“三点定型”法在相似证明中的应用

Lay1 三点定型 法在相似证明中的应用 在相似这一章中 比例式和等积式的证明是本章的重点和难点 我在平时教学中发现用 横看 竖 看 加 三点定型 法及适当变形做这类题比较简单 现分三类举例如下 思想方法 如 欲证 即只需证 而我们都知道 相似三角形对应BEBCEFAB EF BC BE AB 边的比相等 可知 欲证成立 则其中的分子取自一个三角形 分母取自第二个三角形 这样就 EF BC BE AB 是 横看 定出两个三角形 ABC 和 BEF 接下来 只需证明这两个三角形相似即可 若通过 横看 找不到三角形 这时 也可以 竖看 找三角形 这就是 横看 竖看 三点定型法 一类 直接利用一类 直接利用 横看 竖看横看 竖看 加以加以 三点定型三点定型 例 已知 ACB 900 CD AB 求证 AC2 AD AB 射影定理 分析 要证 AC2 AD AB 可先证 这时 横看 定出 AC AB AD AC 和 即证 聪明的你 也可以试一试 竖看 针对本题 你也可以自行证明 1 DC2 AD DB 2 BC2 BD AB 二类 当二类 当 横看 竖看横看 竖看 三点定型三点定型 找不到三角形时 若有相等的线段时 可用相等的线段替换 找不到三角形时 若有相等的线段时 可用相等的线段替换 例 1 已知 AD 平分 BAC EF 垂直平分 AD 与 BC 的延长线交于 F 求证 DF2 BF CF 分析 直接证 DF2 BF CF 通过 横看 竖看 加以 三点定型 找不到 三角形 由已知可得 DF AF 可改证 AF2 BF CF 即证 这时用 AF CF BF AF 横看 竖看 加以 三点定型 定出 需证 ABF CAF 例 2 已知 在 Rt ABC 中 A 900 四边形 DEFG 为正方形 求证 EF2 BE FC 分析 要证 EF2 BE FC 可证 这时我们 横看 竖看 加以 EF FC BE EF 三点定型 B E F C 都在同一直线上 不能确定两个三角形 但在图形中 有相等的线段 DE EF FG 这时用相等的线段去替换即证即可 FG FC BE DE 再用 横看 竖看 加以 三点定型 的方法确定证 BDE GCF 从而完成 Lay2 证明 三类 既不能直接用三类 既不能直接用 三点定形三点定形 又没有相等的线段可以替换时 可以找中间比或中间量来转化搭桥 又没有相等的线段可以替换时 可以找中间比或中间量来转化搭桥 充分体现了转化的思想在数学中的应用 充分体现了转化的思想在数学中的应用 例 1 已知 梯形 ABCD 中 AD BC AC 与 BD 相交于 O 点 作 BE CD 交 CA 的延长线于点 E 求证 OC2 OA OE 分析 要证 OC2 OA OE 这时我们 横看 竖看 加以 三点定型 发现 O C A E 在同一直线上 并且没有相等的线段可以替换 怎么办呢 这时 我们 可以寻找 或做平行构造 A 型图 X 型图转移比例式 再三点定型 找三角形 即 AD BC 可证 用 横看 竖看 定出 OBC ODC 然后再证 OD OB OA OC 用同样的方法确定证 OBE ODC 相似即可 OC OE OD OB 例 2 已知 BD CE 是 ABC 的两个高 DG BC 与 CE 交于 F GD 的延长线与 BA 的延长线交 于 H 求证 GD2 GF GH 分析 要证 GD2 GF GH 这时我们发现 G D E F 在同一直线上 并且 没有相等的线段可以替换 这时 我们可以转移待证的某个积式 再化为 比例式进行三点定型 找三角形 即利用 射影定理 得出 GD2 BG CG 从而把原题转化为证 BG CG GF GH 再用 横看 竖看 加以 三点 定型 确定证 BGH FGC 相似即可 通过上述的分析 相信聪明的你可以完成完整的书写过程 练习 1 如图所示 在等腰直角三角形 ABC 中 ACB 90 AC BC 点 M 在 AC 上 点 N 在 BC 上 将 ABC 沿着 MN 翻折 使得点 C 落在 AB 上的 P 点 求证 CMPA CNPB 法 1 三点定型 后 互补不相似 法 2 构造垂直结构 Lay3 法 3 构造 一线三等角 法 4 作平行构造 A 型图 X 型图 Lay4 2 建立模型 1 如图 在 ABC 中 点 P 为边 AB 上一点 若 ACP B 求证 AC AP AB 模型应用 2 如图 点 D 在线段 BC 上 DA 为射线 其中 ADC 90 点 E 为线段 DA 延长线上一点 连 接 BE EC 且 BED ACD 设 AC a AD b CD c 当 a 4 b 2 且 CD 2BD 求线段 AE 的长 如果 EBD 是以 ED 为腰的等腰三角形 试确定 a b c 之间的数量关系 并说明理由 Lay5 3 在Rt ACB 和 Rt AEF 中 ACB AEF 90 若点 P 是 BF 的中点 连接 PC PE 1 特殊发现 如图 1 若点 E F 分别落在边 AB AC 上 求证 PC PE 2 问题探究 把图 1 中的 AEF 绕着点 A 顺时针旋转 如图 2 若点 E 在 CA 的延长线上 则 1 的结论是否还成立 若成立 请证明 若不成立 说明理由 如图 3 若点 F 在边 AB 上 则 1 的结论是否还成立 若成立 请证明 若不成立 说明理由 Lay6 4 如图 在等腰 ABC 中 AB AC BAC 90 F 为 BC 中点 动点 D 在线段 CB 上从 C 出发22 以每秒 1 个单位长度向 B 匀速运动 连接 AD 在 AD 的左侧作等腰 Rt AED AE DE AED 90 设 点 D 的运动时间为 t 秒 I 求线段 DE 的长度取值范围 II 证明 点 E 始终落在某一条固定直线上 III 连接 EF 设 DEF 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式 C F E C A B A B D Lay7 5 如图 1 在等腰 ABC 中 AB AC 5 BC 6 过点 A 作射线 AG BC 动点 F 从 B 出发以每秒 1 个单位 长度向 A 运动 连接 CF 过点 F 作 CFD B 交射线 AG 于点 D 设点 F 的运动时间为 t 秒 1 问 点 D 的运动速度是否恒定 若是 请求出速度 若不是 请探索速度变化情况 2 设 S S ADF 求 S 关于 t 的函数关系式 并求 S