x lim x fx 反之如果在内有界可导 且存在 但不一定存在 例如 f x a lim x fx lim x f x cos ln f xx 0 x 它在上有界且可微 且 0 sin ln x fx x 11 所以 0 但是不存在 lim x fx lim x f x 5 2 原函数与可积函数之间的关系 1 可积但不一定存在原函数 例如黎曼函数 1 0 0 1 p xp qqp qqf x x 互素 以及 0 1 内的无理数 但是是没有原函数的 因为导函数没有第一类间断点且具有介值性 而 1 0 0f x dx f x 黎曼函数在无理点连续 在有理点间断 并且是第一类间断点 况且没有介值性 因为 f x 取不到无理数 所以是没有原函数的 f x 从这个例子中也可以看出有无数个间断点的函数也可能可积 进一步我们会知道黎曼可 积的一个充要条件是几乎处处连续 因为有理点可列 显然黎曼函数符合要求 2 有原函数但不一定可积 例如 22 121 2 sincos 0 00 xx f xxxx x 在区间上有原函数 1 1 f x 2 2 1 sin 0 00 xx F xx x 但是在上不可积 因为在上无界 f x 1 1 f x 1 1 5 3 收敛与 0 的关系 a f x dx lim x f x 1 无穷积分收敛 未必就有 0 例如 a f x dx lim x f x 2 11 sin sin 2 t x dxdt t 收敛 但是 2 lim sin0 x x 上例中我们看到在的过程中的取值有正有负 现在我们来加强 2 sin x x 2 sin x 约束条件 2 收敛 且是连续函数 未必就有 0 例如 a f x dx f x0 f xlim x f x 12 11 1 2 1 2 22 0 n nn xnxnn f xn 当 其余 此时 1 0 f x dx 1 12 1 2 2n n 1 1 2n n 所以收敛 是连续函数 但是0 0 f x dx f x0 f xlim x f x 我们可以看到上面构造的函数既不是单调函数也不是一致连续函数且都lim x f x 不存在 这并不是偶然 因为如果满足单调 一致连续 极限存在中的任何一条 那么一 f x 定有 0 lim x f x 再加强约束将上述条件改为 0 依然不能肯定 0 这时我们只 f x0 f xlim x f x 要考虑函数 max f x 2 1 g x x 其中按上式中同样的方式定义 g x f x 5 4 可积和绝对可积以及平方可积之间的关系 1 绝对可积必可积 9 反之不然 例如 在上可积 但 在上不可积 f x sin x x 0 f x sin x x 0 2 可积未必平方可积 例如 收敛 但不收敛 1 sin xdx x 2 1 sin xdx x 这个结论的直观体现也很明显 因为条件可积很可能是因为正负项相消造成的 而一旦 平方后就不存在正负项相消的现象 并且函数值增长的速度还会加快 最终导致不在收 敛 3 对瑕积分 平方可积必可积 14 对无穷积分 平方可积未必可积 例如 显然在上可积 但在上不可积 f x 2 3 1 x 2 fx 1 f x 1 要知道瑕积分和无穷积分的最大区别是 对瑕积分而言 当自变量趋于瑕点时 函数值一 定是趋于无穷的 而平方会加快趋于无穷的速度 既然快速的都收敛了 慢速度的一定会 收敛 这是对瑕积分平方可积必可积的一种直观解释 对于无穷积分而言 当 0 时 平方会加快趋于零的速度 导致本来不收敛但是平lim x f x 13 方后就会收敛的现象 这是对无穷积分平方可积未必可积的一种直观解释 4 对瑕积分 平方可积必绝对可积 10 反之不然 对无穷积分 绝对可积与平方可积没有必然联系 例如 显然和 在上可积 但 在上不可积 f x 1 x f x f x 01 2 fx 1 x 01 平方可积未必绝对可积的例子在 3 中已给出 现举例说明对于无穷积分来说 绝对可积未必平方可积 很多书中为此列的例子是 f x 3 0 2 sin xdx x 在上可积 但在上不可积 我们会发现 在上不可 f x 0 2 fx 0 2 fx 0 积是因为瑕积分引起的 而不是无穷积分的原因 因为 2 0 fx dx 2 3 0 sin xdx x 2 1 3 0 sin xdx x 2 3 1 sin xdx x 发散 收敛 2 1 3 0 sin xdx x 2 3 1 sin xdx x 下面我们寻找一个只是无穷积分的例子 如 1 2 4 0 n n xnn f x 其他 则 1 0 f x dx 1 1 2 4 n n n 1 1 2n n 但是 2 0 fx dx 1 1 4 4 n n n 1 1 n 所以发散 2 0 fx dx 在这里要注意和级数的区别 我们知道对于级数来说 绝对收敛平方必定收敛 因为 就级数而言 如果收敛 通项一定趋于零 平方后最后趋于零的速度一定更快 所以必顶 收敛 但是无穷积分不一样 对积分而言 只要最后面积趋于零的速度够快就可以 和函 数值没有必然的